重庆市南开中学2020届高三高考模拟数学（理）试题

重庆市南开中学2020届高三高考模拟数学（理）试题

重庆南开中学高 2020 级高考模拟考试 数学（理科） 2020.6 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的． 1．设集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C． D． 3．已知向量 满足 ，则 （ ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．设 为等差数列 的前 n 项和，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知抛物线 的焦点为 F，过点 且垂直于 x 轴的直线与抛物线 C 在第一象限内 的交点为 A，若 ，则抛物线 C 的方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知在直四棱柱 中，底面 为菱形，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） { }2{ 1 0}, 2 3 0A x x B x x x= + > = + − <∣ ∣ A B∩ = ( 3,3)− ( 3,1)− ( 1,1)− ( 1,3)− 2 1 i i − =+ 1 3 2 2 i+ 1 3 2 2 i− 1 3 2 2 i− + 1 3 2 2 i− − ,a b | | 2, 1a a b= ⋅ = −  ( 2 )a a b⋅ − =  nS { }na 5 3 425, 8S a a= + = 5a = 2: 2 ( 0)C y px p= > ( ,0)p 1AF = 2 4 3y x= 2 2y x= 2 3y x= 2 4y x= 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 160 ,ABC AB AA°∠ = = 1A B 1 1D B A． B． C． D． 7．2019 年被誉为“5G 商用元年”．6 月，5G 商用牌照正式发放；9 月，5G 套餐开启预约；1 月，5G 套餐 公布；12 月，5G 手机强势营销．据网络统计，2019 年与“5C”相关的信息量高达 6875.4 万条，信息量走 势图如右图所示． 由此可以判断，关于 2019 年全网与“5G”相关的信息量，下列说法中错误的是（ ） A．相关活动是信息量走势的关键性节点 B．月信息量未出现持续下降态势 C．2019 年全年月均信息量超过 600 万条 D．2019 年第四季度的信息量呈直线增长态势 8．已知 是两个不同平面， 是两条不同直线，则下列正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 若 ，则 9．已知 ， 则（ ） A． B． C． D． 10．重庆是西部大开发重要的战略支点、“一带一路”和长江经济带重要联结点以及内陆开放高地；重庆是 享誉世界的山城，雾都和英雄城，近年来又以桥都扬名世界．重庆有数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉 陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：拱桥部分（开口向下的抛物线）与主 桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知桥拱部分跨度长 ，两端引桥 各长 ，主桁最高处距离桥面 ，则下列函数中，将其图象上每一点的横、纵坐标等倍扩大后所 得到的图象，与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是（ ） 6 4 2 4 1 4 2 8 ,α β ,m n , , / /m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ , / / , / /m m nα α β⊥ / /n β ,m mα β⊥ ⊥ / /α β / / ,m nα α β∩ = / /m n 0.6 0.22 , 0.6a b= = 0.6log 0.2c = a b c> > a c b> > c b a> > c a b> > 552m 190m 89.5m A． B． C． D． 11．若曲线 上恰有三个不同的点到直线 的距离为 ，则实数 a 的值为（ ） A． B． C．1 D．2 12．若 P 是双曲线 上在第一象限内的一点， 分别为双曲线 C 的左右焦 点， ，以点 为圆心的圆与射线 均相切，则双曲线 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 则 ______． 14．无症状感染者被认为是新冠肺炎疫情防控的难点之一．国际期刊《自然》杂志中一篇文章指出，30%~6% 的新冠感染者无症状或者症状轻微，但他们传播病毒的能力并不低，这些无症状感染者可能会引起新一轮 的疫情大爆发．我们把与病毒携带者有过密切接触的人群称为密切接触者．假设每名密切接触者成为无症 状感染者的概率均为 ，那么 4 名密切接触者中，至多有 2 人成为无症状感染者的概率为____． 15．已知 ，则 _______． 16．已知圆锥 的底面半径 长度为 1，母线 的长度为 2，球 与圆锥的侧面相切，切于底面圆心 H，球 与球 、圆锥的底面和侧面均相切，球 与球 、圆锥的底面和侧面均相切，照此规律进行下 去，得到一系列球 ，且球 与圆锥底面的切点均在半径 上，记球 的半径为 ，表面积为 ，则 ______， ______． 20.45cos 3y x= 24.5cos 3y x= 30.9cos 2y x= 39cos 2y x= lny x= y x a= + 2 3− 2 2− 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1 2,F F 2 2PF b= ,02 a    1 2,PF PF 5 3 3 2 4 3 5 4 2log ( 1), 1,( ) ( 2), 1, x xf x f x x + > −=  + −  ( 3)f − = 1 3 3sin 3 4 πα − =   sin 2 6 πα − =   PH HA PA 1O 2O 1O 3O 2O ( 1,2,3 )nO n =  ( 1,2,3 )nO n =  HA nO nr nS 1r = 1 2 nS S S+ + = 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分） 在 中，角 的对边分别为 ， ． （1）求 C； （2）若 ， 的面积为 ，求 c． 18．（12 分） 如图，在正三棱柱 中，D 为 的中点， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值． 19．（12 分） 在中华人民共和国成立 70 周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期 间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为 31.71 亿元，《中国机长》票房收 人为 29.12 亿元，《攀登者》票房收入为 10.98 亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观 看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了 100 进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有 49 人，观看了《中国机长》的有 46 人，观看了《攀登者》的有 34 人，统计图如下． ABC , ,A B C , ,a b c 24sin sin 4cos 2 22 A BA B −− = − sin 4sin a B A = ABC 4 6 1 1 1ABC A B C− 1CC 2AB = 1ADB ⊥ 1 1ABB A 1AB 1 1 1A B C 60° 1 1B AD C− − （1）计算图中 的值； （2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了 7 人，进行观影体验的访谈，了解到 他们均表示要观看第三部电影，现从这 7 人中随机选出 4 人，用 X 表示这 4 人中将要观看《我和我的祖国》 的人数，求 X 的分布列及数学期望． 20．（12 分） 如图，O 为坐标原点，过点 作圆 O 的两条切线分别交椭圆 于点 A、B 和点 D、C． （1）若圆 O 和椭圆 C 有 4 个公共点，求直线 和 的斜率之积的取值范围； （2）四边形 的对角线是否交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 21．（12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）当 时，设 ，证明：函数 存在唯一的极大值点 ，且 ． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目的题号涂黑． 22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 , ,a b c (0,3)P 2 2 : 14 3 x yC + = AB CD ABCD 2 1( ) ,x x axf x a Re − += ∈ ( )f x 3 e a e< < 2 1( ) ( )2 2 xg x x f x= − − − ( )g x 0x ( )0 2 2 2 3 g xe e − − < < − 在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （t 为参数），以 O 为极点，x 正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 两点，点 D 是 的中点，点 ，求 的取值范围． 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ． （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若对任意 不等式 恒成立，求 a 的取值范围． 重庆南开中学高 2020 级高考模拟考试·理科数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A A A C C D A A D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．16 题第一空 2 分，第二空 3 分． 13．1 14． 15． 16． 三、解答题：共 70 分． 17．（12 分） 解：（1） ； 6 分 （2） ， ， 所以 ． 12 分 xOy 1 cos sin x t y t α α = +  = 2 2 12 4 cos ρ θ= − ,A B AB (1,0)F | |DF ( ) | 1| | 2 |,f x x ax a R= − + − ∈ 1a = ( ) 2f x < x R∈ ( ) 2 | |f x x 8 9 1 8 − 3 3 3 112 9n π  −   24sin sin 4cos 4sin sin 2[1 cos( )] 2(sin sin cos cos ) 22 A BA B A B A B A B A B −− = − + − = − − 22cos( ) 2 2cos 2 2 2 cos 2 4A B C C C π= − + − = − = − ⇒ = ⇒ = sin 4sin a B ab bA a = = = 1 1 2sin 4 2 4 6 4 32 2 2ABCS ab C a a a∆ = = ⋅ ⋅ = = ⇒ = 2 216 48 2 4 4 3 16(4 6) 4 4 62c c= + − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⇒ = − 18．（12 分） （1）证明：取 中点 H，连接 ． 由题设条件易知： 与 全等，所以 ， 同理： 与 全等，所以 ， 所以 平面 平面 平面 ． 4 分 （2） 平面 与平面 所成角即为 ， ， 6 分 取 中点 O，连接 ，则 ，以 O 为坐标原点， 方向为 x 轴， 方向为 y 轴，过 O 作平面 的垂线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 7 分 则： ， 设平面 的法向量为 ，由 得 ， 10 分 易知 为平面 的法向量，设二面角 的大小为 ， 则 ，所以二面角 的余弦值为 ． 12 分 19．（12 分）解：（1） 解得： ； 4 分 （2）记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为 A 组；“同时观看了《机长》和《攀登者》”为 B 组；“同 时观看《祖国》和《攀登者》”为 C 组， 按分层抽样， 组人数分别为 3，2，2． 5 分 在抽样的 7 人中，没有观看《祖国》的有 2 人， ． 则 ， ， ． X 0 1 2 1AB DH Rt ACD 1 1Rt B C D 1 1,DA DB DH AB= ⊥ 1 1Rt AC D Rt BCD 1 1 1,DA DB DH A B= ⊥ DH ⊥ 1 1ABB A ⇒ 1ADB ⊥ 1 1ABB A 1AA ⊥ 1 1 1 1A B C AB⇒ 1 1 1A B C 1 1AB A∠ 1 1 160 , 2 3AB A AA°∴∠ = = 1 1AC 1OB 1 1 1OB AC⊥ 1OB 1OC 1 1 1A B C 1 1 1( 3,0,0), (0,1, 3), (0, 1,2 3), ( 3,1, 3), ( 3, 1,2 3)B D A B D B A− = − = − −  1ADB ( , , )m x y z= 1 1 0 0 m B D m B A  ⋅ = ⋅ =   (3, 3,2)m = (1,0,0)n = 1 1AAC C 1 1B AD C− − θ 3 3cos | | | | 4 1 4 m n m n θ ⋅= = =⋅ ⋅     1 1B AD C− − 3 4 27 4 46 30 4 49 18 4 34 a b a c b c + + + =  + + + =  + + + = 9 6 6 a c b =  =  = ∴ , ,A B C 0,1,2x∴ = 4 5 4 7 1( 0) 7 CP X C = = = 1 3 2 5 4 7 4( 1) 7 C CP X C = = = 2 2 2 5 4 7 2( 3) 7 C CP X C = = = P ． 12 分 20．（12 分） 解：（1）若圆 Q 和椭圆 C 有 4 个交点，则 ， 设过点 P 的切线方程为 ， 则 ① 又因为直线 和椭圆有你两个交点， 由 ， ② 由①②可得： ，所以 6 分 （2）设 设 ， 7 分 由题设条件易知 ， 8 分 所以 即 对一切 k 成立， 所以 ，即直线 过定点 ， 10 分 同理可得直线 也过定点 ， 11 分 所以，四边形 的对角线交于定点 ． 12 分 1 7 4 7 2 7 1 4 2 8( ) 0 1 27 7 7 7E X∴ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2 (3,4)r ∈ 3y kx= + 2 2 3 5( 3,2) ,241 r k k  = ∈ ⇒ ∈  + 3y kx= + ( )2 22 2 3 3 4 24 24 0 14 3 y kx k x kxx y = +  ⇒ + + + =+ =  ( )2 2 396 2 3 0 2k k∆ = − > ⇒ > 2 3 ,22k  ∈   2 32, 2AB CDk k k  ⋅ = − ∈ − −   ( )2 2 22 2 : 3 4 8 4 12 0 14 3 AC y kx t k x ktx tx y = +  ⇒ + + + − =+ =  ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y C x y 0PA PCk k+ = ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 33 3 PA PC x y x y x kx t x kx ty yk k x x x x x x − + − + − + + −− −+ = + = = ( )1 2 1 2 1 2 2 ( 3) 0kx x t x x x x + − += = ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 2 4 12 8 ( 3) 24 ( 1)2 ( 3) 03 4 3 4 k t kt t k tkx x t x x k k − − − −+ − + = = =+ + 1t = AC (0,1) BD (0,1) ABCD (0,1) 21．（12 分） （1）解： 或 ① 时， 在 单调递减， 单调递增， 单调递减； ② 时， 在 R 单调递减； ③ 时， 在 单调递减， 单调递增， 单调递减； 4 分 （2） ， ， 令 ， ，使得 ①， 在 单调递增， 单调递减， 单调递增； 所以 有唯一极大值 ． 7 分 ② 9 分 现在证明： ． 令 ，则 ， 在 单调递增， 所以 ，即 ③ 综上，有②③可知： 12 分 22．（10 分） （1）由题意可得， ( 1)[ ( 1)]( ) 0 1x x x af x xe ′ − − − += = ⇒ = 1a + 0a < 1 1, ( )a f x+ < ( , 1)a−∞ + ( 1,1)a + (1, )+∞ 0a = 1 1, ( )a f x+ = 0a > 1 1, ( )a f x+ > ( ,1)−∞ (1, 1)a + ( 1, )a + +∞ 2 21 1( ) 2 2 x x x axg x x e − += − − − ( 1) ( 1) ( ) x x x e x a g x e ′  − + − + = ( ) ( 1), (0) 0, (1) 0xh x e x a h a h e a= + − + = − < = − > 0 (0,1)x∴∃ ∈ ( ) 0 5 0 0 0e ( 1) 0, e 1th x x a a x= + − + = = + − ( )g x∴ ( )0, x−∞ ( )0,1x (1, )+∞ ( )g x 0x ( )0 22 2 23(1) 1 1 3 e ag x g e e e −−∴ > = − − > − − = − − ( )0 2g x e < − ( ) 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 e 2 2 ex x x x ax x xg x x − + += − − − = − − 2 1 1( ) , (0,1)2 2 x x xm x xe += − − ∈ ( ) 0x xm x x e ′ = + > ( )m x (0,1) 2( ) (1)m x m e < = − ( )0 2g x e < − ( )0 2 2 2 3 g xe e − − < < − ( )2 2 2 2 2 2 2 212 4 cos 4 3 4x y x x yρ ρ θ= − = + − = + 所以曲线 C 的直角坐标方程为 4 分 （2）联立方程 设 对应的参数 t 分别为 ，则 因为 D 是 的中点，所以 当 时， 当 时， ，因为 ，所以 综上所述， 10 分 23．（10 分） 解：（1）若 ，则 ， 等价于 或 或 ， 解得 ，所以原不等式的解集为 5 分 （2）当 时， ；当 时，只需 ． ，解得 或 ． 综上，a 的取值范围为 10 分 2 2 14 3 x y+ = ( )2 2 2 2 1 cos sin 3 sin 6cos 9 0 14 3 x t y t t t x y α α α α   = + = ⇒ + + ⋅ − =   + = ,A B 1 2,t t 1 2 2 6cos 3 sint t α α −+ = + ,A B 1 2 2 2 3cos 3cos| | 2 3 sin 4 cos t tDF α α α α += = =+ − cos 0α = | | 0DF = cos 0α ≠ 3| | 4 coscos DF αα = − cos [ 1,1]α ∈ − | | (0,1]DF ∈ | | [0,1]DF ∈ 1a = | 1| | 2 | 2x x− + − < 2 2 3 2 x x ≥  − < 1 2 1 2 x≤ <  < 1 3 2 2 x x <  − < 1 5 2 2x< < 1 5 2 2x x < <  ∣ 0x = a R∈ 1x ≠ − min ( ) 2| | f x x   ≥   ( ) | 1| | 2 | 1 2 1 1 1 1 11 1 1 | |1| | | | 2 2 2 2 f x x ax a a a aax x x x x x x x x − + −= = − + − = − + − + − ≥ − + ≥ − ∣ 1 22 a∴ − ≥ 6a ≥ 2a ≤ − ( , 2] [6, )−∞ − ∪ +∞