2019-2020学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若直线的倾斜角为,则该直线的斜率为(    )‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接根据公式计算.‎ ‎【详解】‎ 解：直线的倾斜角为,‎ 该直线的斜率为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于简单题型.‎ ‎2．若点到直线的距离是，则实数为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】利用点到直线距离公式构造方程即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由点到直线的距离公式可得：，解得：或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线距离公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．若三直线经过同一个点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出直线与的交点坐标，然后将交点坐标代入直线的方程后可求得.‎ ‎【详解】‎ 由，解得，‎ ‎∴直线与的交点坐标坐标为．‎ 由题意得点在直线上，‎ ‎∴，解得．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的交点，考查计算能力和数形结合思想方法，解题时根据代数方法求解即可，注意解析法的运用，属于基础题．‎ ‎4．如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积 ‎【详解】‎ 圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得 ，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓住底面圆的周长为展开图的弧长。‎ ‎5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.‎ 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，‎ 由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.‎ 点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.‎ ‎6．过点作直线l，使它在两坐标轴上的截距相等，则直线1有（ ）．‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】B ‎【解析】由直线的截距式方程的求法，设①当两截距为0时，②当两截距不为0时，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：①当两截距为0时，直线过原点，所求直线的方程为，即，‎ ‎②当两截距不为0时，可设所求的直线方程为，由，得，即所求直线的方程为．‎ 综合①②得所求直线有2条，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的截距式方程，属中档题.‎ ‎7．已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将三棱锥扩展为正方体，体对角线为直径，根据表面积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 三棱锥中，两两垂直，则 ‎ ‎ ‎ 答案为D ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥的外接球问题，把三棱锥扩展为长方体是解题的关键.‎ ‎8．已知点，，直线过点，且与线段交，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出的斜率，观察过且垂直于轴的直线与线段 有交点，因此可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，又直线与线段有交点，‎ 所以所求的范围是或．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与线段相交问题，求出线段端点与定点连线的斜率，观察过定点且斜率不存在的直线与线段是否相交特别重要，也可通过作图观察得出结论．‎ ‎9．已知a、b为不重合的直线，α为平面，下列命题：‎ ‎（1）若a∥b，a∥α，则b∥α；‎ ‎（2）若a∥α，b⊂α，则a∥b；‎ ‎（3）若a⊥b，b∥α，则a⊥α；‎ ‎（4）若a⊥α，b⊥a，则b∥α，‎ 其中正确的有个（ ）‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由空间中的线面关系逐个核对四个命题得出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）错，若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，‎ ‎（2）错，若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，‎ ‎（3）错，若a⊥b，b∥α，则a⊥α或a∥α或相交，‎ ‎（4）错，若a⊥α，b⊥a，则b∥α或b⊂α．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 属于基础题，考查直线与平面的位置关系，空间想象能力．‎ ‎10．已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：把坐标代入两条直线和,得 ‎,,‎ ‎,‎ 过点,的直线的方程是：,‎ ‎,则,‎ ‎,,‎ 所求直线方程为：．‎ 故选: B ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求法,解题时要结合题设条件,合理地选用解题方法,注意公式的灵活运用,是基础题．‎ ‎11．如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是(    )‎ A．‎ B．平面 C．存在点E,使得平面//平面 D．三棱锥的体积为定值 ‎【答案】C ‎【解析】根据平行，垂直关系，逐一分析选项，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确；‎ 在B中,F,M是底面正方形边的中点，由平面几何得，又底面 ，所以，,所以平面,故B正确；‎ 在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误．‎ 在D中,三棱锥以面BCF为底,则高为上下底面的距离，所以三棱锥的体积为定值,故D正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．‎ ‎12．如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可．‎ ‎【详解】‎ 如图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，‎ ‎∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，‎ ‎∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；‎ ‎∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，‎ ‎∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，‎ 又A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，‎ 则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，，‎ 同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝，∴△A1MN为等腰三角形，‎ 当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，‎ ‎，A1M＝A1N＝，‎ 所以线段A1P长度的取值范围是 ．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点、线、面间位置关系的问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．过点且垂直于直线的直线方程为______．‎ ‎【答案】x－2y＋4＝0‎ ‎【解析】试题分析：直线2x+y–5=0的斜率为，所以所求直线斜率为 ‎，直线方程为，整理得 ‎【考点】直线方程 ‎14．底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出符合题意的图形P﹣ABC，取底面中心O，利用直角三角形POC容易得解．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 如图，正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心， ‎ ‎∵侧面为等腰直角三角形，AC＝6，‎ ‎∴PC，‎ ‎∴OC，‎ ‎∴OP，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正棱锥有关的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15．已知动点分别在轴和直线上，为定点，则周长的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点C关于直线y=x的对称点为（1，2），点C关于x轴的对称点为（2，﹣1）．三角形PAB周长的最小值为（1，2）与（2，﹣1）两点之间的直线距离．‎ ‎【详解】‎ 点C关于直线y=x的对称点为（1，2），‎ 点C关于x轴的对称点为（2，﹣1）．三角形PAB周长的最小值为（1，2）与（2，﹣1）两点之间的直线距离，‎ ‎|（2，﹣1）|==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据题意作出图形：‎ 设球心为，过ABC三点的小圆的圆心为，则平面ABC，‎ 延长交球于点D，则平面ABC.‎ ‎∵，∴，∴高，‎ ‎∵是边长为1的正三角形，∴，∴.‎ ‎【考点】棱锥的体积.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线，.‎ ‎(1)若，求的值； ‎ ‎(2)若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m ‎×3＝0，由此求得m的值．‎ ‎（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，‎ 由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．‎ ‎（2）由题意可知m不等于0,‎ 由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．‎ ‎18．如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，底面,且PA=AB．‎ ‎（1）求证：BD平面PAC；‎ ‎（2）求异面直线BC与PD所成的角.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）45º.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又为正方形，， ‎ 而是平面内的两条相交直线，‎ ‎ ‎ ‎(2) ∵为正方形，∥，‎ 为异面直线与所成的角， ‎ 由已知可知，△为直角三角形，又，‎ ‎∵，，‎ 异面直线与所成的角为45º.‎ ‎19．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) [0，＋∞)；(3)4，x－2y＋4＝0.,‎ ‎【解析】(1)将直线的方程整理为斜截式的形式后,可知其过定点；(2)若直线不经过第四象限，则其斜率与其在轴上的截距均非负，此时可列出关于的不等式组，从而求得的取值范围；(3)根据直线的方程可求出点与的坐标，进而用含的式子表示出的面积，利用均值不等式可求出的面积最小时的值，从而得到的面积的最小值与此时直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令 解得 ,‎ ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－ ，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解得k＞0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).‎ ‎(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，‎ 得A ，B(0,1＋2k).‎ 依题意得解得k＞0.‎ ‎∵S＝ ·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|‎ ‎＝·＝‎ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝ ，‎ 即k＝，∴Smin＝4，‎ 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是直线方程的求法(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值，是中档题.‎ ‎20．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：∥平面.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】（1）先证明，即证平面BMN⊥平面ACC1A1.(2) 取的中点，连接和，证明，再证明MN∥平面BCC1B1．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：因为为棱的中点，且，‎ 所以，‎ 因为是直三棱柱，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以， ‎ 又因为，且，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面. ‎ ‎(2)取的中点，连接和，‎ 因为为棱的中点，‎ 所以，且，‎ 因为是棱柱，‎ 所以，‎ 因为为棱的中点，‎ 所以，且， ‎ 所以，且，‎ 所以是平行四边形， ‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.‎ ‎21．如图，是边长为3的正方形，平面，平面，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）存在点且满足条件.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点，过作交于，连接，设，求得几何体的体积，将其分割成两个三棱锥，利用表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得的值.‎ 试题解析：‎ 解：‎ ‎（1）∵平面，平面，‎ ‎∴，∴平面，‎ ‎∵是正方形，，∴平面，‎ ‎∵，平面，平面，∴平面平面.‎ ‎（2）假设存在一点，过作交于，连接，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 设到的距离为，则，，‎ ‎∴，解得，即存在点且满足条件.‎ 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出的位置的值.‎