【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第一章第1讲 集合及其运算学案
知识点
考纲下载
集 合
集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
命题及其关系、充分条件与必要条件
理解命题的概念．
了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
理解全称量词和存在量词的意义．
能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本
关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素
x∈A⇒ x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．
(4)∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
(教材习题改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则( )
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
答案：D
(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
答案：A
(教材习题改编)已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∪B＝{1，2}，则满足条件的集合B的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.因为A＝{1，2}，B∪A＝{1，2}，
所以B⊆A，故满足条件的集合B的个数为22＝4个．
(教材习题改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝________．
解析：由题意得∁UB＝{2，5，8}，所以A∩(∁UB)＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．
答案：{2，5}
(教材习题改编)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2
2}．
答案：{x|x≤1或x>2}
集合的概念
[典例引领]
(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A． B．
C．0 D．0或
(3)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【解析】 (1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
(3)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－，
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.
【答案】 (1)C (2)D (3)－
求解与集合中的元素有关问题的注意事项
(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．
[通关练习]
1．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C．因为∈Z，
所以2－x的取值有－3，－1，1，3，
又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝______．
解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
答案：2
集合的基本关系
[典例引领]
(1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA
C．A⊆B D．B＝A
(2)设A，B是全集I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，3}，则满足A⊆B的B的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【解析】 (1)由题意知A＝{x|y＝，x∈R}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
所以BA，故选B．
(2)由题意知B可以为{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}．
【答案】 (1)B (2)B
(1)判断两集合关系的方法
①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系．
②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．
(2)根据两集合间的关系求参数的方法
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
[注意] 空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．
[通关练习]
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|00时，因为A＝{x|－10}，则( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝∅
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
(2)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
【解析】 (1)由3－2x＞0得x＜，则B＝，
所以A∩B＝，故选A．
(2)因为Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x|x≥2或x≤－2}，所以∁RQ＝{x|－23}，则A∩B＝( )
A．{x|－22}，则∁UA＝( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选C．根据补集的定义可知，∁UA＝{x|－2≤x≤2}＝[－2，2]，故选C．
3．(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B．因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B．
4．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B．A＝{x|2x2－5x－3≤0}＝{x|－≤x≤3}，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B＝{0，1，2}，故选B．
5．(2018·福州综合质量检测)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B＝( )
A．∅ B．(1，2]
C．{2} D．{1，2}
解析：选C．法一：因为A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}＝{1，2}，所以A∩B＝{2}，故选C．
法二：因为1∉A，所以1∉A∩B，故排除D；因为1.1∉B，所以1.1∉A∩B，故排除B；因为2∈A，2∈B，所以2∈A∩B，故排除A．故选C．
6．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁ZB)＝( )
A．{－2} B．{－1}
C．[－2，0] D．{－2，－1，0}
解析：选D.由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁ZB)＝{－2，－1，0}，故选D.
7．(2018·陕西质量检测(一))已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则A∩B＝( )
A．∅ B．{x|2＜x＜3}
C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}
解析：选C．化简集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝{x|2≤x＜3}，选C．
8．(2018·洛阳第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.依题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
9．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( )
A．{2，3} B．{－1，2，5}
C．{2，3，5} D．{－1，2，3，5}
解析：选D.由A∩B＝{2，－1}，可得或当时，此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当时，此时不符合题意，舍去．
10．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B．当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2.选B．
11．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C．由题意，得B＝{0，1，，，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C．
12．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
解析：选B．因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤－1.
13．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：因为B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，所以a＝1或a2＋3＝1，
因为a∈R，所以a＝1.经检验，满足题意．
答案：1
14．设集合I＝{x|－3
查看更多
