2014年高考试题——数学理（辽宁卷）解析版

2014年高考试题——数学理（辽宁卷）解析版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 理科数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 , { | 0}, { | 1}U R A x x B x x     ，则集合 ()UC A B  （ ） A．{ | 0}xx B．{ | 1}xx C．{ | 0 1}xx D．{ | 0 1}xx 【答案】D 【解析】 .).10()∪(∞).C1[]0∞-(∴∞)1[],0-( R DBABABA 选，，， =+∪=∪+=∞= 2.设复数 z 满足 ( 2 )(2 ) 5z i i   ，则 z  （ ） A． 23i B． 23i C．32i D．32i 【答案】A 【解析】 ..3225 252-2 5,5)-2)(2-( Aiiiiiziiz 选）（ +=++=+=∴= 3.已知 1 32a   ， 21 2 11log , log33bc，则（ ） A． abc B． a c b C．c a b D．c b a 【答案】C 【解析】 ..∴).2,1(∈log),1-2-(∈log),12 1(∈2 3 1 2 13 1 2 3 1- Cbaccba 选，， >>=== 4.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若 / / , / / ,mn则 //mn B．若 m  ， n  ，则 mn C．若 m  ， mn ，则 //n  D．若 //m  ， mn ，则 n  【答案】B 【解析】 .., .., ., BDC B A 选不用再看 对平面上的直线直线垂直平面，则垂直对 错，不一定平行平行同一平面的两直线对 5.设 ,,abc是非零向量，已知命题 P：若 0ab， 0bc ，则 0ac；命题 q：若 / / , / /a b b c ，则 //ac，则下列命题中真命题是（ ） A． pq B． pq C．( ) ( )pq   D． ()pq 【答案】A 【解析】 命题 p 为假，命题 q 为真，所以 A 正确。选 A 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A．144 B．120 C．72 D．24 【答案】D 【解析】 ..24...,23 1 4 3 3 3 3 DCAA 选共有剩余一空，再插空排，种共有个空进行排列个人和 =• 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．82 B．8  C．8 2  D．8 4  【答案】B 【解析】 ..π-82)2 1*π-2*2( 2 BshV 选几何体为直棱柱，体积 === 8.设等差数列{}na 的公差为 d，若数列 1{2 }naa 为递减数列，则（ ） A． 0d  B． 0d  C． 1 0ad D． 1 0ad 【答案】C 【解析】 ..0 .00;00:., 1 111111 Cda dadaaaaaaa nnn 选 且或且分情况解得即递减由同增异减知， <∴ ><<><+ 9.将函数 3sin(2 )3yx的图象向右平移 2  个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A．在区间 7[ , ]12 12 上单调递减 B．在区间 7[ , ]12 12 上单调递增 C．在区间[ , ]63  上单调递减 D．在区间[ , ]63  上单调递增 【答案】B 【解析】 .].12 7π,12 π[]6 π-4 π 2 π,6 π-4 π-2 π[ 2 π]6 π-4 π,6 π-4 π-[π,)6 π(2sin3)3 π2sin(3 B Txxy 选增区间为 后，；右移一个增区间为的周期把 =+ =+=+= 10.已知点 ( 2,3)A  在抛物线 C： 2 2y px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 3 4 D． 4 3 【答案】D 【解析】 ..3 4 16- 8 2-8 ),0,2(∴ 8,016-6m-16 3)-8(m 28 3-m4∴ .,0),8(.4,82,8,)3,2-( 22 2 22 2 2 Dm m m mkF mmmmm kkmmmBykyyxyA BF AB 选 解得， 则，设即求导得：所以在准线上 === ==+= + = =>==′•= 11.当 [ 2,1]x 时，不等式 324 3 0ax x x    恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A．[ 5, 3] B． 9[ 6, ]8 C．[ 6, 2] D．[ 4, 3] 【答案】C 【解析】 .].-1,-6∈[a∴-6≥-1≤.0≥)1(0≤)-1(∴ )∞,1[]2 1,-1-(),-1∞-()( )1-9)(1(981-)(,34-)( ]2 1,-∞-(∈∀t,0≤34-),∞,1[∈∀t,0≥34-∴ ]1,2-[∈∀x,0≥)341-()( 10≠.0≥)(0. 232 3232 32 3 Caagg tg tttttgtttatg tttattta xxxaxxf xtxxfx 选且解得，且 递增上递减，在上递增，在在 则令 且 时，令当成立时，当换元法 +′ +=++=′++= +++++ ++= ==   12.已知定义在[0,1] 上的函数 ()fx满足： ① (0) (1) 0ff； ②对所有 , [0,1]xy ，且 xy ，有 1| ( ) ( ) | | |2f x f y x y   . 若对所有 , [0,1]xy ，| ( ) ( ) |f x f y k，则 k 的最小值为（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 1 2 D． 1 8 【答案】B 【解析】 ..4 1≥,4 1|)(-)(|∴ .)-,(),(3 .4 1|)(-)(|2.3 ).( )4 1-,2 1-(),0,1(),4 1,2 1(),0,0(4)(,. 122111 Bkyfxf yxPyxP yfxfx xx xfy 选即 也在平行四边形内会存在在平行四边形内，则不种情况，若有点对第 种情况容易判断前种情况轴上下方都有或在 轴下方，轴上方，或只在具体说，可以只在不含边界平行四边形区域内 组成的个顶点的图像只能在由据题可知数形结合法 < < = 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.执行右侧的程序框图，若输入 9x  ，则输出 y  . 【答案】 9 29 【解析】 9 29y∴ 9 29,3 11)2(3 11,5)2(5,9)1( = ====== yxyxyx各步运算结果如下： 14.正方形的四个顶点 ( 1, 1), (1, 1), (1,1), ( 1,1)A B C D    分别在抛物线 2yx 和 2yx 上， 如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 . 【答案】 3 2 【解析】 3 2∴ 3 24)|3 x-14)-14 ,4),1,1( ∫1 0 1 0 3 2 =•=== == pdxxS SABCDpC （（ ：的面积形阴影部分的面积：正方所求概率 阴影 阴影 15.已知椭圆 C： 22 194 xy，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则| | | |AN BN . 【答案】12 【解析】 12122222 )052(),0,5-2(,),0,0(.),05(),05-( 21 21 =+∴=•=+=+ BNANaQFQFBNAN BAMNQMFF ，，则的中点是线段令用特值法，，如图，焦点 16.对于 0c  ，当非零实数 a，b 满足 224 2 4 0a ab b c    ，且使| 2 |ab 最大时，3 4 5 a b c 的最小值为 . 【答案】-2 【解析】 2-54-3 .2-)4-1(2 1 10 54-3 654-3.5 8|22| 1032, 15 3:2 151:)2-2∴)22(≥]) 15 3([1⇒ ] 15 3 2 151)2-2[≥]) 15 3([1])2 15()2-2[]) 15 3([1∴ 0-)2 15()2-2-42-4 2 2222 2222222 2222 的最小值为所以， 这时，取最大值 时，，即当（ （（ （ cba bbbbbcba cba bcbabbabac bbabbac cbbacbaba + ≥=+=++ ===++• •+•+•+=+• =+=+ 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 ac ，已知 2BA BC， 1cos 3B  ， 3b  ， 求： （1）a 和 c 的值； （2）cos( )BC 的值. 【答案】 （1） 2,3 == ca （2） 27 23 【解析】 （1） 2,3.2,3∴ 5,6c∴ 2 -cos23cos,3,3 1cos 222 ====> =+=+====•== cacaca caaac bcaBacBcaBCBAbB 所以，解得 ，且   （2） 27 23)-cos(.27 23sinsincoscos)-cos( 9 24sin,9 7 2 c-cos,2,3,33 22sin3 1cos 222 ==+=∴ ==+=====∴= CBCBCBCB Cab baCcbaBB 所以，  18. （本小题满分 12 分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率； （2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 ()EX 及方差 ()DX . 【答案】 （1） 0.108 （2） 1.8,0.72 【解析】 （1） 108.0.108.02)( 501002 .15.050003.0)50( ,6.050)002.0004.0006.0()100≥( 2 所以，所求事件概率为 ，则且一日销量低于日销量不低于表示连续 表示日销售量，则用 ==+= =•=<= =•++== babaaaabAp A Ypb YpaY （2） .72.08.1 .72.0)-1(,8.16.0*3.216.0)-1()3( .432.0)-1()2(.288.0)-1()1(.064.0)-1()0(∴ ).6.0,3(~,6.0100)1(.3,2,1,0 033 3 122 3 211 3 300 3 和分别为和方差望的分布列如下，数学期 的概率知，日销量不低于由可取 DXEXX anaDXnaEXaaCxp aaCxpaaCxpaaCxp BXaX ======== ========= = X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 19. （本小题满分 12 分） 如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 2AB BC BD   ， 0120ABC DBC    ，E、F 分别为 AC、DC 的中点. （1）求证： EF BC ； （2）求二面角 E BF C的正弦值. 【答案】 （1） 省略（2） 5 52 【解析】 （1） BC BCBCHEHFHEHFH EHFHBCHBCEBCF BERTBCEABCECAEBABC BFRTBCFCBDFCDFBDBC ⊥EF EF⊥∴EFH⊥∴∩BC,⊥BC,⊥ 2 1BHBC,⊥BC,⊥ΔΔ∴ EC⊥,Δ∴120∠,, FC⊥,Δ∴120∠,, 所以， 面 则上，且在全等，设与 三角形为且同理 三角形为且 = = °=== °===    （2） 5 52θsinCD-- 5 52,sin5 5 113100 100 |||| ,cos∴ )1,1,3-( 002 3 2 1 2 302 10),,( )0,2 3,2 1(),2 3,0,2 1(),0,0,2 1-(),0,2 3,0(),2 3,0,0( )1,0,0( 2.,,,HF,∴HF⊥⊥,1 21 21 21 21 2 222 1 = >=<= ++++ ++=>=< = =++=++=== == = == 的正弦值所以，二面角 ， 解出一个法向量 ，即满足：的法向量面 的一个法向量显然，面 轴建立坐标系为分别以）知由（ BFE nn nn nnnn n yxzxBFnBEnzyxnBEF BFBEBFE nBCF BFBEzyxEHHCHCEH 20. （本小题满分 12 分） 圆 224xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切 点为 P（如图），双曲线 22 1 22:1xyC ab过点 P 且离心率为 3 . （1）求 1C 的方程； （2）椭圆 2C 过点 P 且与 1C 有相同的焦点，直线l 过 2C 的右焦点且与 2C 交于 A，B 两点，若 以线段 AB 为直径的圆心过点 P，求l 的方程 【答案】 （1） 12- 2 2 =yx （2） 32 6-2,32 2-63 +=+= yxyx 或 【解析】 （1） 12- 1231-)2,2(,,3 ).2,2(2 ,1682 11682 116)(42 1442 1 ,,4,,, 2 2 222 2 2 2 2 222 2422422422 22 = ===∴=+== == ++=++≥+++=++= == yx abcb y a xPabca c Psnm rrnmrnmrnms mnrrnmPr 所以，双曲线方程为 ，，中代入双曲线方程把点 取最大值，这时时，仅当 三角形面积由射影定理得为点上下两段线段长分别设圆半径  （2） . 32 6-2,32 2-63 2 6-2,2 2-63∴ 2 1)-6(26 2 62-726 2 )11-62(4-66 4 )11-68(4-2462∴ 011-6462-2m⇒064-1162-2m⇒ 064-143-62)m62-76-62-3(⇒ 0)62-7(2)62-7(62)m3-2(323--3⇒ 0)2)(62-7(]2-)m2-3([32-)1(-3∴ 062-7)](2-)m2-3([)1( 2 3-,2 32-0,3-32)2( 136 062-7)](2-)m2-3([)1( 2)(2-)2-3()()m2-3( )2-)(2-()2-3)(2-3( )2-)(2-()2-)(2-()2-,2-)(2-,2-(0 ).,(),,(,3 .0∴⊥)0,3( 136 .631)2,2( 31∴)0,3(),0,3-()2,2( 21 22 2 222 22 2121 2 221221 22 22 2121 2 2121 2 2121 2 2121 21212211 2211 22 22 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 +=+= == ±=±=±=±= =+=++ =++++ =++++ =+++ =++++ +=+=+=++ =+ =++++= ++++++= +++= +==•= += =• =+ ===+ =+==+ yxyx mm m mm m mmm mmm yyyym myym myymyym yx yyyym yyyyyyyym yymymy yyxxyxyxPBPA yxByxAmyx PBPAPBPAl yx abb y a xP ccbab y a xP 或所以，所求直线方程为 由韦达定理得 联立得：与椭圆方程 设直线方程 ，且过右焦点为由题知，直线 所以，椭圆方程为 ，中，解得代入椭圆方程把点 ，，设椭圆方程，焦点为椭圆过    21. （本小题满分 12 分） 已知函数 8( ) (cos )( 2 ) (sin 1)3f x x x x x     ， 2( ) 3( )cos 4(1 sin )ln(3 )xg x x x x x      . 证明：（1）存在唯一 0 (0, )2x  ，使 0( ) 0fx  ； （2）存在唯一 1 ( , )2x   ，使 1( ) 0gx  ，且对（1）中的 01xx. 【解析】 （1） 上仅有一个零点，在所以， 单调递减 单调递减，且单调递减 单调递增，单调递增上，，在 上有零点，在 ， )2 π0()( ↓)1(sin3 8-)2π)(-(cos)(∴ ↓)1(sin3 8-↓)2π)(cos-(-∴ ↑0cos-↑02π)2 π0( )2 π0()(∴ 0)2(3 8-)π2)(2 π-()2 π(,03 8-π)0(∴)1(sin3 8-)2π)(-(cos)( xf xxxxxfy xyxxxy xxyxy xf ffxxxxxf ++== +=++= >+=>+= <=>=++=   （2） 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，EP 交圆于 E、C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG PD ，连接 DG 并延长交圆 于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若 AC=BD，求证：AB=ED. 【答案】 【解析】 （1） 为直径所以 为切线到延长 AB FGAFDBD FDBDPDFGAPGDADPPGPDDPD ,2 π∠BDA∴π2 π∠BDA∴ π∠∠BDAAG∠∴π∠ADP∠BDA∠ AG∠∠∴∠∠∠∴. ==+ =++=++′ =′===′   (2) ABED EDEGAFACE AFBACBD = == === , ∴ 2 π⇒∠EAD 2 π∠EAG∴⊥ EC∠AG∠AD∠∴ 所以 为直径中，在三角形  23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 将圆 221xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. （1）写出 C 的参数方程； （2）设直线 : 2 2 0l x y   与 C 的交点为 12,PP，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标 建立极坐标系，求过线段 12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) 2 | 1| 1f x x x    ， 2( ) 16 8 1g x x x   ，记 ( ) 1fx 的解集为 M， ( ) 4gx 的 解集为 N. （1）求 M； （2）当 x M N 时，证明： 221( ) [ ( )] 4x f x x f x.