福建省三明市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题

福建省三明市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题

三明市2018-2019学年第二学期普通高中期末质量检测 高二理科数学试题 本试卷共6页.考试时间:120分钟，满分:150分 注意事项:‎ ‎1.本试卷包括必考题和选考题两部分，第3、8、22为选考题，考生可在A,B两题中任选一题作答:其他试题为必考题，每个试题考生都必须作答.‎ ‎2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卷上.考生作答时，将答案答在答题卷上，请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 ‎1.已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2i，则z＝（　　）‎ A. 1+i B. ﹣1﹣i C. 1﹣i D. ﹣1+i ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数式子进行计算化简，得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题.‎ ‎2.用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（　　）‎ A. x≤﹣1 B. x≥﹣1 C. x2﹣2x﹣3≤0 D. x2﹣2x﹣3≥0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案.‎ ‎【详解】命题“若，则”，‎ 要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反，‎ 所以正确的反设为，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：经过伸缩变换后得到线C2，则曲线C2的方程为（　　）‎ A. 4x2+y2＝1 B. x2+4y2＝1 C. 1 D. x21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据条件所给的伸缩变换，反解出和的表达式，然后代入到中，从而得到曲线.‎ ‎【详解】因为圆，经过伸缩变换 所以可得，代入圆 得到 整理得，即 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.‎ ‎4.已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（　　）‎ A. ac2＞bc2 B. a2＞b2 C. a3＞b3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别找到特例，说明A，B，D三个选项不成立，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以当时，得到，故A项错误；‎ 当，得到，故B项错误；‎ 当时，满足，但，故D项错误；‎ 所以正确答案为C项.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题.‎ ‎5.函数y的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数的单调性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案.‎ ‎【详解】因为，其定义域为 所以，‎ 所以为奇函数，其图像关于原点对称，故排除A、C项，‎ 当时，，所以D项错误，‎ 故答案为B项.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点的函数值来判断函数的图像，属于简单题.‎ ‎6.甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，则不同的排法种数为（　　）‎ A. 48 B. 60 C. 72 D. 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为甲和乙不能相邻，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.‎ ‎【详解】甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，‎ 故先安排除甲、乙外的3人，‎ 然后安排甲、乙在这3人之间的4个空里，‎ 所以不同的排法种数为，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查排列问题，利用插空法解决不相邻问题，属于简单题.‎ ‎7.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参照附表，可得正确的结论是（　　）‎ A. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”‎ B. 有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”‎ C. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”‎ D. 有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知观测值，对照临界值得出结论.‎ ‎【详解】利用独立性检验的方法求得，‎ 对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．‎ 故选A项．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎8.某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本，现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人，每人一本，并请这4个人在得到的赠书之前进行预测，结果如下：‎ 甲说：乙或丙得到物理书；‎ 乙说：甲或丙得到英语书；‎ 丙说：数学书被甲得到；‎ 丁说：甲得到物理书．‎ 最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是（　　）‎ A. 数学、物理、化学、英语 B. 物理、英语、数学、化学 C. 数学、英语、化学、物理 D. 化学、英语、数学、物理 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲说的和丁说的都错误，得到物理书在丁处，然后根据丙说的错误，判断出数学书不在甲处，从而得到答案.‎ ‎【详解】甲说：乙或丙得到物理书；丁说：甲得到物理书．‎ 因为甲和丁说的都是错误的，‎ 所以物理书不在甲、乙、丙处，‎ 故物理书在丁处，排除A、B选项；‎ 因为丙说：数学书被甲得到，‎ 且丙说的是错误的，‎ 所以数学书不在甲处，故排除C项；‎ 所以答案选D项.‎ ‎【点睛】本题考查根据命题的否定的实际应用，属于简单题.‎ ‎9.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，将曲线C1绕极点O顺时针旋转得到出线C2，设射线θ与曲线C1和曲线C2分别交于A，B两点（除极点外），则|AB|等于（　　）‎ A. 1 B. 1 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求得曲线的极坐标方程，把分别代入曲线和曲线的极坐标方程，求得与的值，则答案可求．‎ ‎【详解】解：曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 把分别代入和，‎ 可得，‎ 所以，‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，以及极坐标下求两点间距离，属于简单题.‎ ‎10.若|x﹣1|≤x|x+1|，则（　　）‎ A. x1 B. x≤1 C. x1 D. x ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对按照，，进行分类讨论，分别解不等式，然后取并集，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，，即，‎ 解得 所以 ‎②当时，，即 解得或 所以 ‎③当时，，即 解得 所以 综上所述，‎ 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式，属于简单题.‎ ‎11.某校学生一次考试成绩X（单位：分）服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝（　　）‎ 附：X满足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.99．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件概率公式，即可得出结论.‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题.‎ ‎12.已知直线y＝3x﹣1与曲线y＝ax+lnx相切，则实数a的值为（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，设切点，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于和的方程组，解出的值.‎ ‎【详解】设切点，‎ 因为，所以 所以切线斜率 则切线为 整理得 又因为切线方程为 所以得，解得 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.‎ ‎13.已知（ax）5的展开式中含x项的系数为﹣80，则（ax﹣y）5的展开式中各项系数的绝对值之和为（　　）‎ A. 32 B. 64 C. 81 D. 243‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意利用二项展开式的通项公式求出的值，可得即 ，本题即求的展开式中各项系数的和，令，可得的展开式中各项系数的和．‎ ‎【详解】的展开式的通项公式为 令，求得，‎ 可得展开式中含项的系数为，解得，‎ 则 所以其展开式中各项系数的绝对值之和，‎ 即为的展开式中各项系数的和，‎ 令，可得展开式中各项系数的和为.‎ 故选D项.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题 ‎14.已知函数f（x）＝（3x﹣2）ex+mx﹣m（m≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（　　）‎ A. （，2] B. [，）‎ C. [，） D. [﹣1，）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用导数研究其单调性，作出图象，再由恒过定点，数形结合得到答案．‎ ‎【详解】设，，‎ 则，‎ ‎，，单调递减，‎ ‎，，单调递增，‎ ‎，取最小值，‎ 直线过定点，‎ 而，‎ ‎，‎ 要使有且仅有两个整数使得，‎ 则，即 实数的取值范围为.‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题中，每小题5分，共20分，‎ ‎15.（x2+sinx）dx＝__．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的运算公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查定积分的基本运算，属于简单题.‎ ‎16.随机变量X～B（3，p），P（X≤2），则E（X）＝__．‎ ‎【答案】1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导 解得，再根据二项分布的数学期望公式，可得的值.‎ ‎【详解】因为随机变量，‎ 所以 解得 所以.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎17.五名毕业生分配到三个公司实习，每个公司至少一名毕业生，甲、乙两名毕业生不到同一个公司实习，则不同的分配方案有__种．‎ ‎【答案】114．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将5人按照1,1,3和2,2,1分组，分别得到总的分组数，再减去甲乙在同一组的分组数，然后在对所得到的的分组情况进行全排列，得到答案.‎ ‎【详解】先将五名毕业生分成3组，‎ 按照1,1,3的方式来分，有，其中甲乙在同一组的情况有，所以甲乙不在同一组的分法有种，‎ 按照2,2,1的方式来分，有，其中甲乙在同一组的情况有，所以甲乙不在同一组的分法有种，‎ 所以符合要求分配方案有种，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合中的分组问题，属于中档题.‎ ‎18.已知函数f（x）＝e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x，f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）≥x﹣ex+a恒成立，则实数a的取值范围为__．‎ ‎【答案】（﹣∞，0]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得到，再对求导，然后得到，令，得到，再得到，然后对，利用参变分离，得到，再利用导数求出的最小值，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】因为 所以令得，即，‎ 而 令得，即 所以 则 整理得 设，则 令，则 所以当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 所以 所以的范围为，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和函数思想，属中档题．‎ 三、解答题：本题共5小题，共70分 ‎19.已知为虚数单位，复数满足，‎ ‎（1）求．‎ ‎（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）z＝3+4i；（2）c＝8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由，进行计算化简，得到关于的方程组，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到关于的方程，求出的值.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴；‎ ‎（2）由题意，的坐标分别为 ‎∴，，‎ ‎∵是直角，∴，即．‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，复数模长的表示，向量垂直的坐标表示，属于简单题.‎ ‎20.观察以下等式：‎ ‎13＝12‎ ‎13+23＝（1+2）2‎ ‎13+23+33＝（1+2+3）2‎ ‎13+23+33+43＝（1+2+3+4）2‎ ‎（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n3+n，求S10．‎ ‎【答案】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；证明见解析（2）3080‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据式子猜想出一般性结论，然后当时，证明成立，假设时，式子也成立，然后对时的式子进行化简，从而证明结论成立；（2）对进行分组求和，然后根据（1）中所得到的求和公式，进行求和计算，得到答案.‎ ‎【详解】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；‎ 证明：当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；‎ 假设n＝k时，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2，‎ 当n＝k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3‎ ‎，‎ 可得n＝k+1时，猜想也成立，‎ 综上可得对任意的正整数n，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；‎ ‎（2）数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n3+n，‎ S10＝（13+23+…+103）+（1+2+3+…+10）＝（1+2+…+10）2‎ ‎＝552+55＝3080．‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法的证明，数列分组求和，属于中档题.‎ ‎21.脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在[0.1，0.3）的脐橙是“普通果”，重量在[0.3，0.5）的磨橙是“精品果”，重量在[0.5，0.7]的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收为了了解脐橙的品质，随机摘取100个脐橙进行检测，其重量分别在[0.1，0.2），[0.2，0.3），[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7]中，经统计得到如图所示频率分布直方图 ‎（1）将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取5个脐橙，求恰有3个是“精品果”的概率．‎ ‎（2）现从摘取的100个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为[0.4，0.5），[0.5，0.6）的脐橙中随机抽取10个，再从这10个抽取3个，记随机变量X表示重量在[0.5，0.6）内的脐橙个数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，先得到随机摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为0.5，并且随机摘取5个脐橙，其中“精品果”的个数符合二项分布，再根据二项分布的概率公式，列出式子，得到答案.（2）先判断出可取的值为0，1，2，3，分别计算出其概率，然后列出概率分布列，再根据随机变量的数学期望公式，计算出其数学期望.‎ ‎【详解】（1）从从脐橙果园中，随机摘取5个脐橙，其中“精品果”的个数记为Y，‎ 由图可知，随机摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为：0.2+0.3＝0.5，‎ ‎∴Y～B（5，），‎ ‎∴随机摘取5个脐橙，恰有3个是“精品果”的概率为：‎ P（Y＝3）．‎ ‎（2）依题意，抽取10个脐橙，重量为[0.3，0.4），[0.4，0.5）的个数分别为6和4，‎ X的可能取值为0，1，2，3，‎ P（X＝0），P（X＝1），‎ P（X＝2），P（X＝3），‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E（X）．‎ ‎【点睛】本题考查满足二项分布的概率问题，以及随机变量的概率分布列和数学期望，属于中档题.‎ ‎22.近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．‎ 由统计图表可知，可用函数y＝a•bx拟合y与x的关系 ‎（1）求y关于x的回归方程；‎ ‎（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．‎ 附：①参考数据 xi2‎ xiyi xivi ‎4‎ ‎360‎ ‎2.30‎ ‎140‎ ‎14710‎ ‎71.40‎ 表中vi＝lgyi，lgyi ‎②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β，α．‎ ‎【答案】（1）y＝100.25x+1.3；（2）预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对y＝a•bx两边同取以10为底的对数，得到v＝xlgb+lga，再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb和lga，从而得到，再写出y关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）所得的线性回归方程，得到100.25x+1.3＞10000，解出的范围，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由y＝a•bx，两边同时取以10为底的对数，‎ 得lgy＝lga+xlgb，即v＝xlgb+lga，‎ 由最小二乘法得：lgb．‎ ‎∵v＝xlgb+lga过点（4，2.30），‎ ‎∴lga＝2.30﹣0.25×4＝1.3．‎ ‎∴a＝101.3，b＝100.25．‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为y＝101.3•100.25x＝100.25x+1.3；‎ ‎（2）由100.25x+1.3＞10000，得0.25x+1.3＞4，解得x＞10.8．‎ 又∵x∈N*，∴预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．‎ ‎【点睛】本题考查最小二乘法求线性回归方程，以及根据线性回归方程进行估算，属于简单题.‎ ‎23.已知函数f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．‎ ‎（1）设g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞2．‎ ‎【答案】（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先得到解析式，然后对求导，分别解和，得到其单调增区间和单调减区间；（2）由题可知x1，x2是g（x）的两零点，要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，设h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用导数证明在（0，1）上单调递减，从而证明，即g（2﹣x1）＞g（x2），从而证明x1+x2＞2.‎ ‎【详解】（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，‎ ‎∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），‎ ‎∴g'（x）‎ 令g'（x）＝0，则x＝1，‎ ‎∴当x＞1时，g'（x）＜0；当0＜x＜1时，g'（x）＞0，‎ ‎∴g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；‎ ‎（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，‎ ‎∴x1，x2是g（x）的两零点，‎ 则g（x1）＝g（x2）＝0，‎ 不妨设0＜x1＜1＜x2，‎ ‎∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，‎ ‎∵g（x）在（1，+∞）上是减函数，‎ ‎∴要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，‎ 只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，‎ ‎∵g（2﹣x1）＝ln（2﹣x1）﹣2+x1+1﹣（lnx1﹣x1+1）＝ln（2﹣x1）﹣lnx1+2x1﹣2，‎ 令h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），‎ 则，‎ ‎∴h（x）在（0，1）上单调递减，‎ ‎∴h（x）＞h（1）＝0，g（2﹣x1）＞0成立，‎ 即g（2﹣x1）＞g（x2）‎ ‎∴x1+x2＞2．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明极值点偏移问题，属于难题.‎ ‎24.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，点M的极坐标为（，）．‎ ‎（1）求点M直角坐标和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线C1与曲线C2相交于A，B两点，设线段AB的中点为N，求|MN|的值．‎ ‎【答案】（1）M的极坐标为（0，），C2的直角坐标方程为x2+2y2＝2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，得到M的直角坐标，利用，得到曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得到，而所求的，从而得到答案.‎ ‎【详解】（1） 由点M的极坐标为（，），‎ 可得点M的直角坐标为（0，），‎ 由ρ2（1+sin2θ）＝2，得ρ2+ρ2sin2θ＝2，‎ ‎∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为x2+2y2＝2；‎ ‎（2）把（t为参数）代入x2+2y2＝2，‎ 得7t2+24t+16＝0．‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，‎ 又N点对应的参数为，‎ ‎∴|MN|．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程化直角坐标方程，直线参数方程的几何意义，属于中档题.‎ ‎25.已知函数f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}．‎ ‎（1）求实数a的值．‎ ‎（2）若存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式f（x）≤4，根据其解集，得到的值；（2）将所求不等式转化为5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，从而得到关于的不等式，解出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，‎ ‎∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，‎ ‎∵不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}，‎ ‎∴，∴a＝1；‎ ‎（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，‎ ‎∵存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，‎ ‎∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min ‎∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，‎ 当且仅当（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1时取等号，‎ ‎∴5m2+m≥6，‎ ‎∴或m≥1，‎ ‎∴m的取值范围为（﹣∞，]∪[1，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式，绝对值不等式的恒成立问题，属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎