2018-2019学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．双曲线的焦点坐标是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线的标准方程，分析可得、的值以及焦点的位置，计算可得的值，由双曲线的焦点坐标公式分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，双曲线，其中，，其焦点在轴上，‎ 则，‎ 则双曲线的焦点坐标为；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，关键是由双曲线的标准方程分析、的值，属于基础题．‎ ‎2．某位同学将自己近10次的数学考试成绩一一记录进行分析．10次的成绩分别记为x1，x2，…x10，下面给出的指标可以用来评估该同学数学成绩稳定程度的是（ ）‎ A．x1，x2，…x10的平均数 B．x1，x2，…x10的标准差 C．x1，x2，…x10的最大值 D．x1，x2，…x10的中位数 ‎【答案】B ‎【解析】利用平均数，中位数估计数据的集中程度，方差和标准差估计数据的稳定程度，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：平均数，中位数估计数据的集中程度，‎ 方差和标准差估计数据的稳定程度，‎ 而最大值并不能很好的估计稳定程度，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 考查了平均数、中位数、方差和标准差估计数据的特性，属于基础题．‎ ‎3．两枚骰子，设出现的点数之和分别为9，10，11的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）‎ A．p1＜p2＝p3 B．p1＞p2＞p3 C．p1＝p2＞p3 D．p1＞p2＝p3‎ ‎【答案】B ‎【解析】列表，分别计算出出现的点数之和是9、10、11的概率p1，p2，p3，比较即可．‎ ‎【详解】‎ 解：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ 共36种 则出现点数之和为的概率 则出现点数之和为的概率 则出现点数之和为的概率 ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，属于基础题．‎ ‎4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数茎叶图，后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：‎ 则7个剩余分数的方差为（ ）‎ A．36 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用平均数求，再把7个数据代入方差公式.‎ ‎【详解】‎ 去掉1个最高分99，去掉1个最低分97，剩下7个数为：87，90，90，91，91，94，，‎ 所以，解得：，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数和方差的计算，考查从茎叶图提取信息、处理信息的能力.‎ ‎5．已知a＞0，椭圆x2+a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先把椭圆方程化为标准方程，然后根据题意列出方程组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：可变为，，‎ 由题意得，解得，或解得，‎ 故或 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题，注意题意的长轴的数轴．‎ ‎6．下列命题正确的是（ ）‎ A．到x轴距离为3的点的轨迹方程是x＝3‎ B．方程表示的曲线C是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线 C．方程|x﹣y|+（xy﹣1）2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D．3x2﹣2y2﹣3x+m＝0通过原点的充要条件是m＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据曲线与方程的定义，对4个选项分别进行判断即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：选项：到轴距离为3的点的轨迹方程是，故错误；‎ 选项：方程表示的曲线是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线，除去原点，故错误；‎ 选项：方程，即且，即点或；故错误；‎ 选项：通过原点，则；当时通过原点，故正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的真假判断，曲线与方程的定义，属于基础题．‎ ‎7．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（　　）‎ A．2 B．4 C．±2 D．±4‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出抛物线的焦点坐标，推出M的坐标，然后求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，‎ 若为的中点，如图所示，‎ 可知的横坐标为1，则的纵坐标为，‎ 故选C．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8．青岛二中戏剧节中，6个MT除人文MT有两个节目参加决赛外，其他MT各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有种可能，人文两支队伍同时被抽到的共有2种情况，利用正难则反法，求出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有种可能，‎ 人文两支队伍同时被抽到的共有2种情况，‎ 所以人文两支队伍不同时被抽到的概率为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 考查古典概型概率的应用，本题还用了对立事件求概率的方法，属于基础题．‎ ‎9．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），与（O为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎10．有下列四个命题：‎ ‎①已知和是两个互相垂直的单位向量，23，4，且⊥，则实数k＝6；‎ ‎②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（）•（）＝1；‎ ‎③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），则向量在上正投影的数量是；‎ ‎④已知2，32，37（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面．‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：①23，4，且，‎ ‎，解得，所以①正确．‎ ‎②‎ ‎，所以②正确．‎ ‎③，，‎ 向量在上正投影，所以③正确．‎ ‎④假设向量，，共面，则，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，，‎ 得，，‎ 所以向量，，共面，所以④不正确．‎ 即正确的有个，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，属于中档题．‎ ‎11．过双曲线的右焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A，B两点，若y轴上存在一点D（0，b），使得，则此双曲线的离心率的值是（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出双曲线的右焦点，令，代入双曲线的方程，解得，的坐标，，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线的右焦点，‎ 令，可得，可得，，‎ 又，，即，‎ 可得：，，，‎ 可得，可得，，解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且3，抛物线的准线l与x轴交与点C，AA1垂直l于点A1，若四边形AA1CF的面积为，则准线l的方程为（ ）‎ A． B． C．x＝﹣2 D．x＝﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得过焦点的直线的斜率存在且不为零，设直线方程，联立直线与抛物线的方程，由根与系数的关系及向量的关系得到 点的坐标，代入抛物线方程可得参数的关系，由四边形的时梯形求出面积即可求出参数的值，进而求出准线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得抛物线的准线方程：，焦点坐标，，设，，，，，，，，，‎ 直线的斜率存在且不为零，设，代入抛物线方程：整理得：，‎ ‎，而，，，点在抛物线上可得：，‎ ‎，四边形的面积为，而四边形是直角梯形，‎ 所以面积为：，‎ 而，，，‎ ‎，所以准线方程：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 考查直线与抛物线的位置关系，及根与系数的关系的应用，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．命题“∀x∈R，x2﹣2ax﹣1≥0”的否定是_____．‎ ‎【答案】∃x0∈R，x02﹣2ax0﹣1＜0．‎ ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：命题为全称命题，则命题“，”的否定是 ‎，，‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．‎ ‎14．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用分层抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数，记 “两名一等奖来自同一年级”，则事件包含的基本事件个数，由此能求出事件的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，‎ 现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，‎ 则高一学生抽取：52，‎ 高二学生抽取：52，‎ 高三学生抽取：51，‎ 再从5位同学中选出2名一等奖，‎ 基本事件个数n10，‎ 记 “两名一等奖来自同一年级”，‎ 则事件A包含的基本事件个数m2，‎ ‎∴事件A的概率为p．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎15．高二级部期中考试前组织了一次模拟，并随机抽取了部分高二学生的数学检测成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图，估计该次检测的平均成绩μ＝_____．‎ ‎【答案】103.2‎ ‎【解析】根据频率分布直方图，能估计该次检测的平均成绩．‎ ‎【详解】‎ 解：根据频率分布直方图，估计该次检测的平均成绩：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎16．已知椭圆C1：1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：1（a2＞0，b2＞0）相同的焦点F1，F2（F1，F2分别为左右焦点），若点P是C1和C2在第一象限内的交点，|F1F2|＝|PF2|，设C1和C2的离心率分别是e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是_____‎ ‎【答案】（，+∞）‎ ‎【解析】设椭圆与双曲线的焦距为，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可求的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：设椭圆与双曲线的焦距为，，由题意可得，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 则，‎ ‎，，则，‎ ‎，．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线和椭圆的简单性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．盒子中装有大小相同的3个编号分别为A1，A2，A3的红球，2个编号为B1，B2的黑球，1个号为C1的黄球，从盒子中任就摸出4个球，求至少有2个红球的概率．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用排列组合求出所有的可能性和满足条件的可能性，再用古典概型概率公式求出．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，从盒子中任意摸出4个球，总共有种，‎ 从盒子中任意摸出4个球，只有2个红球共有种，‎ 从盒子中任意摸出4个球，有3个红球共有种，‎ 所以至少有2个红球的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 考查了排列组合法，古典概型概率公式的应用，属于基础题．‎ ‎18．已知集合，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】[，]‎ ‎【解析】利用二次函数的图象求出集合，解不等式求出集合，再利用命题是命题的必要而不充分条件，得到，利用集合间包含关系即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 集合，，‎ ‎，，‎ 集合，，‎ 命题是命题的必要而不充分条件，，‎ ‎，，‎ 实数的取值范围为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎19．为了调查消费者的维权意识，青岛二中的学生记者在五四广场随机调查了120名市民，按他们的年龄分组：第1组[20.30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70），得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）若要从被调查的市民中选1人采访，求被采访人恰好在第2组或第5组的概率；‎ ‎（2）已知第1组市民中男性有2人，学生要从第1组中随机抽取3名市民组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．‎ ‎【答案】（1）0.45（2）‎ ‎【解析】（1）设第2组，的频率为，利用概率和为1，求出第二组的概率，把第五组加起来即可，‎ ‎（2）设第1组，的频数，求出，记第1组中的男性为，，女性为，，，列出随机抽取3名市民的基本事件，列出至少有两名女性的基本事件，然后求解至少有两名女性的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设第2组，的频率为； 第4组的频率为 所以被采访人恰好在第2组或第5组的概率为；‎ ‎（2）设第1组，的频数，则，‎ 记第1组中的男性为，，女性为，，，‎ 随机抽取3名市民的基本事件是：，，，，，，，，，，， ，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种 其中至少有两名女性的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，共16种，‎ 所以至少有两名女性的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型概率公式的应用概率的求法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎20．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：‎ 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x（万辆）‎ ‎100‎ ‎102‎ ‎108‎ ‎114‎ ‎116‎ PM2.5的浓度y ‎78‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎（微克/立方米）‎ ‎（1）根据上表数据，用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程•x；‎ ‎（2）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（1）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？‎ ‎（参考公式：，•；参考数据：xi＝540，yi＝420）‎ ‎【答案】（1）y关于x的线性回归方程为0.72x+6.24（2）此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米 ‎【解析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；‎ ‎（2）将代入回归方程计算．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，．‎ 关于的线性回归方程为．‎ ‎（2）当时，．‎ 此时的浓度为150.24微克立方米．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的解法及利用回归方程进行数值估计，属于基础题．‎ ‎21．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点M是直线y＝x与抛物线E在第一象限内的交点，且|MF|＝5．‎ ‎（1）求抛物E的方程．‎ ‎（2）直线l与抛物线E相交于两点A，B，过点A，B分别作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x 轴于B1，原点O到直线l的距离为1．求的最大值．‎ ‎【答案】（1）x2＝4y（2）‎ ‎【解析】（1）抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离；‎ ‎（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设直线方程，代入抛物线中，由根与系数的关系得到纵坐标的关系，原点到直线的距离得出斜率和截距的关系，求出距离，用纵坐标表示，再由二次函数求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设，，联立方程组：解得：，‎ 抛物线中，准线方程：，到焦点距离等于到准线的距离，，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 所以抛物线方程为：；‎ ‎（2）由题意可得直线的斜率一定存在，‎ 设的方程为：，，‎ 原点到直线的距离为1得：，‎ ‎，，，，‎ 联立方程组：得：，‎ ‎，‎ 即且，，‎ ‎，，‎ 而，‎ 当时最大且为：，‎ 即的最大值为：．‎ ‎【点睛】‎ 考查抛物线的性质，及直线与抛物线相交的得出坐标的关系，再由二次函数求出最大值．属于中档题．‎ ‎22．如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点A的直线l与椭圆交于另一点B，垂直于l的直线l′与直线l交于点M，与y轴交于点N，若FB⊥FN且|MO|＝|MA|，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）直线l方程为：x＝±y+2‎ ‎【解析】（1）由得：，，即可求出椭圆方程，‎ ‎（2）由于直线过点，可设 方程为：，求出点，的坐标，根据向量的数量积和点在椭圆上，即可求出的值，即可求出直线的方程 ‎【详解】‎ 解：（1）由得：，，‎ 所以椭圆方程为，‎ ‎（2）由于直线过点，可设 方程为：，由题意可知，与直线联立，得，‎ 直线与直线垂直，可得直线方程为：‎ 令．得，设，，，‎ 所以，即①，‎ 由点在椭圆上，代入椭圆方程得：②，联立①②，得，‎ 所以直线方程为：，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆无公共点，过抛物线C上一点M作圆D的两条切线，切点分别为E，F，当点M在抛物线C上运动时，直线EF都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（0，π）‎ ‎【解析】联立圆的方程和抛物线方程，可得的方程，由方程有非负数解，可得，由，既在圆上，又在以为直径的圆上，可得切点弦的方程，考虑关于的方程有解，可得当运动时，直线都不通过的点构成一个区域是圆，由圆的面积公式可得范围．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线与圆无公共点，‎ 可得即无非负数解，‎ 即有△，解得或，‎ 可得，设，总在圆外部，即对一切实数都成立，‎ 由，即，即成立，‎ 点，在圆上，也在以，，，为直径的圆上．‎ 即在上，‎ 上面两个圆的方程相减可得：，‎ 即为直线的方程，化为，，‎ 关于的二次方程有实数根，‎ ‎，‎ 即，‎ 即直线不经过圆的内部的每一个点．‎ 当运动时，直线都不通过的点构成一个区域是圆，‎ 这个区域的面积是，‎ 取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程，以及圆的切点弦方程求法，考查化简运算能力，属于难题．‎