重庆市永川区2018-2019学年高二下学期期期末考试数学试题 含解析

重庆市永川区2018-2019学年高二下学期期期末考试数学试题 含解析

www.ks5u.com 高二年级期末数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.下列命题①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体。其中正确的个数为（）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据多面体的定义判断。‎ ‎【详解】正多面体只有正四、六、八、十二、二十，所以①②正确。‎ 表面经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体。‎ 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。所以③④正确。‎ 故：①②③④都正确 ‎【点睛】根据多面体的定义判断。‎ ‎2.球的体积是，则此球的表面积是 A. 12π B. 16π C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用球的体积与表面积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2．故球的表面积S表＝4πR2＝16π．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了球的体积与表面积计算公式，属于基础题．‎ ‎3.下列四个命题中，其中错误的个数是（）‎ ‎①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；‎ ‎②经过球直径三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；‎ ‎③球的面积是它大圆面积的四倍；‎ ‎④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长．‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合球的有关概念:如球的大圆、球面积公式、球面距离等即可解决问题,对于球的大圆、球面积公式、球面距离等的含义的理解,是解决此题的关键.‎ ‎【详解】对于①,若两点是球的一条直径的端点,则可以作无数个球的大圆,故①错; 对于②三部分的面积都是，故②正确 对于③,球面积=,是它大圆面积的四倍, 故③正确; 对于④,球面上两点的球面距离,是这两点所在大圆上以这两点为端点的劣弧的长,故④错. 所以①④错误. 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查球的性质,特别是求两点的球面距离,这两个点肯定在球面上,做一个圆使它经过这两个点,且这个圆的圆心在球心上,两点的球面距离对应的是这个圆两点之间的对应的较短的那个弧的距离.‎ ‎4.球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆周长为，那么这个球的半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解:‎ ‎5.球的体积是，则此球的表面积是 A. 12π B. 16π C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用球的体积与表面积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2．故球的表面积S表＝4πR2＝16π．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了球的体积与表面积计算公式，属于基础题．‎ ‎6.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．‎ 由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：‎ ‎，故选A.‎ 考点：球内接多面体 ‎7.64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a的球，记其体积为，表面积为，则（）‎ A. >且> B. <且<‎ C. =且> D. =且=‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出、、、，再比较大小。‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 故=，>‎ ‎【点睛】已知直径利用公式 ,分别计算出、、、，再比较大小即可。‎ ‎8.设地球的半径为R，在纬度为的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为，则A,B两地之间的球面距离为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据纬线圈上的弧长为求出A,B两地间的径度差，即可得出答案。‎ ‎【详解】设球心为O，纬度为的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=,∴O´A=OAcos∠O´AO=Rcos,设A,B两地间的径度差的弧度数为，则 Rcos=,∴=,即A,B两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=,‎ ‎∴A,B两地之间的球面距离为．答案：D．‎ ‎【点睛】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。‎ ‎9.一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）‎ A. cm B. cm C. cm D. cm ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等体积法求水面下降高度。‎ ‎【详解】球的体积等于水下降的体积即，．答案：D．‎ ‎【点睛】利用等体积法求水面下降高度。‎ ‎10.地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）‎ A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画图标注其位置，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 如图所示： ，即有3个直角三角形。‎ ‎【点睛】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。‎ ‎11.定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（）‎ A. 5400海里 B. 2700海里 C. 4800海里 D. 3600海里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。‎ ‎【详解】地球表面上从甲地（北纬45°东经120°）到乙地（北纬45°西经150°），‎ 乙两地对应的AB的纬圆半径是 ,经度差纬90°，‎ 所以AB=R,球心角为60°，最短距离为 ‎【点睛】求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。‎ ‎12.甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）‎ A. 1∶2∶3 B. 1∶∶‎ C. 1∶∶ D. 1∶2∶3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。‎ ‎【详解】设立方体为以2为边长的正方体，则 ，，‎ 所以 ‎【点睛】设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。‎ 二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果．‎ ‎13.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等体积法 ‎【详解】 ‎ ‎【点睛】等体积法 ‎14.球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出截面圆的半径，再算截面面积。‎ ‎【详解】截面圆半径为 ，‎ 截面面积为 。‎ ‎【点睛】先求出截面圆的半径，再算截面面积。‎ ‎15.如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为 的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有，化简可得，；‎ 考点：简单几何体的体积公式 ‎16.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则该球的半径为 .‎ ‎【答案】13cm ‎【解析】‎ ‎【详解】设球半径为R，则，‎ 解得，故答案为13.‎ 三、解答题：本大题满分74分．‎ ‎17.在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．‎ ‎【答案】6π(米2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出射影角，再由射影比例求球的阴影部分的面积。‎ ‎【详解】解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为 S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)‎ ‎【点睛】先求出射影角，再由射影比例求球的阴影部分的面积。‎ ‎18.把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．‎ ‎【答案】(2+)R ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。‎ ‎【详解】解：将四个球心两两连结，构成一个棱长为2R的正四面体 设底面正三角形的中心为H,则 故上层小球最高处离桌面的距离为 ‎【点睛】四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。‎ ‎19.A、B、C是球O表面上三点，AB=6㎝，∠ACB=30°，点O到△ABC所在截面的距离为5㎝，求球O的表面积．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求出ABC截面圆的半径，再由距离求出球的半径，再求出其表面积。‎ ‎【详解】在 中 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】根据正弦定理求出ABC截面圆的半径，再由距离求出球的半径，再求出其表面积。‎ ‎20.如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积的大小关系．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别用体积表示其面积，再比较大小。‎ ‎【详解】解：设球的半径为R、正方体的棱长为a,等边圆柱的底面半径为r,且它们的体积都为V,‎ 则:V=,．‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎【点睛】分别用体积表示其面积，再比较大小。‎ ‎21.球O的半径为R,A﹑B﹑C在球面上，A与B,A与C的球面距离都为，B与C的球面距离为，求球O在二面角B-OA-C内的部分的体积．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出二面角B-AO-C的平面角，再根据比例关系求出球O在二面角B-OA-C内的部分的体积。‎ ‎【详解】解：A与B,A与C的球面距离都为，‎ ‎，‎ BOC为二面角B-AO-C的平面角，‎ 又B与C的球面距离为，BOC=，球O夹在二面角B-AO-C的体积是球的六分之一即为 ‎【点睛】先求出二面角B-AO-C的平面角，再根据比例关系求出球O在二面角B-OA-C内的部分的体积。‎ ‎22.同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为求：‎ ‎（1）侧面积的比；‎ ‎（2）体积的比；‎ ‎（3）角的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出其侧面积，再计算比值。‎ 分别计算出其侧体积，再计算比值。‎ 根据在 单调递增，通过计算的最大值，求出角的最大值。‎ ‎【详解】解：（1）设O为球心，为正三棱锥底面ABC所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P,Q,取BC的中点D,则是侧面与底面所成二面角的平面角，‎ ‎，同理=．，‎ ‎．‎ ‎:=．‎ ‎(2),‎ 这两个三棱锥的底都是三角形，‎ ‎（3）设边长为a,,则 而 当平面ABC通过球心O时，a最大为时，‎ 取最大值，这时也最大，最大值为.‎ ‎【点睛】用已知数量表示所求量，再求比值。求角的最大值，可以根据单调性通过求其三角函数值的最值来求。‎ ‎ ‎