2020高考理科数学二轮分层特训卷：仿真模拟专练 （八）
专练(八)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)]设集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|x(x－3)<0}，则A∪B＝( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(－1，3) D．(1，3)
答案：C
解析：因为A＝{x|－1
|b|”是“f(a)>f(b)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a>|b|≥0，则f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以a>|b|是f(a)>f(b)的充分条件；若f(a)>f(b)，则f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a，b的正负不能判断，因此无法得到a>|b|，则a>|b|不是f(a)>f(b)的必要条件，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件，故选A.
4．[2019·湖南益阳模拟]已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为( )
A．(－，)∪(2，＋∞) B．(－，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－，2)
答案：A
解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，
∴a＋2＝0，得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4，
∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或
即或
解得－2.
综上，原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞)．故选A.
5．[2019·湖南师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<)和角β的终边分别交单位圆于A，B两点，若点B的纵坐标为－，且满足S△OAB＝，则sin的值为( )
A. B.
C．－ D．－
答案：A
解析：由图知∠xOA＝α，∠xOB＝β，且sin β＝－.
由S△OAB＝知∠AOB＝，即α－β＝，即α＝β＋，
故sin＝sin＝cos β＝＝.故选A.
6．[2018·全国卷 Ⅲ]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
答案：B
解析：由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以C10p4(1－p)6＜C10p6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6.故选B.
7．[2019·黑龙江哈师大附中联考]已知数列{an}中，a1＝且an＋1＝(an＋n＋2)，则an＝( )
A.＋n B.
C.＋n D.＋n－1
答案：A
解析：∵an＋1＝(an＋n＋2)，∴an＋1－(n＋1)＝(an－n)，∴{an－n}是公比为的等比数列，又a1＝，∴a1－1＝，∴an－n＝，∴an＝＋n，故选A.
8．[2019·湖北宜昌两校第一次联考]若tan＝，则cos 2α＋sin 2α＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案：C
解析：因为tan＝，所以tan α＝＝＝，于是cos 2α＋sin 2α＝＝
eq f(1－tan2α＋2tan α,tan2α＋1)＝＝.故选C.
9．[2019·湖北荆荆襄宜四地七校联考]已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1) B．(－3，0)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：因为f(a)<1，所以或得－30)，若存在实数b使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1，2 019) D．[1，＋∞)
答案：B
解析：由题意知f(x)在(－∞，a]上为增函数，在(a，＋∞)上也是增函数．当a3>a2时，f(x)在R上不是增函数，故必定存在b，使得直线y＝b与f(x)的图象有两个交点，即g(x)＝f(x)
－b有两个零点，此时a>1.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·北京人大附中期中]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝________.
答案：n
解析：∵2Sn＝(n＋1)an，∴n≥2时，2Sn－1＝n·an－1，两式相减得，2an＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1，即＝(n≥2)，又a1＝1，∴an＝××…××a1＝××…××1＝n.
14．[2019·江西临川一中等学校联考]在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为________．
答案：
解析：∵3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，∴9＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＋16＝37，即24sin(A＋B)＝12，∴sin C＝.∵0，∴C＝.
15．[2019·重庆一中月考]设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为________．
答案：90°
解析：通解 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.
优解一 如图，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2，0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.
优解二 如图，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)·a＝0，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.
16．[2019·四川成都树德中学月考]e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的率心率，P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且|PO|＝|F2O|，则＝________.
答案：
解析：方法一 设点P在第一象限内，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a1，|PF1|＝m，|PF2|＝n，m＞n，则m＋n＝2a，m－n＝2a1，所以m＝a＋a1，n＝a－a1.
由平行四边形的性质可得，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)，
所以(2c)2＝(a＋a1)2＋(a－a1)2，即2c2＝a2＋a，
所以＋＝2，所以＝2，故＝.
方法二 易知|PO|＝|F2O|＝|F1O|＝c，所以点P在以O为圆心，F1F2为直径的圆上，所以∠F1PF2＝90°.于是由椭圆、双曲线焦点三角形面积公式可得，(a2－c2)tan 45°＝，所以2c2＝a2＋a，所以＋＝2，所以＝2，故＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月调研卷]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b＝sin B，且满足tan A＋tan C＝.
(1)求角C和边c的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
解析：(1)∵tan A＋tan C＝，∴＋＝，
即＝，∴＝，
∵A＋C＝π－B，∴＝，∴＝2sin B，
∵0b>0)的焦距为2c，且b＝c，圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与x轴交于点M，N，P为椭圆E上的动点，|PM|＋|PN|＝2a，△PMN面积的最大值为.
(1)求圆O与椭圆E的方程；
(2)圆O的切线l交椭圆E于点A，B，求|AB|的取值范围．
解析：(1)因为b＝c，所以a＝2c.
因为|PM|＋|PN|＝2a，所以点M，N为椭圆的焦点，所以r2＝c2＝a2.
设P(x0，y0)，则－b≤y0≤b，所以S△PMN＝r·|y0|＝a|y0|，
当|y0|＝b时，(S△PMN)max＝ab＝，
所以c＝1，b＝，a＝2.
所以圆O的方程为x2＋y2＝1，椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x＝1.
则可取A，B，|AB|＝3.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
因为直线l与圆O相切，所以＝1，即m2＝1＋k2.
联立得消去y可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2＋3－m2)＝48(3k2＋2)>0，x1＋x2＝－，x1x2＝.
|AB|＝·
＝4··
＝
＝
＝·.
令t＝，则02时，f′(x)>0，
可知x＝2是函数f(x)的一个极值点．
∴a＝－5.
(2)∵x∈[1，2]时，f(x)≤e2，
∴x∈[1，2]时，f(x)max≤e2成立．
由(1)知f′(x)＝(x＋a＋3)(x－1)ex，
令f′(x)＝0，解得x1＝－a－3，x2＝1.
①当a≤－5时，－a－3≥2，
∴f(x)在x∈[1，2]上单调递减，
f(x)max＝f(1)＝(－a－2)e≤e2，
a≥－e－2与a≤－5矛盾，舍去；
②当－5
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