【数学】天津市咸水沽第二中学2020届高三下学期质量调查试题

【数学】天津市咸水沽第二中学2020届高三下学期质量调查试题

天津市咸水沽第二中学2020届高三下学期质量调查试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么.‎ 如果事件相互独立，那么.‎ 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高.‎ 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高.‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.‎ ‎2．本卷共9个小题，每小题5分，共45分.‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知，若（i是虚数单位），则复数是 A. B． C． D．‎ ‎2．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．已知函数.若曲线在点处的切线与直线 平行，则实数 A． B． C． D．1 ‎ ‎4．在中，，，，以边所在的直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，，，.若分数在区间的频数为，则大于等于分的人数为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎6．已知函数.若，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数（）的最小正周期为，其图象关于直线对称.给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；‎ ‎④在区间上单调递增.其中正确的结论为 A．①② B．②③ C．②④ D．①④‎ ‎8．设双曲线的两条渐近线与圆相交于，，，四点，若四边形的面积为，则双曲线的离心率是 A. B.‎ C.或 D．‎ ‎9．在等腰梯形中，，，，.若为线段的中点，为线段上一点，且，则 A. B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上.‎ ‎2．本卷共11个小题，共105分.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分, 共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.‎ ‎10．已知集合，（），且，则 ▲ .‎ ‎11．在的展开式中，项的系数为 ▲ （用数字作答）.‎ ‎12．设，若与的等差中项是，则的最大值是 ▲ .‎ ‎13．已知圆，过点的直线L与相交于，两点，且，则L的方程为 ▲ .‎ ‎14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为:每位参赛教师都要回答个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的个问题，教师甲答对的概率分别为.若教师甲恰好答对 个问题的概率是，则 ▲ ；在前述条件下，设随机变量表示教师甲答对题目的个数，则的数学期望为 ▲ .‎ ‎15．已知函数若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ▲ .‎ 三、解答题:本大题共5个小题,共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，.‎ ‎（1）求角的大小； （2）求的值.‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ 如图，在三棱柱中，四边形，均为正方形，且，为的中点， 为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.‎ ‎18．（本小题满分15分）‎ 已知抛物线的焦点为椭圆（）的右焦点，的准线与交于，两点，且.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的左顶点作直线L交于另一点，且（为坐标原点）的延长线交于点，若直线的斜率为1，求L的方程.‎ ‎19.（本小题满分15分）‎ 设是等比数列，是等差数列.已知，，，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设其中，求数列的前项和.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数在处取得极值，函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（1）求的值，并判断是的最大值还是最小值；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）证明：对于任意正整数，不等式成立.‎ 参考答案 一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 答案 B A D B C D C A D 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)‎ ‎10． 11． 12．‎ ‎13． 14．； 15． ‎ 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）‎ ‎16．解：（1）由题设及正弦定理，得．…………………1分 在中，因为，所以．………………………2分 由于，从而，‎ 所以．………………………………………………………4分 在中，因为，所以，所以， ‎ 所以，即． ……………………………………………………………6分 ‎ ‎（2）在中，由于，‎ 则由余弦定理，得，即． ……………8分 因为，所以，‎ 解得，从而． …………………………………………………………10分 在中，由正弦定理，得 因为中，，且，所以，‎ 所以． ……………………………12分 所以．‎ ‎．……………………………14分 ‎17．解：因为四边形，均为正方形，所以．‎ 又，从而以点为坐标原点，分别以向量的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系． ……1分 不妨设，则有，‎ 所以． ………………………2分 ‎（1）证明：【方法一】易知，平面的法向量为．‎ ‎ 由于，所以，即． …………………4分 ‎ 又因为平面，所以平面．………………………5分 ‎【说明】本小题的其它解法如下（这里过程略述），若步骤完整、过程严谨，请参照赋分标准，酌情赋分：‎ ‎【方法二】取的中点,连接．证明平面平面，进而证得 平面．‎ ‎【方法三】取的中点,连接．先证明,进而证得平 面．‎ ‎（2）由题意，知,,．‎ 设平面的法向量为，‎ 则有 即 令，得． ……………………………………………………7分 设平面的法向量为，‎ 则有 即 令，得．……………………………………………………8分 所以，所以， ………………10分 ‎ 设二面角的大小为，‎ 所以．‎ 故所求二面角的正弦值为．………………………………11分 ‎（3）设点（），则,‎ 且有．‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则有，即， ………………12分 整理，得，解得或（舍去）．…………14分 所以． …………………………………………………………15分 ‎18．解：（1）易得，抛物线的焦点的坐标为，准线方程，‎ 所以椭圆的右焦点，左焦点为． ……………………2分 设椭圆的半焦距为,依题意得 ‎ 解得． ………………………………………5分 故所求椭圆的方程为． ………………………………………………6分 ‎（2）【方法一】由题意，得的左顶点．‎ 又知直线L的斜率存在，不妨设为（），点,‎ 则直线方程为．………………………………………………7分 联立方程组 消去并整理，得， （※）………………9分 易得，‎ 所以点为方程（※）的实数根，‎ 从而，所以．‎ 所以． …………………………11分 由题意，点均在上，且关于原点对称，‎ 所以点,即．………………………12分 因为,所以，解得． ………………………14分 故所求直线L的方程为，即． …………………15分 ‎【方法二】由题意，得的左顶点，直线的斜率为1，‎ 所以直线的方程为． ……………………………………………7分 联立方程组 消去并整理，得． ‎ 解得，或．………………………………………………………10分 所以点的横坐标（因为为点的横坐标），‎ 所以点的纵坐标，从而点．…………………………12分 由题意，点均在上，且关于原点对称，‎ 所以点的坐标为，所以．………………………………14分 所以直线的方程为,‎ 即所求直线L的方程为．…………………………………………15分 ‎19．解：（1）设等比数列公比为，由，‎ 得 消去并整理，得，………………………2分 解得,从而．‎ 所以； ……………………………………………………………………3分 设等差数列的公差为，由,，‎ 得 …………………………………………………………………5分 解得． ‎ 所以． …………………………………………………6分 ‎（2）由（1）及题意，得其中． ………………8分 ‎①当为奇数时，不妨设数列的前项和为，‎ 所以，‎ 即， …………………………9分 所以．‎ 上述两式相减，得 ‎ ， …………11分 所以． ………………………………………………12分 ‎②当为偶数时，易得，数列前项和为 ‎．………………14分 设{Cn}的前2n项和为T2n 则 ‎．………………………………………15分 ‎20．解：（1）因为（），‎ 所以（）． ……………………………………………1分 因为是的极值点，所以，‎ 即，所以． …………………………………………………………2分 此时，，（）．‎ 易得，当时， ；当时，，‎ 所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增，………4分 所以函数在处的极值是最小值．…………………………………5分 ‎（2）由（1）知，，所以，且．‎ 所以． ……………………………………………………………6分 设（），则． ……………………7分 显然，当时，恒成立，‎ 所以函数在上单调递增，且．………………………9分 所以,当时，，即；‎ ‎ 当时，，即．‎ 所以，函数的单调递减区间为；单调递增区间为． ………11分 ‎（3）证明：由（1）可知,‎ 当时，，即．………………………………12分 不妨令（），‎ 则有（）．……………………………………………13分 所以，‎ 即．…………………………………15分 因为函数在区间上单调递增，‎ 所以（得证）． …………………………………16分