高考数学【理科】真题分类详细解析版专题5 三角函数（解析版）

高考数学【理科】真题分类详细解析版专题5 三角函数（解析版）

专题05 三角函数 ‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查三角恒等变换，考查学生对概念的理解 ‎（2013·浙江理）6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎，所以 ‎，所以选C；‎ ‎【学科网考点定位】此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解能力；‎ ‎（2013·天津理）6. 在△ABC中, 则 = （ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以由余弦定理得：‎ ‎=5，即，由正弦定理得：，解得 =，故选C.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查正余弦定理公式的应用，属容易题，熟练正余弦定理是解答好本类题目的关键.‎ ‎（2013·上海理）11．若，则 ‎【答案】‎ ‎【解析】，，故．‎ ‎【学科网考点定位】考查两角和与差的正弦、余弦公式及计算，属中档题。‎ ‎（2013·上海理）4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，故．‎ ‎【学科网考点定位】考查余弦定理及运算，属容易题。‎ ‎（2013·陕西理）7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 （ ）‎ ‎ (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 ‎【答案】B ‎（2013·山东理）5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】得到的偶函数解析式为，显然 ‎【学科网考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.‎ ‎（2013·辽宁理）（9）已知点 A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 【答案】C ‎【解析】由点B的坐标可知B点在的图象上，由此可知 若，则，若，则，二者为或的关系，故选C ‎【学科网考点定位】解三角形。‎ ‎（2013·辽宁理）（6）在，内角所对的边长分别为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 于180度。‎ ‎（2013·江西理） 11．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【学科网考点定位】此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（15）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为θ为第二象限角，若tan（θ+）=>0，所以角θ的终边落在直线的左侧,‎ ‎ sinθ+cosθ<0,由tan（θ+）=得=，即=，所以设sinθ+cosθ=x，则 cosθ- sinθ=2x，将这两个式子平方相加得：，即sinθ+cosθ=.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数在各个象限的符号口诀等公式的灵活运用，属中档题.‎ ‎（2013·江西理）10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点。‎ 设弧FG的长为x(0＜x＜π),y=EB+BC+CD，若ι从ι1平行移动到ι2，则函数y=f(x)的图像 大致是 ‎【答案】D ‎【解析】如图由余弦函数的图像性质可得D正确.‎ ‎【学科网考点定位】本题主要考查三角函数的概念、图像、性质及其应用.‎ ‎（2013·湖南理）8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立直角坐标系，所以等腰三角形ABC的中心坐标为，因为光线从点出发，经发射后又回到原点，故点P为三角新ABC的中心在底边AB上的投影，所以AP=.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查三角形的中心，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎（2013·湖南理）3.在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】因为，所以，所以，所以.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查正弦定理的运用，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎（2013·福建理）13. 如图，在中，已知点在边上，,, , 则的长为_____ ‎ ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】设,则，，在中应用余弦定理得：，故 ‎【学科网考点定位】 余弦定理及诱导公式的应用，属于解斜三角形中容易题。‎ ‎（2013·大纲理）13.已知是第三象限角，，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知.故.‎ ‎【学科网考点定位】同角三角函数的关系 ‎（2013·大纲理）12.已知函数，下列结论中错误的是（ ）‎ A．的图像关于点中心对称 B．的图像关于直线对称 C．的最大值为 D．既是奇函数，又是周期函数 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知.‎ ‎ ∴，即f(x)的最大值为.故选C.‎ ‎【学科网考点定位】三角函数的性质 ‎（2013·北京理）15. (本小题共13分)在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.‎ ‎(I)求cosA的值，‎ ‎(II)求c的值 ‎ 【解析】知道两边和角的关系，可以用正弦定理求角.利用三角形内角和定理求出角C,再次利用正弦定理求边c.‎ ‎【答案】⑴由正弦定理，,因为a=3，b=2，∠B=2∠A,‎ 所以，解得.‎ ‎⑵由⑴知，，所以.‎ 又因为∠B=2∠A，所以.‎ 所以.‎ 在中，，‎ 所以.‎ ‎【学科网考点定位】本小题考查了正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式.‎ ‎（2013·浙江理）16. 中，,是的中点，若，则________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】此题画出图形，结合已知条件利用正余弦定理和锐角的三角函数的定义构造出方程然后求解。如图5所示，设 ‎，由已知得到 ‎，在中，由余弦定理得到：‎ ‎；所以填；‎ ‎【学科网考点定位】此题考查同角三角函数平方关系、余弦定理和锐角的三角函数的定义，考查学生的运算求解能力；‎ ‎（2013·安徽理）（12）设的内角所对边的长分别为。若，则则角_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理，所以；‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎，所以.‎ ‎【学科网考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.‎ ‎（2013·安徽理）（16）（本小题满分12分）‎ 已知函数 的最小正周期为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论在区间上的单调性。‎ ‎【解析】第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎ ‎ ‎ 由题意，所以 由（1）知 ‎ 若，则 ‎ 当，即时，单调递增；‎ ‎ 当，即，单调递减.‎ ‎【学科网考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（17）（本小题满分12分）‎ ‎△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC0，所以，解得B=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：，即，由不等式得：，当且仅当时，取等号，所以，解得，所以△ABC的面积为 ‎=，所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，已知边角混和式，即a=bcosC+csinB，可以考虑部分的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎（2013·大纲理）18.（本小题满分12分）‎ 设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若，求C.‎ ‎【答案】（Ⅰ）因为，所以.‎ 由余弦定理得，‎ ‎ 因此.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 故或，‎ ‎ 因此或.‎ ‎ 【解析】(1)因给出了边的关系，首选利用余弦定理进行转化；（2）利用第一问的结论，麻烦.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的划归能力和计算能力.‎ ‎（2013·福建理）20.（本小题满分14分）‎ 已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象。‎ （1） 求函数与的解析式 （1） 是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数，若不存在，说明理由；‎ （2） 求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点 ‎ 【答案】（Ⅰ）由函数的周期为，，得 又曲线的一个对称中心为，‎ 故，得，所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ‎（Ⅱ）当时，，‎ 又，‎ 且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，‎ 即存在唯一的满足题意 ‎（Ⅲ）依题意，，令 当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，‎ 现研究时方程解的情况 令，‎ 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ‎，令，得或 当变化时，和变化情况如下表 故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；‎ 当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；‎ 当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点 由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以 综上，当，时，函数在内恰有个零点 ‎【解析】三角函数解析式的确定相对而言应该比较容易，也就是说即使是20‎ 题的第一问往往难度也不会太大，而我们同学可能因为时间的关系而丢掉了捡分的机会，所以建议大问是送给学生的。‎ ‎（2013·广东理）16．（本小题满分12分）‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值； ‎ ‎ (Ⅱ) 若,,求．‎ ‎【答案】 (Ⅰ)；‎ ‎(Ⅱ) ‎ 因为,,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎【解析】（1）考查三角函数求值问题，较为简单；（2）利用两角和的余弦公式进行化简，然后再借助二倍角公式进行求解，解题时需注意角的范围对三角函数值的影响.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎，所以，因为是第一象限角，所以；‎ ‎（2），；因为，所以，化简得，所以，解得 x的取值集合为.‎ ‎【解析】（1）对化简，先求出的值，再求的值；（2）将问题转化为即可求解.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查三角函数的计算、三角恒等变换、三角函数的性质，考查学生的基本运算能力.‎ ‎（2013·江西理）16．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a+c=1，求b的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ 此类求三角形的内角的问题在解法上既可以直接化简求值，也可以运用正余弦定理化查分析问题解决问题的能力.‎ ‎（2013·辽宁理）17．（本小题满分12分）‎ 设向量 ‎（I）若 ‎（II）设函数 ‎【答案】（I）由可得，代入得 解得，又，故 ‎（II）‎ 由=‎ ‎，当时，，‎ 当 ‎【解析】第一问直接运用模相等的关系可得关于x的方程，注意运用二倍角公式以及三角函数的性质。‎ ‎（2013·辽宁理）22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，‎ ‎（I）‎ ‎（II）‎ ‎【答案】（I）由直线CD与相切，得到 由AB是的直径，‎ ‎,‎ ‎（II）‎ ‎,同理可得：‎ ‎【解析】第一问由切线联想到弦切角定理，进而转化到直角三角形中来解决角相等问题；（2013·山东理）17.设的内角所对的边分别为，且，。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，‎ 所以 分别代入得解得 ‎（Ⅱ）由得，‎ 因为所以 所以 ‎【学科网考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查.‎ ‎（2013·陕西理）16. (本小题满分12分)‎ 已知向量, 设函数. ‎ ‎ (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎ (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. ‎ ‎【解析】本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题。正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键。本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一。‎ ‎（Ⅱ），，……………..8分 故当即时，…………………….10分 ‎ 当即时，………………………12分 ‎【学科网考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．‎ ‎（2013·上海理）21．（6分+8分）已知函数，其中常数；‎ ‎（1）若在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．‎ ‎【解析】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题。解答 ‎(2) ，‎ 或，‎ 即的零点相离间隔依次为和，‎ 故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．‎ ‎【学科网考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题 ‎（2013·天津理） (15) (本小题满分13分)‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ) 求在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，求函数的最小正周期，只需把 化简成的形式即可；第(Ⅱ)问，由，得出的范围，然后由三角函数图象就可求出最大值与最小值.‎ ‎【易错点】对第（Ⅰ）问，熟练三角变换的公式; 第(Ⅱ)问，求最值时，要注意结合三角函数的图象求解.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查基本运算能力.‎ ‎【2012高考真题】‎ ‎1．（2012·湖北卷）函数f(x)＝xcosx2在区间（0,4]上的零点个数为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎【答案】C　【解析】令f(x)＝0，得x＝0或cosx2＝0，由x∈，得x2∈.因为cos＝0，故方程cosx2＝0中x2的解只能取x2＝，，，，∈.所以零点个数为6.故选C.‎ ‎【考点定位】角的概念及任意角的三角函数 ‎2．（2012·辽宁卷）已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ ‎3．（2012·福建卷）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【解析】解：解法一：‎ ‎(1)选择(2)式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ ‎4．（2012·重庆卷）设f(x)＝4cossinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．‎ ‎【解析】解：(1)f(x)＝4sinωx＋cos2ωx ‎＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ‎＝sin2ωx＋1.‎ 因－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为（1－，1＋]．‎ ‎(2)因y＝sinx在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．‎ 依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是 解得ω≤，故ω的最大值为.‎ ‎5．（2012·广东卷）已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ ‎7．（2012·湖南卷）函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图1－5所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．‎ ‎(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________；‎ ‎(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．‎ 图1－5‎ ‎【答案】(1)3　(2) 　‎ ‎【解析】考查三角函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象与解析式，结合导数和几何概型，在陈 率为P＝＝.‎ ‎【考点定位】三角函数的图象与性质 ‎8．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间．‎ ‎【解析】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，‎ 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．‎ 因为f(x)＝ ‎＝2cosx(sinx－cosx)‎ ‎＝sin2x－cos2x－1‎ ‎＝sin－1，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)函数y＝sinx的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．‎ 所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．‎ ‎【考点定位】三角函数的图象与性质 ‎9．（2012·山东卷）已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n 的最大值为6.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．‎ 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．‎ 因此，g(x)＝6sin.‎ 因为x∈，‎ 所以4x＋∈.‎ 故g(x)在上的值域为[－3,6]．‎ ‎【考点定位】三角函数的图象与性质 ‎10．（2012·陕西卷） 函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α∈，f＝2，求α的值．‎ ‎11．(2012·上海卷)函数f(x)＝的值域是________．‎ ‎【答案】.　‎ ‎【解析】考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．‎ f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－sin2x，又－1≤sin2x≤1，所以f(x)＝－2－sin2x的值域为.‎ ‎11．（2012·重庆卷）设f(x)＝4cossinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．‎ ‎＞0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．‎ 依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是 解得ω≤，故ω的最大值为.‎ ‎【考点定位】三角函数的图象与性质 ‎12．（2012·陕西卷）函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α∈，f＝2，求α的值．‎ ‎【解析】解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，‎ ‎∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，‎ ‎∴最小正周期T＝π，‎ ‎∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin2x－＋1.‎ ‎(2)∵f＝2sin＋1＝2，‎ 即sin＝，‎ ‎∵0<α<，∴－<α－<，‎ ‎∴α－＝，故α＝.‎ ‎【考点定位】函数的图象与性质 ‎13．（2012·安徽卷）设函数f(x)＝cos2x＋＋sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间（－π，0]上的解析式．‎ g(x)＝ ‎【考点定位】函数的图象与性质 ‎14．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间．‎ ‎15．（2012·全国卷）当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．‎ 函数可化为y＝2sin，由x∈（0,2π)得x－∈，∴x－＝时，即x＝时，函数有最大值2，故填.‎ ‎【考点定位】函数的图象与性质 ‎16．（2012·湖北卷）已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．‎ ‎【解析】解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ ‎＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ ‎＝2sin＋λ.‎ ‎17．（2012·课标全国卷）已知ω>0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．(0,2]‎ ‎【答案】A　【解析】因为当ω＝1时，函数y＝sin＝sin在上是单调递减的，故排除B，C项；当ω＝2时，函数y＝sin＝sin在上不是单调递减的， 故排除D项．故选A.‎ ‎18．（2012·浙江卷）把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)‎ 图1－1‎ ‎【答案】A　【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题．考查函数图象变换方法和技巧．‎ 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝cos2＋1＝cosx＋1的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数y＝cos(x＋1)＋1的图象；再向下平移1个单位长度得到函数y＝cos(x＋1)＋1－1＝cos(x＋1)的图象；结合各选项中的图象可知其图象为选项A中的图象，故应选A.‎ ‎19．（2012·重庆卷）设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A．－3 B．－‎1 C．1 D．3‎ ‎【答案】A　【解析】因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.‎ ‎20．（2012·课标全国卷）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.‎ ‎21．（2012·重庆卷）设f(x)＝4cossinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．‎ ‎【解析】解：(1)f(x)＝4sinωx＋cos2ωx ‎＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ‎＝sin2ωx＋1.‎ 因－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为（1－，1＋]．‎ ‎(2)因y＝sinx在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．‎ 依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是 解得ω≤，故ω的最大值为.‎ ‎22．（2012·广东卷）已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ ‎23．（2012·安徽卷）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)‎ A．(－7，－) B．(－7，)‎ C．(－4，－2) D．(－4，2)‎ ‎24．（2012·安徽卷）设函数f(x)＝cos2x＋＋sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间（－π，0]上的解析式．‎ ‎【解析】解：(1)f(x)＝cos＋sin2x ‎＝＋ ‎＝－sin2x.‎ 故f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，故 ‎①当x∈时，x＋∈.由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而 g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x.‎ ‎②当x∈时，x＋π∈，从而 g(x)＝g(x＋π)＝sin（2(x＋π)]＝sin2x.‎ 综合①②得g(x)在（－π，0]上的解析式为 g(x)＝ ‎25．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间．‎ ‎26．（2012·福建卷）‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【解析】解：解法一：‎ ‎(1)选择(2)式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 解法二：‎ ‎(1)同解法一．‎ ‎27．（2012·江苏卷）设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．‎ ‎【答案】　【解析】本题考查三角函数求值问题．解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系．‎ 由条件得sin＝，从而sin＝，cos＝2×－1＝，‎ 从而sin＝sin＝×－×＝.‎ ‎28．（2012·全国卷）已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】A　【解析】本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破口为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑“符号看象限”．‎ 由sinα＋cosα＝及α为第二象限角有2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋(k∈Z)．原式两边平方得2sinαcosα＝sin2α＝－，∴cos2α＝－，故选A.‎ ‎29．（2012·安徽卷）设函数f(x)＝cos2x＋＋sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间（－π，0]上的解析式．‎ ‎30．（2012·福建卷）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 解法二：‎ ‎(1)同解法一．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ‎＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)‎ ‎＝1－cos2α－＋cos2α＝.‎ ‎31．（2012·湖北卷）已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．‎ ‎32．（2012·山东卷）若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D　【解析】本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能力，中档题．‎ 法一：∵θ∈，sin2θ＝，‎ ‎33．（2012·湖南卷）函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)‎ A．（－2,2） B．（－，]‎ C．（－1,1） D. ‎【答案】B　【解析】考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记．‎ 函数f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＝sin，所以函数f(x)＝sinx－cos的值域为（－，]，故选B.‎ ‎34．（2012·安徽卷）设函数f(x)＝cos2x＋＋sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间（－π，0]上的解析式．‎ ‎【解析】解：(1)f(x)＝cos＋sin2x ‎＝＋ ‎＝－sin2x.‎ 故f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，故 ‎①当x∈时，x＋∈.由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而 g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x.‎ ‎35．（2012·湖北卷）已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．‎ ‎【答案】解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ ‎＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ ‎＝2sin＋λ.‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．‎ 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，‎ 即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin－，‎ 由0≤x≤，有－≤x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，得－1－≤2sinx－－≤2－.‎ 故函数f(x)在上的取值范围为（－1－，2－]．‎ ‎36．（2012·江西卷）若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D　【解析】考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“‎1”‎的代换及弦切互 ‎＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.‎ ‎38．（2012·重庆卷）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.‎ ‎【答案】　【解析】因为cosA＝，cosB＝，所以sinA＝，sinB＝，因为sinC＝sin（180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，由正弦定理知＝，即＝，解得c＝.‎ ‎39．（2012·四川卷）如图1－1所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B　【解析】法一：由已知，∠CED＝∠BED－∠BEC＝45°－∠BEC，‎ 利用余弦定理得：cos∠CED＝＝，‎ ‎∴sin∠CED＝.‎ 法三：同法二，得DE＝，CE＝，又CD＝1，‎ 有S△CED＝CD·AD＝，‎ 又S△CED＝CE·EDsin∠CED＝sin∠CED，‎ 对比得sin∠CED＝.‎ ‎40．（2012·上海卷）在△ABC中，若sin‎2A＋sin2B＜sin‎2C，则△ABC的形状是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【答案】C　【解析】考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a2＋b2c2，则C<；‎ ‎②若a＋b>‎2c，则C<；‎ ‎③若a3＋b3＝c3，则C<；‎ ‎④若(a＋b)c<2ab，则C>；‎ ‎⑤若(a2＋b2)c2<‎2a2b2，则C>.‎ ‎【答案】①②③　【解析】本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．‎ 对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC＝＋≥2，则cosC>，因为0＋≥，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<，④错误；‎ 对于⑤，c2<‎2a2b2可变为＋<，即>，所以c2≥，所以C<，故⑤错误．故答案为①②③.‎ ‎52．（2012·福建卷）已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．‎ ‎【答案】－　【解析】根据题意设三角形的三边分别是：a、a、a，最大角所对的边是a，根据大边对大角定理结合余弦定理得：cosα＝＝－ ‎，所以最大角的余弦值是－.‎ ‎53．（2012·天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝‎5c，C＝2B，则cosC＝(　　)‎ A. B．－ C．± D. ‎【答案】A　【解析】本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理，考查运算求解能力，中档题．‎ 由正弦定理得8sinB＝5sinC，∵C＝2B，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝22－1＝.‎ ‎54．（2012·天津卷）已知函数f(x)＝sin＋sin＋2 cos2x－1，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎55．（2012·四川卷）函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图1－5所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．‎ ‎ ‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．‎ ‎56．（2012·江苏卷）在△ABC中，已知·＝3·.‎ ‎(1)求证：tanB＝3tanA；‎ ‎(2)若cosC＝，求A的值．‎ ‎【答案】解：(1)证明：因为·＝3·，‎ 所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，‎ ‎ 即AC·cosA＝3BC·cosB，‎ ‎57．（2012·浙江卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.‎ ‎(1)求tanC的值；‎ ‎(2)若a＝，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】解：(1)因为0＜A＜π，cosA＝，得 sinA＝＝.‎ 又cosC＝sinB＝sin(A＋C)‎ ‎＝sinAcosC＋cosAsinC ‎＝cosC＋sinC，‎ 所以tanC＝.‎ ‎(2)由tanC＝，得 sinC＝，cosC＝，‎ 于是 sinB＝cosC＝.‎ 由a＝及正弦定理＝，得c＝.‎ 设△ABC的面积为S，则 S＝acsinB＝.‎ ‎58．（2012·陕西卷）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝‎2c2，则cosC的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．－ ‎【答案】C　【解析】本小题主要考查余弦定理和不等式的知识，解题的突破口为利用余弦定理写出cosC的表达式，然后用基本不等式去计算即可．‎ cosC＝＝≥＝.故选C.‎ ‎59．（2012·山东卷）如图1－4所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．‎ ‎【答案】(2－sin2,1－cos2)　【解析】本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，偏难．根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C‎2M⊥y轴于M，∠PC2Q＝2，∠PC‎2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.‎ ‎【2011高考真题精选】‎ ‎ 1.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由 ‎，得，故选C.‎ ‎2.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos‎2A=则（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】 D ‎4.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 C ‎【答案】B ‎【解析】令，，则它们的图像如图故选B ‎6.(2011年高考重庆卷理科6)若的内角所对的边满足，且，则的值为 ‎（A） (B) ‎ ‎(C)1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，由得1‎ ‎，解得 ‎7.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.‎ ‎8.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.‎ ‎9.(2011年高考重庆卷理科14)已知，且，则的值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设条件易得：，故，，所以 ‎10.(2011年高考全国卷理科14)已知a∈(，)，sinα=，则tan2α=‎ ‎【答案】‎ 以,‎ 又因为,所以解得,所以的值为.‎ ‎12．(2011年高考上海卷理科8)函数的最大值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将原函数解析式展开得=,故最大值为 ‎=.‎ ‎13. (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）‎ 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若cosB=，,求的面积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以 ‎=,即14. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）设，若求的大小．‎ ‎【解析】 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.‎ ‎（Ⅰ）由得所以的定义域为 ‎.的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）由得即,‎ 整理得: ,因为,所以可得 ‎,解得,由得,所以,.‎ ‎15. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin ‎ ‎（1）求sinC的值 ‎（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值 ‎【解析】由，即，‎ 本题考查三角形、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及余弦定理．‎ ‎16. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.‎ 求角的大小；‎ 求的最大值，并求取得最大值时角的大小.‎ 解：由正弦定理得 因为，所以.从而.又，所以，‎ 则 ‎17. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设求的值.‎ ‎【解析】解：（1）‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）的周长为 ‎（Ⅱ）‎ 故A为锐角.‎ ‎..‎ ‎19．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理 ‎【解析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。或，，‎ 证法一 ，如图 即 同理可证，‎ 证法二：已知 建立直角坐标系，则 ‎ ‎ 同理可证 ‎20.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）‎ 设满足，求函数 在 上的最大值和最小值 ‎【解析】‎ 由得，解得： ‎ 因此 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ 所以在上的最大值为 又因为，‎ 所以在上的最小值为 ‎21. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）已知，，求证：.‎ 所以，结论成立.‎ ‎22.(2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.‎ ‎【解析】：由正弦定理得，‎ 由，即 A+B+C=1800 ，，‎ 即，由A-C=900 得A=900+C ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 ‎（1）若 求A的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎（2）因为所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因为,所以,所以==,解得 又因为,所以,解得的值为.‎ ‎24．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期：‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为 ‎ （Ⅱ）因为 ‎ 于是，当时，取得最大值2；‎ ‎ 当取得最小值—1.‎ ‎【2010年高考真题精选】‎ ‎1.（2010浙江理数）（9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题 ‎2.（2010浙江理数）（4）设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎3.（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像 ‎（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位 ‎（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.‎ ‎4.（2010辽宁理数）（5）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是 ‎（A） (B) (C) (D)3 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为 ‎，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，所以选C ‎5.（2010江西理数）.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。‎ 解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，‎ 解得 解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得 ‎，解得。‎ ‎6.（2010四川理数）（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎7.（2010天津理数）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。‎ 由由正弦定理得 ‎，‎ 所以cosA==，所以A=300‎ ‎8.（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=‎ A － B C － D ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.‎ ‎9.（2010福建理数）的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.（2010浙江理数）（11）函数的最小正周期是_______________‎ ‎【答案】π ‎【解析】故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题 ‎11.（2010全国卷2理数）（13）已知是第二象限的角，，则 ．‎ ‎12.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .‎ ‎【答案】1【解析】解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．由知，，则，，‎ ‎13.（2010福建理数）已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：‎ 的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。‎ ‎14.（2010江苏卷）定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为 ‎15.（2010江苏卷）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=_________。‎ ‎【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。‎ ‎（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。‎ 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，‎ ‎，= 4。‎ ‎（方法二），‎ ‎ ‎ ‎16.（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 ‎ (I)求sinC的值；‎ ‎(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．‎ ‎【解析】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。‎ ‎（Ⅰ）解：因为cos‎2C=1-2sin‎2C=，及0＜C＜π 所以sinC=.‎ ‎（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得 c=4‎ 由cos‎2C=2cos‎2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC=±‎ 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2±b-12=0‎ 解得 b=或2‎ 所以 b= b=‎ ‎ c=4 或 c=4‎ ‎17.（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎ （Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎ ‎ 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 ‎18.（2010江西理数）17.（本小题满分12高☆考♂资♀源*网分）‎ 已知函数。‎ ‎(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；‎ ‎(2) 当时，，求m的值。‎ ‎【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.‎ 解：（1）当m=0时，‎ ‎ ‎ ‎，由已知，得 从而得：的值域为 ‎（2）‎ 化简得：‎ 当，得：，，‎ 代入上式，m=-2.‎ ‎19.（2010北京理数）（15）（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ ‎20.（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.‎ 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。‎ ‎【解析】解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. ‎ 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)‎ P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) ‎ 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 ‎[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2‎ 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ‎ ‎ ‎(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝bcsinA＝‎ ‎＝bccosA＝3＞0‎ ‎∴A∈(0, ),cosA＝3sinA 又sin‎2A＋cos‎2A＝1，∴sinA＝,cosA＝‎ 由题意，cosB＝,得sinB＝‎ ‎∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ ‎ 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………12分 ‎21.（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ 小值为-1‎ ‎（Ⅱ）解：由（1）可知 又因为，所以 ‎22.（2010福建理数）19．（本小题满分13分）‎ ‎。‎ ‎，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设 ‎，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得，‎ 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎23.（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）‎ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=‎4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ ‎【解析】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎（1），同理：，。‎ ‎ AD—AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大。‎ 因为，则，所以当时，-最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎24.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）‎ 已知△ABC的三边长都是有理数。‎ 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎，‎ 及①和归纳假设，知和都是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎【2009年高考真题精选】 ‎ ‎1．(2009·山东文理3)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将函数的图象向左平移个单位,得到函数即 的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选A.‎ ‎2．(2009·浙江文理8)已知是实数，则函数的图象不可能是( )‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．‎ ‎3．(2009·天津理7)已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由于，则，，又 ‎，故，向左平移个单位长度 ‎4．(2009·江苏4)函数为常数，‎ 在闭区间上的图象如图所示，则 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】考查三角函数的周期知识。‎ ‎ ，，所以， ‎ ‎5．(2009·海南理14)已知函数(>0, )的图像如图所示，则 =________________ ‎ ‎【解析】由图可知，‎ ‎【答案】‎ ‎6．(2009·安徽文理16)在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.‎ ‎(Ⅰ)求sinA的值；‎ ‎(Ⅱ)设AC=，求△ABC的面积.‎ 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。 ‎ ‎【答案】解：(Ⅰ)由，且，∴，∴，‎ A B C ‎∴，又，∴‎ ‎(Ⅱ)如图，由正弦定理得 ‎∴，又 ‎∴‎ ‎7.（2009·宁夏海南理15）（本小题满分12分）‎ 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。‎ ‎【答案】解：‎ 方案一：①需要测量的数据有：A ‎ 点到M，N点的俯角；B点到M，‎ N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . ……….3分 ‎ ②第一步：计算AM . 由正弦定理　；‎ 第二步：计算AN . 由正弦定理　；‎ 第三步：计算MN. 由余弦定理 .‎ 方案二：①需要测量的数据有：‎ ‎ A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.‎ ‎8．(2009·山东理17)设函数。‎ ‎(Ⅰ)求函数的最大值和最小正周期； ‎ ‎(Ⅱ)设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求。‎ ‎【答案】解：(1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=‎ 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. ‎ ‎(2)==－, 所以, 因为C为锐角, 所以 ‎,‎ 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 ‎ ‎.‎ ‎9．(2009·广东理16)已知向量互相垂直，其中．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的值．‎ ‎【答案】解：(1)∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.‎ ‎(2)∵，，∴，则，∴‎ ‎10．(2009·浙江理18)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=,‎ ‎=3.‎ ‎(Ⅰ)求三角形ABC的面积； ‎ ‎(Ⅱ)若b+c=6,求a的值。‎ ‎【解析】(I)因为，，又由 ‎ (II) 求sin的值 ‎【答案】 (Ⅰ)解：在△ABC中，根据正弦定理，‎ 于是AB=‎ ‎(Ⅱ)解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=‎ 于是 sinA=‎ 从而sin‎2A=2sinAcosA=,cos‎2A=cos‎2A-sin‎2A=‎ 所以 sin(‎2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎【2008年高考真题精选】‎ ‎1．(2008·山东卷)函数的图象是 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查复合函数的图象。‎ 是偶函数，可排除B,D; 由 排除C,选A。‎ ‎2．(2008·山东卷)已知，则的值是 ‎(A)-　　　　(B) (C)- (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查三角函数变换与求值。‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎3．(2008·山东理科卷)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝()，n＝(cosA,sinA).若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查解三角形 ‎ ‎，，‎ ‎，。‎ ‎4．(2008·江苏卷)的最小正周期为，其中，则 。‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的周期公式。。‎ ‎【答案】10‎ ‎5．(2008·广东理科卷)已知函数，，则的最小正周期是 ．‎ ‎【解析】 ,‎ 所以函数的最小正周期。‎ ‎【答案】‎ y x ‎1‎ ‎1‎ O ‎6．(海南、宁夏理科卷)已知函数)在区间的图像如下：那么＝( )‎ A．1 B．‎2 ‎C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图象知函数的周期，所以 ‎7．(2008·海南、宁夏理科卷)( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C。‎ ‎8．(2008·山东卷)已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 ‎(Ⅰ)求f()的值；‎ ‎(Ⅱ)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.‎ ‎【解析】(Ⅰ)f(x)＝‎ ‎＝‎ ‎＝2sin(-)‎ 因为f(x)为偶函数，‎ 所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，‎ 因此sin(--)＝sin(-).‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.‎ 所以 当 (k∈Z),‎ 即4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为　　　(k∈Z)‎ ‎9．(2008·广东卷)已知函数，的最大值是1，其图像经过点．‎ ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)已知，且，，求的值．‎ ‎【解析】(1)依题意有，则，将点代入得，‎ 而，，，故；‎ ‎(2)依题意有，而，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎10．(2008·江苏卷)如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。‎ 求的值； (2) 求的值。‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得， 为锐角，‎ 故。同理可得，‎ 因此。‎ ‎(1)。‎ ‎(2)，‎ ‎，从而。‎ ‎11．(2009·广东文16)已知向量互相垂直，其中．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的值．‎ ‎【答案】解：(1)∵与互相垂直，则，即， ‎