北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

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北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1．设全集，集合，，则集合 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3. 已知向量，.若，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．设，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎6. 圆截轴所得弦的长度等于 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎7．已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为 ‎（A）若，，则 （B）若，，则 ‎（C）若,∥且∥,则∥（D）若，，则 ‎8. 已知函数，则“在上单调递减”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎10．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：‎ ‎ ①对任意的，且，都有；‎ ‎ ②；③是偶函数；‎ ‎ 若，，，则，， 的大小关系正确的是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．已知复数，则 ．‎ ‎12．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 .‎ ‎13．数列中，，，. 若其前项和为，则___ ____.‎ ‎14．在△中，，，，则边上的高等于 .‎ ‎15．已知函数：① 函数的单调递减区间为；‎ ‎② 若函数有且只有一个零点，则；‎ ‎③ 若，则，使得函数恰有2个零点，，恰有一个零点，且，.‎ 其中，所有正确结论的序号是_______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为. 又，且，是否存在大于的正整数,使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：‎ ‎（Ⅰ）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达 人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；‎ ‎（Ⅱ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：‎ ‎　　方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，‎ ‎2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元．‎ ‎　　方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3张牌，背面 都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次． 每翻到一次笑脸可得30元奖励金．如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．‎ 以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，，为线段上一点（不是端点），________ . ‎ 从①；②平面；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎（Ⅰ）求证：四边形是直角梯形；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点，使得直线平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. ‎ ‎20.（本小题满分15分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的下方，求实数的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，、分别是椭圆长轴的左右两个端点，P是椭圆上异于点、的点．‎ ‎（Ⅰ）求出椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点满足：，．求与面积的比值．‎ 参考答案 一、选择题：（） 1.A 2.D 3 . C 4.B 5. A 6. A 7. D 8.B 9.D 10. C 二、填空题：（）11. 12. ；13. ；14. ；15. ①③.‎ 注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共85分.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 解：存在正整数,使得. (此处未写，结论处有，不扣分) …………2分 理由如下：‎ 在等差数列中， …………5分 又，.‎ 所以由 得 …………7分 所以. …………10分 令，即.‎ 整理得.解得或. …………12分 因为，所以. （未写k>1扣一分） …………14分 所以当时，. ‎ ‎ ‎ ‎17. (本小题满分14分） ‎ 解：（Ⅰ）因为= ‎ ‎． …3分 ‎ 所以函数的最小正周期． …4分 因为函数的的单调递减区间为， ‎ 所以, …6分 解得, …7分 所以函数的单调递减区间是. …8分 ‎(一个都没写的扣一分)‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，不等式有解，即． …10分 由（Ⅰ）可知.当时,, …11分 故当,即时, f(x)取得最大值,最大值为. …13分 所以.故实数的取值范围是. …14分 18. （本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件A. …1分 由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，‎ 消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12（人）， ‎ 从这12人中抽取3人，共有种不同方法， …2分 其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有种不同方法． ‎ 所以，． …4分 ‎ ‎（Ⅱ）解：方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，‎ ‎2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为 ‎，，， …5分 按照方案1奖励的总金额为（元）． …6分 ‎ 方案2 设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，30，60，90．…7分 ‎ 由题意，每翻牌1次，翻到笑脸的概率为， …8分 所以，‎ ‎，．‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ 所以的分布列为：‎ ‎ …10分 数学期望为（元）， …12分 ‎ 按照方案2奖励的总金额为 （元）， …13分 ‎ 因为由，所以施行方案1投资较少． …14分 ‎19. (本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）选择①，连结，‎ 因为平面， 所以， ……………..1分 因为，，所以 .….2分 因为，，所以，所以. …3分 因为，所以， 所以四边形是直角梯形.….4分 选择②，连结，‎ 因为平面， 所以， ……………..1分 因为，，所以 .….2分 因为，，所以，所以. …3分 因为平面，平面，平面平面，‎ 所以， 所以四边形是直角梯形. …….4分 ‎（Ⅱ）在平面内过作,则平面，由（Ⅰ）知，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,….5分 则，，，，.‎ 则,， …….6分 设平面的一个法向量，则即…7分 令，则，，，则． …8分 设直线与平面所成的角为，‎ 所以. …9分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎（Ⅲ）设，则 ．…10分 所以 ， …11分 若平面，则， …12分 即，所以．…13分 因为，所以，线段上不存在点使得直线平面． …14分 ‎20. (本小题满分15分）‎ ‎（Ⅰ）因为，定义域R，所以.……2分 令，解得，令，解得……3分 ‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为……4分 ‎（Ⅱ）令，……5分 ‎. ……6分 由得， ，于是，故函数在上是增函数. ……7分 所以当时，，即.…… 9分 ‎（Ⅲ）若曲线在曲线的下方，‎ 则 …10分 令，‎ 则. 11分 当时，解法一：因为，‎ 所以 由（Ⅱ）知 ‎.……13分 ‎ 解法二：因为，所以，，，且，则，，所以，在上是增函数. 所以，‎ 符合题意. ……13分 ‎ 当时，若，则，那么，所以，‎ 则在上是减函数. 所以时，，‎ 不合题意. ……15分 综上所述，实数的取值范围是. ‎ ‎21. (本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，. …… 2分； 又因为， …… 3分 ‎ 所以，. …… 4分；故椭圆的方程为. ……… 5分 ‎（Ⅱ）因为两个三角形的底边均为，所以面积之比等于 …6分 ‎　　　　解法一：由P是椭圆上异于点、的点可知, 直线的斜率存在且不为0‎ 设直线的斜率分别为，则直线的方程为 …7分 ‎ 由直线的方程为． …8分 ‎ 将代入，得，‎ ‎ 因为是椭圆上异于点的点，所以． ……9分 ‎ ‎ 所以 …11分 ‎ ‎ 由，所以直线的方程为． ……12分 ‎ 由 ，得． ……13分 ‎ 所以． ……14分 ‎ 解法二：设，则，①， …7分 且，因为， …8分 所以，则直线②， …9分 同理直线③， …10分 ‎③与②联立，解得：， …12分 将①带入，得， …13分 所以． ……14分 ‎