2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，，故选A．‎ ‎【考点】复数的运算．‎ ‎2．若，则等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用复数的乘方公式和加法法则进行求解．‎ 详解：因为，‎ 所以，，‎ 则．‎ 点睛：本题考查复数的加法法则和乘方法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎3．若函数，则此函数图像在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A. B. 0 C. 锐角 D. 钝角 ‎【答案】D ‎【解析】分析：求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而判定直线的倾斜角的范围．‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ 则函数在点处的切线的斜率 为，‎ 即该切线的倾斜角为钝角．‎ 点睛：本题考查导数的几何意义、直线的斜率和倾斜角等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎4．函数在闭区间上的最大值，最小值分别是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由，得x=±1，当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，‎ 当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的极小值、极大值分别为f（-1）=3，f（1）=-1，而f（-3）=-17，‎ f（0）=1，故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17‎ ‎【考点】函数导数与最值 ‎5．用反证法证明命题“若都是正数，则三数中至少有一个不小于”，提出的假设是（ ）‎ A. 不全是正数 B. 至少有一个小于 C. 都是负数 D. 都小于2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据反证法的思路可知，将结论变为否定来加以证明，即“若都是正数，则三数中至少有一个不小于”，提出的假设为都小于2，选D.‎ ‎【考点】反证法 点评：本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．‎ ‎6．设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】分析：构造函数，利用导数判定该函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小．‎ 详解：令，‎ 则，‎ 因为对任意都有成立，‎ 所以恒成立，‎ 即在上单调递增，‎ 则，‎ 即．‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性等知识，解决本题的关键是利用 与的形式以及和导数除法的求导法则 合理构造函数，也是解决此类问题的难点．‎ ‎7．已知复数为虚数单位）为实数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为为实数，所以，=‎ ‎，由定积分的几何意义知，的值为以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，即是，所以的值为，故选A.‎ ‎【考点】1、复数的概念；2、定积分的几何意义.‎ ‎8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎①当时，； ②函数有个零点； ③的解集为，‎ ‎④，都有.其中正确命题的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设， ，，所以①不正确；因为函数是上的奇函数，所以 ，当时，，解得 ，根据函数是奇函数，所以当时，，所以函数有3个零点；所以②不正确；当时， ，解得：，当时，，解得 ，所以的解集为： ，所以③正确；当时， ，函数在 处取得最大值， ，根据奇函数的性质，函数的最小值 ，所以 ，所以对任意的，都有，所以④正确.所以③④正确，故选C.‎ ‎9．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：解：由题意，n="k"‎ ‎ 时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选C．‎ ‎【考点】数学归纳法 点评：本题以等式为载体，考查数学归纳法，考查从“n=k”变到“n=k+1”时，左边变化的项，属于中档题 ‎10．已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求导，则在恒成立，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数进行求解．‎ 详解：因为函数在上为增函数，‎ 所以在恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 则在上单调递增，在上单调递减，‎ 即，‎ 即.故选A．‎ 点睛：1.已知函数在区间上单调递增，求有关参数问题，往往转化为在区间上恒成立问题进行求解；‎ ‎2.解决不等式恒成立问题，往往分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用“恒成立”进行求解．‎ ‎11．已知点，点在曲线（）上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求导，利用导数的几何意义求出曲线与直线平行的切线方程，写出中点所在的直线方程，再利用两条平行线间的距离公式进行求解．‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ 令，得或，‎ 则与直线平行，‎ 且与的图象相切的直线为或，‎ 则的中点所在直线为或，‎ 则点到直线和的距离为 或，‎ 即的最小值为.故选B．‎ 点睛：本题考查导数的几何意义、两平行线的距离以及点到直线的距离公式等知识，其中令导数为3切得切线方程，进而确定中点的轨迹方程以及将点点距离转化为点到直线的距离是解决本题的关键，重点考查了学生的转化与化归学生和数形结合思想的应用．‎ ‎12．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“情侣函数”.若函数与互为“情侣函数”，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先理解两集合及“情侣函数”的含义，求出函数的零点，确定函数的零点的取值范围，分离参数，将函数有解问题转化为求函数的值域问题，再利用导数求函数的值域即可．‎ 详解：由题意，得分别是函数的零点，‎ 易知函数单调递增，且，‎ 即；‎ 因为函数和为“情侣函数”，‎ 所以，即，‎ 即在上有解，‎ 即在上有解，‎ 令，则，‎ 则在上单调递增，在单调递减，‎ 且，‎ 则.故选C．‎ 点睛：1.解决本题的关键是正确理解集合的含义（即为函数的零点）及新定义函数“情侣函数”的含义（即两个函数的零点之差的绝对值不大于1）；‎ ‎2.在已知函数有解求有关参数问题时，往往分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，可以避免较为繁琐的讨论．‎ 二、填空题 ‎13．曲线所围成的封闭图形的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：作出图像，易知曲线与直线交于点P（4,2）. 直线与直线交于点A（2,0）则曲线所围成的封闭图形的面积为 ‎.‎ ‎【考点】定积分求曲形面积 ‎14．已知是奇函数，当时，，当时，函数的最小值为1，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先利用奇函数的性质得到“函数在上有最大值”，再求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性和最值，进而求出值．‎ 详解：因为奇函数在上有最小值1，‎ 所以函数在上有最大值，‎ 因为，‎ 所以，‎ 则当时，取得最值，‎ 即，‎ 解得．‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的最值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎15．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：构造函数，利用导数的符号确定函数的单调性，进而利用导数的单调性得到，再利用对数函数的单调性进行求解．‎ 详解：令，‎ 因为恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 即在上单调递减，‎ 又，‎ 则，‎ 由，得 ‎，‎ 即，‎ 则，‎ 解得，‎ 即的解集为．‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性的应用等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力．‎ ‎16．对于等差数列有如下性质：若数列是等差数列，，则数列也为等差数列.类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，当__________时，数列也是等比数列．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用题中的等差数列的性质和类比思想进行推理．‎ 详解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，往往是由加法类比到乘法、‎ 由减法类比到除法、由算术平均数类比到几何平均数等，所以由“若数列 是等差数列，，则数列也为等差数列”类比到等比 数列：若数列是等比数列，且，当时，数列 也是等比数列．‎ 点睛：1.类比推理的一般步骤：‎ ‎①找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一个明确的猜想．‎ ‎2.在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，往往是由加法类比到乘法、‎ 由减法类比到除法、由算术平均数类比到几何平均数等.‎ 三、解答题 ‎17．已知为虚数单位，复数，若，求实数，的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先利用复数的乘法和除法法则进行求解，再利用复数相等进行求解．‎ 详解：‎ ‎，‎ ‎∴解得 点睛：本题考查复数的四则运算、复数的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎18．已知函数，（，，），，的图像在处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）直线是否可以与函数的图像相切？若可以，写出切点坐标；否则，说明理由。‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义求出值，再利用切点既在曲线上，又在切线上进行求解；（2）先设出切点的坐标，利用导数的几何意义进行求解．‎ 详解：（1），∵的图象在处的切线方程是，‎ 故，即，解得：；‎ 故的图象过，‎ 故，解得：，‎ 综上，，；‎ ‎（2）设直线与函数的图象相切于，‎ ‎∵，∴过点的直线的斜率是，‎ 又直线的斜率是，‎ 故，解得：，‎ 将代入，得点的坐标是，‎ 故切线方程为：，化简得，‎ 故直线可以与函数的图象相切，切点坐标是 点睛：本题考查导数的几何意义、点与直线的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力．‎ ‎19．如图所示，在中， ， 分别是边， 上的点，则，试在立体几何中写出类似的三棱锥性质的猜想，并予以证明 ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】分析：先利用类比思想猜想出关于三棱锥的猜想，再利用三点共线、三棱锥的体积公式进行证明．‎ 详解：如图所示，在三棱锥中， ， ， 分别是侧棱， ， 上的点，则.‎ 证明：过点作平面于，过点作平面于点， ，且， ， 三点共线.‎ ‎∵‎ ‎，‎ 且， ，∴，∴ ‎ 点睛：本题考查类比推理、空间几何体的体积公式等知识，意在考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力．‎ ‎20．已知函数，，（），‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）如果关于的方程在区间上有两个不等实根，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义写出切线的方程；（2）分离参数，将方程有解问题转化为求函数的值域问题，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性、极值和最值，进而求出的取值范围．‎ 详解：（1）当时，，.‎ ‎，故切线的斜率为，‎ ‎∴切线方程为：，即；‎ ‎（2）由，可得，.‎ 设（），‎ ‎∴，‎ ‎∴，随的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值（最小值）‎ 单调递增 ‎，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 点睛：1.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和 “曲线过某点的切线”的不同；‎ ‎2.在已知函数有解求有关参数问题时，往往分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，可以避免较为繁琐的讨论．‎ ‎21．设函数，（），若任意的，成立，求的取值范围。‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：求出函数的定义域和导数，令，再通过讨论二次项系数是否为0、两根大小，确定导数的单调性和极值、最值，进而求出的取值范围．‎ 详解：由题意的定义域为，，‎ 令 ‎（1）当时，，，在上单调递增，，符合题意；‎ ‎（2）当，恒成立，，在上单调递增，，符合题意；‎ ‎（3）当时，设，当时，在上单调递增，，即，‎ ‎，当时，，，不合题意；‎ ‎（4）当，有两根，，，，所以在上单调递增，，符合题意；‎ ‎（5）当时，由，可得，所以时单调递减，，不符合题意。‎ 综上所述。‎ 点睛：1.解决本题的关键在于对函数求导后，构造新函数，通过研究新函数的导数的符号变化确定函数的单调性和极值；‎ ‎2.分类讨论思想是高中数学重要的一种数学思想，要根据题意合理确定分类的标准和讨论的方法，如本题中要讨论“二次项系数”、“两根的大小关系”．‎ ‎22．设函数，，（），，‎ ‎（1）当时，设， ，，轴，求，两点间距离的最小值；‎ ‎（2）若时，函数的图像恒在函数图像上方，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由轴，得到，再作差构造成关于的函数，求导，通过研究导数的符号变化确定函数的单调性和极值；（2）作差，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过研究导数的符号变化确定函数的单调性和极值等．‎ 详解：（1）因为，且轴，由得，‎ ‎∴.‎ 令，‎ 当时恒成立。‎ ‎∴时，的最小值为.‎ ‎∴.‎ ‎（2）.‎ 则 因为当时恒成立，‎ 所以函数当时恒成立；‎ 因此函数在上单调递增，当时恒成立。‎ 当时，，在单调递增，即.‎ 故时恒成立.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数图与不等式的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力以及化归思想的应用，属于中档题．‎