2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）

2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）

‎2019学年度第一学段高二年级模块考试试卷 数学选修2—1（理科）‎ 一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的）‎ ‎1．抛物线的焦点坐标为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由，得，则，，‎ 所以抛物线的焦点坐标是．‎ 故选．‎ ‎2．设，是不同的直线，，，是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①；②；③；④．‎ 其中正确的命题是（）．‎ ‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：①．由面面平行的性质可知，，，则，故①正确；‎ ‎②．若，，则或与相交，故②错误；‎ ‎③．若，则存在，且，又，得，‎ 所以，故③正确；‎ ‎④．若，，则或，故④错误．‎ 故选．‎ ‎3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得．‎ - 15 -‎ 故选．‎ ‎4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 C ‎【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是，高是，上面是一个球，球的半径是，‎ 所以该几何体的体积．‎ 故选．‎ ‎5．椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（）．‎ ‎ A．，， B．，， ‎ ‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：椭圆化为标准方程为：，可得，，，‎ 所以椭圆的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：，，．‎ 故选．‎ ‎6．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D - 15 -‎ ‎【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，由该圆锥的轴截面是正三角形，得，‎ ‎∴，解得．‎ 故选．‎ ‎7．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：∵抛物线上一点到其焦点的距离为，‎ ‎∴，解得，，‎ ‎∴点到坐标原点的距离为．‎ 故选．‎ ‎8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为，下部为一直三棱柱，其高为，底面为一边长为的正三角形，且由三视图知此三角形的高为 - 15 -‎ ‎，故三棱柱的侧面积为，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：，故组合体的表面积为．‎ 故选．‎ ‎9．双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的实轴长为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：∵双曲线的一个焦点坐标为，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴双曲线的实轴长为．‎ 故选．‎ ‎10．已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为（）．‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的倍，即有，又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，‎ 若焦点在轴上，则，，椭圆方程为，‎ 若焦点在轴上，则，，椭圆方程为，‎ ‎∴椭圆的标准方程为或．‎ 故选．‎ ‎11．点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率等于（）．‎ - 15 -‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：∵点到双曲线的渐近线的距离为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴双曲线的离心率．‎ 故选．‎ ‎12．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得与都垂直于； ②存在平面，使得与都平行于； ③存在直线，直线，使得． 其中，可以判定与平行的条件有（）．‎ ‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】A ‎【解析】解：①项、存在平面，使得，都垂直于，则，不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故①错误；‎ ‎②项、若，，则由面面平行的性质可得，故②正确；‎ ‎③项、若直线，，，与可能相交，故③错误．‎ 故选．‎ ‎13．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ - 15 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：‎ 根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，‎ 平面，且，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴这个四棱锥中最长棱的长度是．‎ 故选．‎ ‎14．已知椭圆和圆，当实数在闭区间内从小到大连续变化时，椭圆和圆公共点个数的变化规律是（）．‎ ‎ A．，，，，，， B．，，，，‎ ‎ C．，，，， D．，，，，，，，，，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：椭圆的顶点坐标为，，，，圆，表示以为圆心，为半径的圆，‎ 当时，椭圆与圆只有一个焦点，‎ - 15 -‎ 当时，圆向右平移，与椭圆有两个交点，‎ 当时，圆与椭圆只有个交点，‎ 当时，圆椭圆在内部，此时椭圆与圆无公共点，‎ ‎∴当在闭区间从小到大连续变化时，椭圆和圆公共点个数的变化规律是，，，，，，．‎ 故选．‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎15．双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为和，且经过点，则双曲线的标准方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由题意，，，‎ ‎∴，，，‎ 故双曲线的标准方程是．‎ ‎16．如图在正三角形中，，，分别为各边的中点，，，，分别为、、、的中点，将沿、、折成三棱锥以后，与所成角的大小为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：‎ - 15 -‎ 将沿，，折成三棱锥以后，点，，重合为点，得到三棱锥，‎ ‎∵，分别为，的中点，‎ ‎∴侧棱，‎ ‎∴与所成的角即是与所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴与所成角的大小为．‎ ‎17．从正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：‎ 与直线垂直的平面有平面和平面，故与直线垂直的平面的个数为．‎ ‎18．已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，若为椭圆上一点，且，则的面积等于__________．‎ ‎【答案】‎ - 15 -‎ ‎【解析】解：由题意，，得，，，‎ ‎∵为椭圆上一点，且，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，即，得，‎ 故的面积．‎ ‎19．抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,‎ 设，，则，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴（舍去）或,‎ 故直线过定点．‎ ‎20．如图，正方体中，为面（包括边界）内一动点，当点与重合时，异面直线与所成的角的大小为__________；当点在运动过程中始终保持平面，则点的轨迹是__________．‎ ‎【答案】；线段 ‎【解析】解：当点与重合时，即,‎ - 15 -‎ ‎∵,‎ ‎∴即直线与所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴是等边三角形，‎ ‎∴，‎ 故异面直线与所成的夹角是，‎ ‎∵平面平面，平面，且在平面内，‎ ‎∴点在平面与平面的交线上，‎ 故点的轨迹是线段．‎ 三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎21．（本题分）‎ 如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：‎ ‎（）证明：取中点为，‎ - 15 -‎ ‎∵在中，是中点，是中点，‎ ‎∴，且，‎ 又∵底面是菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）证明：设，则是中点，‎ ‎∵底面是菱形，‎ ‎∴，‎ 又∵，是中点，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平面．‎ ‎22．（本小题分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．‎ ‎（）求与平面所成角的正弦．‎ ‎（）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】见解析．‎ - 15 -‎ ‎【解析】解：‎ ‎（）∵是矩形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴，，即，，两两垂直，‎ ‎∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，‎ 由，，得，，，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故与平面所成角的正弦值为．‎ ‎（）由（）可得，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ - 15 -‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎23．（本题分）‎ 已知抛物线过点，且点到其准线的距离为．‎ ‎（）求抛物线的方程．‎ ‎（）直线与抛物线交于两个不同的点，，若，求实数的值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）已知抛物线过点，且点到准线的距离为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 故抛物线的方程为：．‎ ‎（）由得，‎ 设，，则，，‎ ‎，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ 经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不符合题意，‎ 当时，，符合题意，‎ 综上，实数的值为．‎ ‎24．（本题分）‎ 已知点，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．‎ ‎【答案】见解析．‎ - 15 -‎ ‎【解析】解：（）设，‎ 由直线的斜率为得，解得，‎ 又离心率，得，‎ ‎∴，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（）当直线轴时，不符合题意，‎ 当直线斜率存在时，设直线，，，‎ 联立，得，‎ 由，得，即或，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又点到直线的距离，‎ ‎∴的面积，‎ 设，则，‎ ‎∴，当且仅当，即时，等号成立，且，‎ ‎∴直线的方程为：或．‎ ‎25．（本题分）‎ 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素 - 15 -‎ 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．‎ ‎（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）．‎ ‎（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．‎ ‎（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）集合不是“和谐集”．‎ ‎（）集合，‎ 证明：∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴集合是“和谐集”．‎ ‎（）证明：不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，‎ 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，‎ 则有③，或者④，‎ 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，‎ 故当时，集合一定不是“和谐集”．‎ - 15 -‎