2018届二轮复习整体策略与换元法课件（江苏专用）

2018届二轮复习整体策略与换元法课件（江苏专用）

专题 11 　数学方法 第 2 讲 　整体策略与换元法 整体思想是指把研究对象的某一部分 ( 或全部 ) 看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径 . 换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化 . 题型 分析 高考 展望 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 高考 必会题型 题型一　整体策略 解析答案 解析答案 (2) 解方程 ( x 2 ＋ 5 x ＋ 1)( x 2 ＋ 5 x ＋ 7) ＝ 7. 解　 设 x 2 ＋ 5 x ＝ t ，则原方程化为 ( t ＋ 1)( t ＋ 7) ＝ 7 ， ∴ t 2 ＋ 8 t ＝ 0 ，解得 t ＝ 0 或 t ＝－ 8 ， 当 t ＝ 0 时， x 2 ＋ 5 x ＝ 0 ， x ( x ＋ 5) ＝ 0 ， x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝－ 5 ； 当 t ＝－ 8 时， x 2 ＋ 5 x ＝－ 8 ， x 2 ＋ 5 x ＋ 8 ＝ 0 ， Δ ＝ b 2 － 4 ac ＝ 25 － 4 × 1 × 8<0 ， 此时方程无解； 即原方程的解为 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝－ 5. 点评 点评 整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个 ( 或多个 ) 未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决 . 解析答案 题型二　换元法 例 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ 4 x － 2 x t ＋ t ＋ 1 在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上的图象恒在 x 轴上方，则实数 t 的取值范围是 ________________. 解析答案 解析　 令 m ＝ 2 x ( m >1) ，则 问题转化为函数 f ( m ) ＝ m 2 － mt ＋ t ＋ 1 在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上的图象恒在 x 轴上方， 解析 答案 10 解析 解析　 当点 P 的横坐标最大时， 射线 OA 的斜率 k >0 ， 设 OA ： y ＝ kx ， k >0 ， 所以点 P 的横坐标的最大值为 10. 解析答案 (3) 已知函数 f ( x ) ＝ ax － ln(1 ＋ x 2 ). 解析答案 f ( x ) 和 f ′ ( x ) 随 x 的变化情况如下表： 解析答案 ② 证明：当 x >0 时， ln(1 ＋ x 2 )< x ； 证明　 令 g ( x ) ＝ x － ln(1 ＋ x 2 ) ， ∴ g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数， g ( x )> g (0) ＝ 0 ， ∴ ln(1 ＋ x 2 )< x . 点评 解析答案 证明　 由 ② 知， ln(1 ＋ x 2 )< x ， 换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化， 变得容易处理，换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化 . 主要考查运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、 不 点评 点评 规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程 . 解析答案 解析答案 ① 求 S n 的表达式； 即 2 S n － 1 S n ＝ S n － 1 － S n ， (*) 由题意得 S n － 1 · S n ≠ 0 ， 解析答案 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 1. 已知长方体的表面积为 11 ，其 12 条棱的长度之和为 24 ，则这个长方体的体对角线长为 ________. 解析　 设长方体长，宽，高分别为 x ， y ， z ， 由已知 “ 长方体的表面积为 11 ，其 12 条棱的长度之和为 24 ” ， 5 解析答案 2. 设实数 x ， y ， m ， n 满足 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， m 2 ＋ n 2 ＝ 3 ，那么 mx ＋ ny 的最大值是 ________. 其中 α ， β ∈ (0° ， 180°) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 － 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 解得－ 2 ≤ x ≤ 2 ， 所以函数的定义域为 [ － 2,2]. 则 y ＝ 3 × 2sin θ － 4 × 2cos θ ＝ 6sin θ － 8cos θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 其图象如图所示， 令 t ＝ f ( a ) ，则 t ≤ 1 ， 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 6. 设 f ( x 2 ＋ 1) ＝ log a (4 － x 4 )( a >1) ，则 f ( x ) 的值域是 ___ _ _________. 解析 　 设 x 2 ＋ 1 ＝ t ( t ≥ 1) ， ∴ f ( t ) ＝ log a [ － ( t － 1) 2 ＋ 4] ， ∴ 值域为 ( － ∞ ， log a 4]. ( － ∞ ， log a 4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 令 g ( x ) ＝ t ， y ＝ f ( t ) 与 y ＝ m 的图象最多有 3 个交点， 解析 当有 3 个交点时， 0< m <3 ， 从左到右交点的横坐标依次 t 1 < t 2 < t 3 ， 由于函数有 6 个零点， t ＝ x 2 － 2 x ＋ 2 m － 1 ， 则每一个 t 的值对应 2 个 x 的值， 则 t 的值不能为最小值，函数 t ＝ x 2 － 2 x ＋ 2 m － 1 的对称轴为 x ＝ 1 ， 则最小值 1 － 2 ＋ 2 m － 1 ＝ 2 m － 2 ，由 图可知， 2 t 1 ＋ 1 ＝－ m ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 又 0< m <3 ， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 8. 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0. (1) 求 y － x 的最大值和最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解　 方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0 变形为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 3 ， 表示的图形是圆 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 (2) 求 x 2 ＋ y 2 的最大值和最小值 . ∴ 当 θ ＝ 2 k π( k ∈ Z ) 时， 当 θ ＝ 2 k π ＋ π( k ∈ Z ) 时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 解　 设动点 P 坐标为 ( x ， y ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 所以 ∠ MAN ＝ 90° ，所以 ∠ MAN 的大小为定值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 (2) 若四边形 AMBN 的面积为 S ，求 S 的最大值 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析答案 令 k 2 ＋ 4 ＝ t ( t ≥ 4) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∵ t ≥ 4 ， ∴ f ′ ( t )<0 ， ∴ y ＝ f ( t ) 在 [4 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9