四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何1

四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何1

四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练 立体几何 一、选择、填空题 ‎1、（成都市2019届高三第一次（12月）诊断性检测）一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为 ‎ A.4 B.8 C.16 D.24‎ ‎2、（达州市2019届高三第一次诊断性测试）右图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为 A． B． C． D． ‎ ‎3、（成都市2019届高三第二次诊断）已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是 A． 若平面，则 B．若平面，则 C．存在平面，使得,, D．存在平面，使得，,‎ ‎4、（成都市2019届高三第二次诊断）已知三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的表面上,若AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=则球O的表面积为_____。‎ ‎5、（树德中学2019届高三11月阶段性测试）已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6、（广元市2019届高三第二次高考适应性统考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成角为α，则sinα的取值范围是（　　）‎ ‎（A）［，1］ （B）［，1］ （C）［，］ （D）［，1］‎ ‎7、（泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）‎ ‎8、（泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．18π B． C．21π D．42π ‎9、（南充市2019届高三第二次诊断考试）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l ⊄α，l ⊄β，则（　　）‎ A．α∥β且l∥α ‎ B．α⊥β且l⊥β ‎ C．α与β相交，且交线垂直于l ‎ D．α与β相交，且交线平行于l ‎10、（南充市2019届高三上学期第一次高考适应性考试）将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是 A． B． C. D．‎ ‎11、（攀枝花市2019届高三第一次统一考试）如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )‎ A B C D ‎12、（遂宁市2019届高三第三次诊断性考）麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，东北地区称麻圆，海南又称珍袋，广西又称油堆，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。已知一个麻团的正视图，侧视图和俯视图均是直径为（单位：）的圆（如图），则这个几何体的体积为（单位：）为 A. B. C. D.‎ ‎13、（遂宁市2019届高三第三次诊断性考）已知长方体中，与所成角的余弦值为，与底面所成角的正弦值为，则与底面 所成角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎14、（棠湖中学2019届高三4月月考）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是 A. B. C. D.‎ ‎15、（宜宾市2019届高三第二次诊断性考试）已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为 ‎16、（自贡市2019届高三上学期第一次诊断性考试）若长方体的顶点都在体积为的球的球面上，则长方体的表面积的最大值等于（ ）‎ A．576 B．288 C．144 D．72‎ ‎17、（棠湖中学2019届高三4月月考）在封闭的直三棱柱ABC-A1B‎1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=4，则V的最大值是 A.4π B. C.6π D.‎ ‎18、（棠湖中学2019届高三4月月考）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的正弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．‎ 参考答案：‎ ‎1、B 2、B 3、C 4、3 5、D ‎6、A 7、B 8、C 9、D 10、D ‎11、C 12、A 13、B 14、A 15、B ‎16、B 17、D　　18、‎ 二、解答题 ‎1、（成都市2019届高三第一次（12月）诊断性检测）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=,PA⊥平面ABCD,点M是棱PC的中点.‎ ‎（1）证明：PA//平面BMD；‎ ‎（2）挡PA=时,求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎2、（达州市2019届高三第一次诊断性测试）如图, 四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点，AD＝DG，平面， BE∥AP，BE＝AP，F是线段PG中点。‎ ‎(1)求证：平面PAC；‎ ‎(2)若PA＝AB＝2，求平面PCF与平面PAG所成锐二面角的余弦值。‎ ‎3、（成都市2019届高三第二次诊断）如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为AB,CD的中点,CD=2AB=2EF=4,M为DF中点现将四边形BEFC沿EF折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如图②所示的多面体在图②中,‎ ‎(I)证明:EF⊥MC；‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥M一AB—D的余弦值。‎ ‎4、（树德中学2019届高三11月阶段性测试）在三棱柱中，已知，点在底面ABC的射影是线段BC的中点O。‎ ‎（Ⅰ）证明在侧棱上存在一点E，使得平面，并求出AE的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值。‎ ‎5、（广元市2019届高三第二次高考适应性统考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCB⊥平面ABCD，‎ 平面PCD⊥平面ABCD。‎ ‎（I）求证：PC⊥平面ABCD，；‎ ‎（II）若二面角B－PA－D的大小为，求PB与平面PAD所成角的大小．‎ ‎6、（泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试）如图，三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA，‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）若AB＝AC，BD＝AB，求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎7、（南充市2019届高三第二次诊断考试）如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFC，ED⊥DG，EF∥DG，且AB＝AD＝DE＝DG＝2AC＝2EF．‎ ‎（1）求证：BF∥平面ACGD；‎ ‎（2）求二面角D-CG-F 的余弦值 ‎8、（南充市2019届高三上学期第一次高考适应性考试）如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎9、（攀枝花市2019届高三第一次统一考试）如图,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.‎ ‎10、（遂宁市2019届高三第三次诊断性考）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章算术》所作的注本。在注本中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。现有一阳马的具体情况是：在四棱锥中，底面是邻边相等的矩形，侧棱底面，‎ 的中点。 ‎ ‎（1）判断直线与的位置关系（不需证明）；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求二面角 的平面角的余弦值.‎ ‎11、（棠湖中学2019届高三4月月考）如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．‎ ‎（Ⅰ）若，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．‎ ‎12、（宜宾市2019届高三第二次诊断性考试）如图，四边形是菱形，平面，，平面，是中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎13、（自贡市2019届高三上学期第一次诊断性考试）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，.‎ ‎（1）证明：：；‎ ‎（2）点在棱上，且，若二面角大小的余弦值为，求实数的值.‎ ‎14、（成都市2018届高三第二次诊断）如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.‎ ‎（1）若点是线段的中点，证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎15、（德阳市2018届高三二诊考试）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点.‎ ‎（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；‎ ‎（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.‎ 参考答案：‎ ‎1、‎ ‎2、‎ ‎3、‎ ‎4、解：（Ⅰ）证明：连接AO,在三角形中，作于点E，‎ 得，‎ 因为面ABC,故。‎ 又，得面，故,‎ 所以平面,又,‎ 得. ·············· 5分 ‎（Ⅱ）以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 ‎ ‎，，‎ 由（Ⅰ）知平面的法向量是，‎ 又平面的一个法向量是，故，‎ 所以二面角的正弦值为。 ·············· 12分 ‎5、‎ ‎6、‎ ‎ ‎ ‎7、‎ ‎8、（1）证明：因为三棱柱中平面，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以平面平面 因为为正三角形，为的中点，‎ 所以，又平面平面，‎ 所以平面，又平面 所以平面平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则 ‎，，，，‎ 所以，‎ 设平面的法向量则 即 令，则得 同理可求得平面的法向量 设二面角的大小为，‎ 所以.‎ ‎9、(Ⅰ)证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直, ∴,‎ ‎∵矩形菱形, ∴平面,‎ ‎∵平面, ∴,……………………3分 ‎∵菱形中,,为的中点． ∴,即……………………5分 ‎∵, ∴平面．……………………6分 ‎(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知两两垂直,以A为原点,AG为x轴,AF为y轴,AD为z轴,建立空间 直角坐标系,设,则,故,,,,‎ 则,,,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取,得,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取,得,……………10分 设二面角的平面角为,则, ……………11分 易知为钝角,∴二面角的余弦值为．……………………12分 ‎10、【解析】‎ ‎（1）直线与是异面直线 ……………………2分 ‎（2）平面，平面，。‎ 同理可证 可知是等腰直角三形，而是斜边的中点，。‎ ‎∵底面是邻边相等的矩形，即四边形为正方形。‎ ‎，又，‎ 平面，又平面 ‎，又，且 平面，又平面 ‎∴ ……………………7分 ‎（3）∵底面，而底面是邻边相等的矩形，即底面是正方形，∴ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，设，又由于，且底面是正方形，∴，所以，，，，，。‎ ‎……………………8分 设平面的法向量为，‎ 则，令，则，，∴。 ……………………9分 又设平面的法向量为，则 ‎，令，则，，∴。 …………………10分 ‎∴ …………………11分 又∵二面角 的平面角是一个钝角，∴二面角 的平面角的余弦值为 ……………………12分 ‎11、解：（1）证明：连接交于，因为，又平面，‎ 所以，所以四边形为正方形，‎ 所以，在中，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，所以，所以，又，‎ 所以平面，‎ 所以，又因为从而平面 ………5分 ‎（2）如图建立直角坐标系，则 设平面的法向量为，由 ‎ ‎ 即解得 设平面的法向量为 …………8分 由得解得 ‎…………10分 由得，所以 ……11分 此时所以 ‎…………12分 ‎12、(1) 证明：设连接 是菱形，是的中点 是中点， ，‎ 平面 平面 ………2分 平面，平面平面 平面，平面，………4分 平面平面 ‎ 平面 ………6分 ‎ (2) 由(Ⅰ)知 ‎ 底面，， 两两垂直， ………7分 如图建立空间直角坐标系，设，‎ ‎，则 ‎ ‎ 设平面的法向量得，可取…9分 ‎ …………………11分 二面角的余弦值 …………………12分 ‎13、（1）证明：取AD的中点O，连OC,OP ‎∵为等边三角形，且O是边AD 的中点 ‎∴‎ ‎∵平面底面，且它们的交线为AD ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎(2)分别以OC,OD,OP为建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎∵ ∴‎ ‎∴,即：‎ 设，且是平面ABM的一个法向量，‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ 取 而平面ABD的一个法向量为 ‎∴‎ ‎∴ ∵ ‎ ‎∴‎ ‎14、解：（1）连接，.‎ ‎∵四边形为菱形，且，‎ ‎∴为等边三角形.‎ ‎∵为的中点，∴.‎ ‎∵，，又是的中点，‎ ‎∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，∴.‎ 由，，，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，‎ ‎，，.‎ ‎∴，，，.‎ 设平面，平面的法向量分别为，.‎ 由.‎ 解得.‎ 取，∴.‎ 又由解得.‎ 取，∴.‎ ‎∵.‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎15、解：（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.‎ 理由如下：‎ 取的中点，连结、，‎ 由题意，且，且，‎ 故且.‎ 所以，四边形为平行四边形.‎ 所以，，又平面，平面，‎ 所以，平面.‎ ‎（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，‎ 又，‎ 所以，且面面，面面，‎ 所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，‎ 设，则由题意知，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，‎ 令，则，，‎ 所以取，‎ 显然可取平面的法向量，‎ 由题意：，所以.‎ 由于面，所以在平面内的射影为，‎ 所以为直线与平面所成的角，‎ 易知在中，从而，‎ 所以直线与平面所成的角为.‎