2018-2019学年四川省遂宁中学外国语实验学校高二上学期第二学段考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省遂宁中学外国语实验学校高二上学期第二学段考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省遂宁中学外国语实验学校高二上学期第二学段考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用直线的斜率公式，即可求解经过两点的直线的斜率，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线经过点和点，则直线的斜率是，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．若两直线的倾斜角分别为 与，则下列四个命题中正确的是（ ）‎ A．若<，则两直线的斜率：k1 < k2 B．若=，则两直线的斜率：k1= k2‎ C．若两直线的斜率：k1 < k2 ，则< D．若两直线的斜率：k1= k2 ，则=‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，表示出斜率和角之间的关系，根据正切在之间的定义域和单调性的关系，即可作出判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，‎ 所以，且，‎ 根据正切在之间的定义域和单调性的关系，‎ 可得，对于A中，当，此时，所以不正确；‎ 对于B中，当，此时斜率不存在，所以不正确；‎ 对于C中，当，此时，所以不正确；‎ 对于D中，当，此时，所以是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜率与倾斜角的关系，其中解答中正确理解直线的斜率与倾斜角的关系，合理运用正切函数性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎3．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（　　）‎ A．3x+4y+5=0 B．3x+4y﹣5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求出直线与坐标轴的交点，分别求得关于轴的交点，即可求解直线的方程．‎ ‎【详解】‎ 令，则，可得直线与轴的交点为，‎ 令，则，可得直线与轴的交点为，‎ 此时关于轴的对称点为，‎ 所以与直线关于轴对称的直线经过两点，‎ 其直线的方程为，化为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．已知平面，点,直线，则直线AB与 的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，当点时，此时直线与相交；当点时，此时直线与是异面直线，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，当点时，此时直线与相交；‎ 当点时，此时直线与是异面直线，所以与是相交直线或是异面直线，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两条直线的位置关系的判定，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出S的值，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，执行上述程序框图，可知：‎ 第1次循环：，不满足条件，；‎ 第2次循环：，不满足条件，；‎ 第3次循环：，不满足条件，；‎ ‎ ‎ 第2013次循环：，不满足条件，，‎ 此时输出结果 ‎，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的计算输出问题，其中解答中根据程序框图，逐步计算，得到计算的规律，利用裂项法求和是解答本题的关键，着重考查了学生推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．直线被圆截得的弦长（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得圆心（1,2），r=，圆心到直线的距离为： ，所以弦长为 ‎7．若实数，满足，则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域如图所示：‎ 联立，解得.‎ 由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，的截距最大，则目标函数的最大值为.‎ 故选C.‎ 点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.‎ ‎8．已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（ ）‎ ‎①存在一条直线；‎ ‎②存在一个平面；‎ ‎③存在两条平行直线；‎ ‎④存在两条异面直线.‎ A.①③ B.②④ C.①④ D.②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：对①，由线面垂直的性质知①能推出，对②，如教室的墙角的两墙面都与底面垂直，则这两个墙面不平行；对③由图3知，，但相交，故③推不出，结合选项，排除A，B，D,故选C.‎ ‎【考点】空间线面、面面平行垂直的判定与性质 ‎9．若圆与圆外切，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化为圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式，即可求解答案．‎ ‎【详解】‎ 由圆，得到圆心坐标，半径为，‎ 由圆，得到圆心坐标，半径为，‎ 圆心与圆外切，所以，‎ 解得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的合理应用，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.‎ 故选A.‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎11．如果圆x2+y2+2m(x+y)+2m2﹣8=0上总存在到点(0,0)的距离为的点，则实数m的取值范围是（ ）‎ A .[﹣1，1] B.（﹣3，3） ‎ ‎（﹣3，﹣1）∪（1，3） D.[﹣3，﹣1]∪[1，3]‎ ‎【答案】D ‎【解析】由方程知圆心为，半径，设圆上的点到坐标原点的距离为．其中圆上总存在两个点到原点的距离为．则，所以或，则，即，解得或．故本题答案选．‎ 点睛：直线与圆的位置关系判断：(１)几何法：利用圆心到直线的距离以及圆的半径的大小关系判断．(２)代数法：将直线与圆的方程联立，利用得到的一元二次方程的判别式．(３)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．‎ 二、填空题 ‎12．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F分别是棱BC，‎ 的中点，P是侧面内一点，若∥平面AEF，则线段长度的取值范围是_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：分别取棱的中点M、N，连接MN，连接，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥，EF∥，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵∥NE，=NE，∴四边形为平行四边形，∴∥AE，又⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴∥平面AEF，又∩MN=N，∴平面∥平面AEF，∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△中，，同理，在Rt△中，求得，∴△为等腰三角形，当P在MN中点O时⊥MN，此时最短，P位于M、N处时最长，, ，所以线段长度的取值范围是 ‎【考点】直线与平面平行的性质 ‎13．已知,，则间的距离为__________________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据空间中，两点的距离公式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，点,，‎ 则间的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中两点间的距离公式，其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是________________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求解面积，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直观图的面积为,‎ 因为直观图和原图面积之间的关系为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜二测画法及斜二测画法中原图与直观图面积之间的联系及应用，其中熟记斜二测画法的规则和原图与直观图面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．过点作圆的两条切线，切点分别为，则= . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故 ‎.‎ ‎【考点】1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.‎ ‎16．如图，正方体ABCD—A1B‎1C1D1，‎ 则下列四个命题：‎ ‎①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；‎ ‎②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；‎ ‎③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；‎ ‎④M是平面A1B‎1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D‎1A1。‎ 其中真命题的编号是 。‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】试题分析：①∵BC1∥平面AD1，∴BC1∥上任意一点到平面AD‎1C的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确．③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P-AD1-C的大小不受影响，所以正确．④∵M是平面A1B‎1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴M点的轨迹是一条与直线D C1平行的直线，而D D1= C1D1，所以正确．故答案为：①③④.‎ ‎【考点】1.异面直线及其所成的角；2.棱柱、棱锥、棱台的体积；3.与二面角有关的立体几何综合题.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．‎ ‎（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；‎ ‎（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）3x﹣y﹣5=0； （2）x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0.‎ ‎【解析】（1）联立方程组，求得交点的坐标P，根据与直线垂直，求解所求直线的斜率，利用点斜式方程，即可求解；‎ ‎（2）由（1）知直线l过P（2，1），分类讨论，利用点到直线的距离公式，列出方程即可求解求解，即可求解直线的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 ，解得P（2，1），‎ 由于l与x+3y﹣1=0垂直，‎ 则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），‎ 即3x﹣y﹣5=0；‎ ‎（2）由（1）知直线l过P（2，1），‎ 若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，‎ 故直线l的斜率一定存在，‎ 设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，‎ 由题意得，解得：k=﹣1或k=﹣，‎ 故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的点斜式方程的应用，以及两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记直线的点斜式方程，合理利用点到直线的距离，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）取PD的中点H,易证得AMNH为平行四边形，从而证得MN∥AH，即证得结论；‎ ‎（2）由平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA，利用中位线定理可确定位置.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图,取PD的中点H, ‎ 连接AH、NH.由N是PC的中点,H是PD的中点,知NH∥DC,NH=DC.‎ 由M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC ‎. ‎ ‎∴NH∥AM,NH=AM,所以AMNH为平行四边形.‎ ‎∴MN∥AH.‎ 由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,‎ 知MN∥平面PAD.‎ ‎(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,‎ ‎∵M是AB中点,∴Q是PB的中点.‎ 即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行及面面平行的证明，属于基础题.‎ ‎19．中，顶点，AC边所在直线方程为，AB边上的高所在直线方程为．‎ ‎（1）求AB边所在直线的方程；‎ ‎（2）求AC边的中线所在直线的方程．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）据题意，AB边上的高所在直线方程，求得斜率，再由直线的点斜式方程，即可求解；‎ ‎（2）联立方程组，求解交点A的坐标和线段AC的中点，即可求解AC边的上的中线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）据题意，AB边上的高所在直线方程为 所以 AB边所在直线的方程为，即.‎ ‎（2）联立 ，则AC的中点，‎ 则AC边的中线所在直线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中熟记直线的点斜式方程，以及两条直线的位置关系的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，设中点分别是，连接先证明 ‎，再证明 平面 .(2)第（2）问，先找到与平面所成角，再转化与平面所成角的正弦值为，再利用公式法求四棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ 证明：(I)设中点分别是，连接则，‎ ‎，为平行四边形，‎ ‎， 平面，平面，∴平面.‎ ‎（II）,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又正方形ABED中 BD=，‎ ‎ .‎ 又S梯形ABCD=，‎ ‎.‎ ‎21．已知圆经过点、，并且直线： 平分圆.‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点.‎ ‎（ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（ⅱ）若，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）确定圆需要三个条件，求圆方程可用待定系数法或直接法，此处是充分运用平几知识，求出圆心和半径，直接写方程；（Ⅱ）直线与圆的关系既可用几何法，也可运用代数法，这里两种方法都用了，感受一下，何时用何法的内在规律，韦达定理一定要和判别式结合使用，否则易犯错.‎ 试题解析：（Ⅰ）线段的中点， ，故线段的中垂线方程为，即.‎ 因为圆经过两点，故圆心在线段的中垂线上.‎ 又因为直线： 平分圆，所以直线经过圆心.‎ 由解得，即圆心的坐标为，而圆的半径，所以圆的方程为： 5分 ‎（Ⅱ）直线的方程为.‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎（ⅰ）由题意得，两边平方整理得： ‎ 解之得8分 ‎（ⅱ）将直线的方程与圆的方程组成方程组得： 消去，整理得 ‎10分 设，则由根与系数的关系可得：‎ ‎， ‎ 而 所以 ‎ ‎12分 故有，解得.经检验知，此时有，所以14分 ‎【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.‎ ‎22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且,点是棱的中点，平面与棱交于点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）证明AB∥CD，即可证明AB∥面PCD，然后证明AB∥EF；（2） 取AD中点G，连接PG，GB证明AD⊥GB，建立空间直角坐标系G-xyz，设PA=PD=AD=2，求出相关点的坐标，分别求出平面AFE，PAF的法向量，利用向量法求解平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)∵底面是菱形，∴，‎ 又∵面，面，‎ ‎∴面 又∵，，，四点共面，且平面平面，‎ ‎∴ ‎ ‎(2)取中点，连接，，∵，∴，‎ 又∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，∴，‎ 在菱形中，∵，，是中点，‎ ‎∴ ‎ 如图，建立空间直角坐标系，设，‎ 则，， ，，，‎ 又∵，点是棱中点，‎ ‎∴点是棱中点， ‎ ‎∴，，,‎ 设平面的法向量为，则有，∴ ，‎ 不妨令，则平面的一个法向量为 ‎∵平面，∴是平面的一个法向量，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的数量积应用，二面角的平面角的求解，直线与平面平行的判断与性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．‎