数学卷·2018届安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期摸底考试数学试题 （解析版）

数学卷·2018届安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期摸底考试数学试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知点在角的终边上，且，则的值为（ ）‎ A. 　　 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵，故点坐标为，由角的定义可知：，‎ 故选项为D. ‎ 考点：角的概念.‎ ‎2.若集合， ，那么的子集的个数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：子集的个数.‎ ‎3.下列命题中，正确的是（ ）‎ A．若，，则； B．若 ，则；‎ C．若，，则； D．若， 则.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：对于A,当，，，时，不成立；对于B，当时，若 ，则不成立；对于C，当，，，时，不成立；对于D，不等式两边同时除以一个正数，不等号不变；故选项为D.‎ 考点：不等式的性质.‎ ‎4.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：‎ ‎ ‎ 去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由平均值及方差的定义可知，‎ ‎，故选项为D.‎ 考点：平均值和方差的计算.‎ ‎5.已知数列满足，，且．若，则正整数（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 考点：数列的递推式.‎ ‎【方法点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．由已知数列递推式可知，，满足等差数列的定义，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，求得等差数列的通项公式，得到数列前项大于，自第项起小于，则答案可求．‎ ‎6.若执行下面的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点：程序框图.‎ ‎7.若把函数的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数的图象 重合，则的值可能是（ ）‎ A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：把函数的图象向左平移个单位，得到 的图象，再根据所得到的图象与函数的图象重合，可得，故 ，即，则的一个可能取值是，故选：A．‎ 考点：三角函数图象变换.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查诱导公式的应用，利用了的图象变换规律，属于基础题．根据的图象变换规律即“左加右减上加下减”的原则，可得，在其变换过程中需注意提取，即，化简可得，再利用诱导公式求得的一个可能取值．‎ ‎8.下列各式中运算正确的是（ ）‎ A. 　　　　 B．‎ C． 　 D． ‎ ‎【答案】D 考点：函数的性质及应用.‎ ‎9.已知，，，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，即，故，则其夹角为，故选项为C.‎ 考点：平面向量的数量积运算.‎ ‎10.下列判断：‎ ‎（1）从个体编号为，，…，的总体中抽取一个容量为的样本，若采用系统抽样方法进行抽取，‎ 则分段间隔应为；‎ ‎（2）已知某种彩票的中奖概率为，那么买张这种彩票就一定会中奖（假设该彩票有足够的张 数）；‎ ‎（3）从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，恰有个黒球与恰有个黒球是互斥但不对立的两 个事件；‎ ‎（4）设具有线性相关关系的变量的一组数据是（，），（，），（，），（，），则它们 的回归直线一定过点（， ）.‎ 其中正确的序号是（ ）‎ A．（）、（）、 （） 　 　 B．（）、（）、（）‎ ‎ C．（）、（） 　　 D．（）、（）‎ ‎【答案】B 考点：（1）系统抽样；（2）概率的定义；（3）对立事件与互斥事件；（4）线性回归方程.‎ ‎11.已知关于的不等式＞的解集为＜＜，那么不等式 ‎＞的解集为（ ）‎ A．＜＜ B．＜，或＞‎ C．＜＜ D．＜，或＞‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：不等式的解集为，可得并且，，代入不等式，化为，可得，故选C．‎ 考点：一元二次不等式的解法.‎ ‎12.在集合上都有意义的两个函数与，如果对任意，都有≤，‎ 则称与在集合上是缘分函数，集合称为缘分区域．若与 在区间上是缘分函数，则缘分区域是（ ）‎ A． 　 　 B．‎ C． 　　 D．‎ ‎【答案】B 考点：函数的概念及其构成要素.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.在区间中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设随机取出的两个数分别为，，则满足，对应区域的面积为，则两数之和小于，对应不等式，对应的区域为，对应的面积，则两数之和小于的概率，则两数之和大于的概率是.‎ 考点：几何概型.‎ ‎14.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足 ‎≤，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ 考点：（1）函数奇偶性的性质；（2）函数单调性的性质.‎ ‎【方法点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力，属于中档题．根据偶函数的定义以及对数式的运算将所给的式子化为：，再利用偶函数的单调性列出关于的不等式求解得结果.‎ ‎15.已知函数，下列五个结论：‎ ‎①当时，函数没有零点； ②当时，函数有两个零点；‎ ‎③当时，函数有四个零点； ④当时，函数有三个零点；‎ ⑤当时，函数有两个零点．‎ 其中正确的结论的序号是 　 ．（填上所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①②③④⑤‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴由，得，①当时，∵，，∴无解，∴当时，函数没有零点，故①正确；②当时，，，∴由，得，解得，∴当时，函数有两个零点，故②正确；③当时，，则，解得，或，∴当时，函数有四个零点，故③正确；④当时，，由，得，解得，或．∴当时，函数有三个零点，故④正确；⑤‎ 当时，，则，解得．∴当时，函数有两个零点，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．‎ 考点：（1）函数的零点；（2）命题真假的判断及应用.‎ ‎【方法点晴】本题考查函数的零点个数的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想、等价转化思想和绝对值性质的合理运用．，由，得，由此利用绝对值的性质对的取值进行分类讨论，去绝对值，转化为关于的一元二次方程，能够求出结果，判断各项的正误.‎ ‎16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：的因数有，则；的 因数有，则，记数列的前项和为，则______.‎ ‎【答案】‎ 考点：（1）数列的函数特性；（2）数列求和.‎ ‎【方法点晴】本题考查新定义的性质及应用，等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式、逐差累加的方法，较难理解，难度较大，据题中对的定义，判断出，且若为奇数则，利用等差数列的前项和公式及的形式，利用逐差累加的方法及等比数列的前项和公式求出，令求出结果．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（10分）口袋中有质地、大小完全相同的个小球，编号分别为、、、、，甲、乙两 人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸出一个球，记下编号，如果两个编号的和为 偶数算甲赢，否则算乙赢.‎ ‎（1）求甲赢且编号的和为的事件发生的概率；‎ ‎（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不公平.‎ 试题解析：设“甲赢且编号的和为”为事件，事件包含的基本事件为，，‎ ‎，，,共个. ‎ 又甲、乙两人取出的数字共有个等可能的结果. ∴,‎ 故甲赢且编号的和为的事件发生的概率为. ‎ 设“甲胜”为事件， “乙胜”为事件,则甲胜包含的基本事件数为个，即 ‎，，,,,,,，, ,,, , ‎ ‎∴, ‎ ‎∵≠‎ ‎∴这种游戏规则不公平. ‎ 考点：等可能事件的概率.‎ ‎18.（12分）如图，正三角形的边长为，分别在三边 上，且 为的中点．，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最小值以及使得取最小值时的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得 ‎，‎ 在中，由正弦定理得 ‎．‎ 由得，‎ 整理得，所以． ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎．‎ ‎∴当时，取得最小值为．‎ 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.‎ ‎【方法点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．在中和中，当涉及两边及其两边的对角时利用正弦定理，两次正弦定理结合得结果；在（Ⅱ）中把三角形的面积表示成关于的函数，利用两角和的正余弦公式及降幂公式化简，然后求三角函数的最小值.‎ ‎19.（12分）已知定义域为的偶函数满足:对于任意实数，都有，且 当≤≤时，．‎ ‎（1）求证：函数是周期函数； ‎ ‎（2）当时，求的解析式.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎（2）当时，，则，‎ 当时，，则.‎ 故当时，有.‎ 考点：（1）抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法.‎ ‎20.(12分)有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大 桥上的车距与车速（）和车身长的关系满足：（为正的常数），假 定大桥上的车的车身长都为，当车速为时，车距为个车身长.‎ ‎（1）写出车距关于车速的函数关系式；‎ ‎（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，大桥每小时通过的车辆最多.‎ 试题解析： （1）当时，，故， ‎ 从而. ‎ 设每小时通过的车辆为，则，即 ‎， ‎ ‎∵≥， ‎ ‎∴≤，当且仅当， ‎ 即时，取得最大值. ‎ 答：当时，大桥每小时通过的车辆最多.‎ 考点：（1）函数模型的选择及应用；（2）基本不等式.‎ ‎21.（12分）设，（）．‎ ‎（1）求在区间上的值域；‎ ‎（2）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎，‎ ‎，函数在上单调增.‎ ‎,,‎ 又在上连续，则在上的值域为.‎ ‎(2)在上，记函数，的值域分别是，由(1)知，‎ 又在上单调增， 则，‎ 由题意知，，则，解得，‎ 故实数的取值范围是 考点：函数的值域.‎ ‎【一题多解】（1）①若，；‎ ‎②若，则；由于，∴；∴；∴；∴的值域为.‎ ‎22.（12分）已知二次函数()同时满足：①不等式≤的解集有且 只有一个元素；②在定义域内存在＜＜，使得不等式＞成立.设数列的前项 和. ‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，，的前项和为，若＞对任意，‎ ‎≥恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ 试题解析：（1）由不等式≤的解集有且只有一个元素得，‎ 解得或 ， ‎ 当时，在上单调递增，故不存在＜＜，使得不等式 ‎＞成立；‎ 当时，在上单调递减，故存在＜＜，使得不等式 ‎＞成立.‎ 综上， ‎ ‎（2）由（2）知，当时，，‎ 当≥时，‎ ‎∴ ‎ ‎（3）∵，∴，，‎ ‎∴当时，， ‎ ‎∴当时，‎ ‎， ‎ ‎＞对，≥恒成立等价于＜对，≥恒成立，而是关于的增函数，所以当时，，‎ ‎∴实数的取值范围是＜. ‎ 考点：（1）二次函数的性质；（2）数列的通项公式；（3）恒成立问题.‎ ‎【方法点睛】本题考查二次函数的性质，将有且只有一个解，转化为，代入验证满足条件②的的值，在求数列的通项公式利用时，需注意分为和两种情况，且验证时；‎ 数列与函数的综合，本题解题的关键是根据所给的条件构造新数列，求新数列的和，这里利用数列的求和的基本方法即分组，注意本题中对于特殊项的验证．‎ ‎ ‎