命题角度6-4 导数与不等式（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度6-4 导数与不等式（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度4：导数与不等式 ‎1.设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，证明：对任意的实数，都有.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为;（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）问题转化为证明，先证出，再证明令，根据函数的单调性证明即可．‎ 试题解析：（1）定义域为，，‎ ‎①当时，，在上单调递增，‎ ‎②当时，令，有，‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的单调减区间为，单调增区间为.‎ 综合①②，当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎∴当时，，‎ 从而.‎ 接下来只需证：，‎ 即证：，‎ 令，则，‎ 所以在上单调递减，上单调递增，‎ 即，‎ ‎∵时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 点晴:本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.‎ ‎2．已知， .‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）求证：当时， .‎ ‎【答案】（1）， 无极大值；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，令和，结合极值的定义得结果；（2）由对函数求导得到函数在上单调递减， 单调递增，要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果；（3）问题等价于，由（1）知的最小值为，令（）使得成立即可.‎ ‎（2）问题等价于 由（1）知的最小值为 令（）‎ ‎∴‎ 易知在上单调递增， 上单调递减 ‎∴‎ 又 ‎∴， ‎ 故当时， 成立 考点：（1）利用导数求函数的极值；（2）不等式的证明.‎ ‎【方法点睛】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求不等式和的解，根据单调性求极值；函数零点的个数转化为函数图象与轴的交点的问题，由数形结合思想，根据单调性得结果；观察所证式子的特征，利用前面的结论，构造不等式，可证结果.‎ ‎3.设，函数.‎ ‎(Ⅰ)若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若无零点，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)若有两个相异零点，求证： .‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)首先求得函数的导数，然后利用导函数研究函数的切线可得曲线在处的切线方程是；‎ ‎(Ⅱ)结合函数的解析式分类讨论可得实数的取值范围是；‎ ‎(Ⅲ)由题意结合题中的结论构造函数即可证得题中的不等式.‎ ‎②若有唯一零点；‎ ‎③若，令，得，‎ 在区间上， ，函数是增函数；‎ 在区间上， ，函数是减函数；‎ 故在区间上， 的最大值为，‎ 由于无零点，须使，解得，‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎(Ⅲ)设的两个相异零点为，设，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，要证，只需证，‎ 只需，等价于，‎ 设上式转化为)，‎ 设，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎4.已知二次函数对都满足且，设函数（， ）．‎ ‎（Ⅰ）求的表达式；‎ ‎（Ⅱ）设， ，求证：对于 恒有 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设，根据=直接可得答案．（Ⅱ）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）-H（1）|<1即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设，于是 所以 又，则．所以． ‎ ‎（Ⅱ）因为对， 所以在内单调递减．‎ 于是 ‎.‎ 记，则 所以函数在是单调增函数， ‎ 所以，故命题成立．‎ 点睛：本题考查函数的表达式的求法，考查满足条件的实数的取值范围是否存在的判断与求法，恒成立问题采用变量分离求最值得范围，双变元问题分别找最值求解，借助于导数求单调性.‎ ‎5.已知函数，函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，求证：不等式： .‎ ‎【答案】(1)略（2） （3）略.‎ ‎【解析】试题分析：对函数求导，讨论，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数 判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出的范围；借助第二步的结论，证明不等式.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） ， ‎ 当时，增区间，无减区间 当时，增区间，减区间 ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 即在上恒成立 ‎ 设，考虑到 ‎，在上为增函数 ‎， 当时， ‎ 在上为增函数， 恒成立 当时， ， 在上为增函数 ‎，在上， ， 递减，‎ ‎，这时不合题意， ‎ 综上所述， ‎ 所以原不等式成立.‎ ‎6.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）证明：当时， ．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，‎ 分类讨论求出函数的最值，即可证明.‎ 试题解析：（1）函数的定义域为.由，得.‎ ‎①当时， 恒成立，函数在上单调递增，又，所以函数在定义域上有个零点.‎ ‎②当时，则时， 时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又，所以函数在定义域上有个零点.‎ 综上所述实数的取值范围为.‎ 当时， .‎ 于是，当时， .①‎ 令，则.‎ 当时， ；当时， .‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时， .‎ 于是，当时， .②‎ 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.‎ 故当时， ).‎ ‎7. 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）证明： ．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.‎ 试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，‎ 即在处且，‎ 解得. ‎ ‎（Ⅱ）现证明，设，‎ 令，即，‎ 因此，即恒成立，‎ 即，‎ 同理可证. ‎ 由题意，当时，且，‎ 即，‎ 即时，成立.‎ 当时，，即不恒成立.‎ 因此整数的最大值为2. ‎ ‎（Ⅲ）由，令，‎ 即，即 由此可知，当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎……‎ 当时，. ‎ 综上：‎ ‎. ‎ 即.‎ ‎8.已知函数.‎ ‎(1) 求的极值；‎ ‎(2) 当时，求证： ‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合导函数研究原函数可得在时取极小值，极小值为，无极大值.‎ ‎(2)原问题等价于.构造新函数，结合题意和函数的特征即可证得题中的结论.‎ 试题解析：‎ 在递减，在递增，所以 ‎∵ ，‎ 设，∵，∴递增.‎ ‎，∴，∴，故结论成立.‎ ‎9. 已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设 (其中为的导函数) ，证明: 时， .‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ 解：(1)函数的定义域为，由于 在上是减函数，所以当时， ；当时， .所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎(2)由，①当时，由(1) 知，所以.② 当时， ‎ ‎，‎ 构造函数，则，则当时， ，易知当时， ， .‎ 要证，只需证，设，得，由，得，当时， ，则单调递增；当时， ，则单调递减，当时， ，所以当时， 成立.综合 ‎① ②可知：当时， .‎ ‎10.设函数．‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，求证：对任意，都有．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.‎ 试题解析：（1）当时， ， ， ， ，所以函数在点处的切线方程为，即． ‎ ‎（2），定义域为， ．‎ ‎① 当时， ，故函数在上单调递减； ‎ ‎② 当时，令，得 x ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 综上所述，当时， 在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．‎