山东省临沂第一中学2019-2020学年高二下学期第二阶段性考试数学试题

山东省临沂第一中学2019-2020学年高二下学期第二阶段性考试数学试题

‎2018级高二下学期第二次阶段性测试一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．‎ ‎1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(∁UB)＝(　　)‎ A. {x|－2≤x＜4} B. {x|x≤3或x≥4}‎ C. {x|－2≤x＜－1} D. {x|－1≤x≤3}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.‎ ‎2.一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（ ）‎ A. 75 B. ‎100 ‎C. 50 D. 125‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质，，成等差数列，建立方程，进行求解．‎ ‎【详解】解：设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，‎ 由题意得，，‎ 解得，，‎ 故中间的项的和为75，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前项和为，则，，，成等差数列，属于中档题．‎ ‎3.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面几何知识求解 ‎【详解】如图，可知 ‎=，选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，‎ ‎4.在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（ ）‎ A. B. ‎ C. 1 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时, 取最大即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.‎ ‎5.在古装电视剧《知否》中，甲､乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局;第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意列出分布列，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.‎ ‎【详解】解：由题可知 筹数 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎0‎ 甲要想贏得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹.‎ 甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢，此种情况发生的概率;‎ 甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率;‎ 甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率;‎ 甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”､“四筹”､“五筹”､“六筹”，甲都可蠃，此种情况发生的概率 ‎.故甲获胜的概率.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式，属于中档题.‎ ‎6.如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“‎1”‎的代换，求解最小值 ‎【详解】如图可知x，y均为正，设，‎ 共线， ，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ 则的最小值为，故选D.‎ ‎【点睛】平面向量与基本不等式综合题目，考察基本不等式中“‎1”‎的代换，求解代数式最值问题 ‎7.若存在，使不等式成立，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围.‎ ‎【详解】令，对称轴方程为，‎ 若存在，使不等式成立，‎ 等价于，‎ 当时，即，，解得，‎ 因为，所以；‎ 当时，即，，解得，‎ 因为，所以；‎ 因为，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】主要考查了一元二次不等式存在性问题，属于中档题.这类型问题关键是等价转化为最值问题，通过讨论对应二次函数最值的情况，从而求出参数范围.‎ ‎8.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.‎ ‎【详解】设，‎ 则由得，‎ 由得 因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.‎ ‎【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.下列命题中是真命题的是（ ）‎ A. “”是“”的充分不必要条件；‎ B. 命题“，都有”的否定是“，使得”；‎ C. 数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数是6；‎ D. 若随机变量服从正态分布，，则．‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各个选项进行逐一判断其真假即可得到答案.‎ ‎【详解】A.当 “”时，有“”成立，反之当“”时，“或”‎ ‎，所以不成立.‎ 故“”是“”的充分不必要条件，故正确.‎ B. 根据全称命题的否定是特称命题，则命题“，都有”的否定是“，使得”，故正确.‎ C. 数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数是7，所以错误.‎ D. 若随机变量服从正态分布，，‎ 则根据正态曲线的对称性可得 ‎．故正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查充分不必要条件的判断，全称命题的否定的书写，正态分布中求概率，属于中档题.‎ ‎10.在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）‎ A. 成绩在的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000‎ C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为成绩出现在[70，80]的频率最大，故A正确；不及格考生数为10×（0.010+0.015）×4000＝1000，故B正确；根据频率分布直方图估计考试的平均分为70.5，C正确；估计中位数为71.67，D错误．‎ ‎【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；‎ 成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；‎ 考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；‎ 因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，‎ 所以中位数为，故D错误.‎ 故选ABC.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图，以及用频率分布直方图估计样本的平均数与中位数等，考查计算能力．属于基础题．‎ ‎11.下列命题中真命题是（ ）‎ A. 已知实数，，满足，，则 B. 的最小值为4‎ C. 如果，，，那么 D. 若，则不等式一定成立 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法可以判断A，C选项，利用函数的单调性可判断B选项，利用不等式的基本性质可判断D选项.‎ ‎【详解】A.，则，‎ 由，两式相减得：‎ 所以，则，故正确.‎ B. 设，则函数在上单调递减，则其最小值为5，故不正确.‎ C. ，则 ‎，则么，故正确.‎ D. 若，则，所以，由不等式的性质有，故正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】本题考查作差法比较大小，利用函数单调性求最值和不等式性质，属于中档题.‎ ‎12.给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）‎ A. 集合为闭集合 B. 正整数集是闭集合 C. 集合为闭集合 D. 若集合，为闭集合，则为闭集合 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案.‎ ‎【详解】A. 当集合时，，而，所以集合不为闭集合.‎ B.设是任意的两个正整数，当时，不是正整数, 所以正整数集不为闭集合.‎ C．当时，设 则，，所以集合是闭集合.‎ D .设,‎ 由C可知，集合，为闭集合，，而，此时 不为闭集合.‎ 所以说法中不正确的是ABD 故选：ABD ‎【点睛】本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，属于 中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.下列说法中正确的是________.（填序号）‎ ‎①若，其中，，则必有；‎ ‎②；‎ ‎③若一个数是实数，则其虚部不存在；‎ ‎④若，则在复平面内对应的点位于第一象限.‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据已知可得，{虚数}，利用复数相等的概念，可判断①的正误；‎ ‎②利用虚数不能比大小，可判断②的正误；‎ ‎③由实数的虚部为0，可判断③的正误；‎ ‎④由，知，可判断④的正误.‎ ‎【详解】对于①，，，即{虚数}，‎ 所以不成立，故①错误；‎ 对于②，若两个复数不全是实数，则不能比大小，‎ 由于均为虚数，故不能比大小，故②错误；‎ 对于③，若一个数是实数，则其虚部存在，为0，‎ 故③错误；‎ 对于④，若，则，‎ 在复平面内对应点为，在第一象限，故④正确.‎ 故答案为:④.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复数的概念和应用，熟练掌握复数概念是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14.的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.‎ ‎【详解】的展开式的通项为，‎ 令，得，所以，展开式中的常数项为；‎ 令，令，即，‎ 解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎15.已知数列满足，，设前项和为，则__________，__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 1010‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由先求出前几项，归纳出数列的周期，从而得出答案.‎ ‎【详解】由，，有 ‎，…………‎ 则数列是以3为周期的数列.‎ 又，‎ 所以，‎ 故答案为：(1). (2). 1010‎ ‎【点睛】本题考查数列周期性，主要是通过计算前几项得出数列的周期，属于中档题.‎ ‎16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.命题：不等式的解集是．命题：不等式在内恒成立，若和一真一假，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先分别求出当命题，命题为真命题时，参数的范围，然后由和一真一假，分真假，假真求解的范围.‎ ‎【详解】命题：不等式的解集是为真命题时.‎ ‎，解不等式得．‎ 所以所以命题为真命题时, ‎ 命题：不等式在内恒成立 因为,当且仅当时“=”成立．‎ 所以命题为真命题时,．‎ 因为，一真一假．‎ 当真假时有 当假真时有．‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围和不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎18.已知，，.‎ ‎（1）求与的夹角和的值；‎ ‎（2）设，，若与共线，求实数m的值.‎ ‎【答案】（1）与的夹角为，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长；‎ ‎（2）根据共线定理必存在使得：，求解参数.‎ ‎【详解】（1），，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以与的夹角为，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）可得：与不共线，‎ ‎，，若与共线，‎ 则必存在使得：，‎ 所以，‎ 得.‎ ‎【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.‎ ‎19.在公比大于的等比数列中，，且、、成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，则，根据题中条件求得的值，进而可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）求得，，利用裂项相消法可求得.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，则，‎ 因为、、成等差数列，所以.‎ 即，整理得，解得（舍去）或.‎ 故；‎ ‎（2）由（1）得，，则.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知数列的前项和满足，.‎ ‎（1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，用递推公式表示，利用递推关系及下标缩放即可求得与之间的关系，即可证明数列为等比数列；根据等比数列的通项公式即可求得；‎ ‎（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求前项和即可.‎ ‎【详解】（1）由题可知，‎ 即.①‎ 当时，，得，‎ 当时，，②‎ ‎①－②，得，即，‎ 所以 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 所以，故 ‎（2）由（1）知，‎ 则，‎ 两式相减得 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及证明数列的类型，涉及错位相减法求数列的前项和，属综合基础题.‎ ‎21.新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 ‎5‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 了解 ‎4‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；‎ ‎（2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？‎ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附：.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；‎ ‎（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；‎ ‎（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率，‎ 中老年对新高考了解的概率.‎ ‎（2）列联表如图所示 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 老年 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎，‎ 所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.‎ ‎（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，‎ 则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2，‎ 则；；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎22.2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是‎2020年1月15日至‎1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.‎ 为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据‎1月15日至‎1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（3）以下是‎1月25日至‎1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：‎ 时间 ‎1月25日 ‎1月26日 ‎1月27日 ‎1月28日 ‎1月29日 累计确诊人数的真实数据 ‎1975‎ ‎2744‎ ‎4515‎ ‎5974‎ ‎7111‎ ‎（ⅰ）当‎1月25日至‎1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？‎ ‎（ⅱ）‎2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？‎ 附：对于一组数据（，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ 参考数据：其中，.‎ ‎5.5‎ ‎390‎ ‎19‎ ‎385‎ ‎7640‎ ‎31525‎ ‎154700‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎225‎ ‎338‎ ‎507‎ ‎【答案】（1）适宜（2）（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据散点图即可判断出结果.‎ ‎（2）设，则，求出，再由回归方程过样本中心点求出，即可求出回归方程.‎ ‎（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当时，，与真实值作比较即可判断有效.‎ ‎【详解】（1）根据散点图可知：‎ 适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；‎ ‎（2）设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（3）（ⅰ）时，，，‎ 当时，，，‎ 当时，，，‎ 所以（2）的回归方程可靠：‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ ‎10150远大于7111，所以防护措施有效.‎ ‎【点睛】本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.‎