2019届高三数学第一次大考试题 文 人教 新版

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‎2019届高三第一次大考试题 文 科 数 学 一． 选择题 ‎1.已知集合,则 A．，B． C．。D． ‎ ‎2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，－1），（0，－1），则＝‎ A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．－2－i ‎3．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是 A．12 B．15 C．20 D．21‎ ‎4.己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是 A． B． C． D．5‎ ‎5.已知抛物线 的焦点为 ,其准线与双曲线 相交于 两点,若 为直角三角形,其中 为直角顶点,则 ‎ A.  B.  C.  D. ‎ ‎6．已知是等差数列{}的前n项和，则“＜对n≥2恒成立”是“数列{}为递增数列”的 A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．若，满足约束条件则的最大值为 - 9 -‎ A. B. C. D.不存在 ‎8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎9．函数的导函数在上的图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为 A. ‎ B. ‎ C. D. 10. ‎ ‎11. 双曲线：的半焦距为，.若上存在一点，使得，则离心率的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎12.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为 ‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题 ‎13. 已知向量⊥，||＝4，则·＝________．‎ - 9 -‎ 14. 已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= .‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． ‎ ‎16.下面有四个命题：‎ ①在等比数列中，首项是等比数列为递增数列的必要条件.‎ ②已知，则.‎ ③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到的图象.‎ ④设，则函数有最小值无最大值.‎ 其中正确命题的序号为___________.(填入所有正确的命题序号)‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 的内角，，的对边分别为，，，已知，. ‎ ‎（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积和周长.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，平面，且底面为边长为2的菱形，‎ ‎，‎ ‎（Ⅰ）证明：面面；‎ ‎（Ⅱ）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及其理由），并求四面体的体积.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 当 月 在 售 二 手 房 均 价 y 如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）‎ - 9 -‎ 由散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：‎ 残差平方和 ‎0.000591‎ ‎0.000164‎ 总偏差平方和 ‎0.006050‎ ‎（Ⅰ）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；‎ ‎（Ⅱ）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区平方米的二手房（欲 购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）‎ 附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款），征收方式见下表：‎ 契税 ‎（买方缴纳）‎ 首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%‎ 增值税 ‎（卖方缴纳）‎ 房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征 个人所得税 ‎（卖方缴纳）‎ 首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征 参考数据：，，，，，，，. 参考公式：相关指数.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知直线，，是上的动点，过点作的垂线，线段的中垂线交于点，的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过且与坐标轴不垂直的直线交曲线于两点，若以线段为直径的圆 与直线相切，求直线的方程.‎ - 9 -‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为 ‎（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），‎ 定点，求的面积 ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 设函数，（实数） ‎ ‎（Ⅰ）当，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ 文数答案 一． 选择题 1- ‎--6DAABDA 7---12BDDCDC 二．填空题 13.16； 14.； 15.16； 16；（3），（4）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎（1）由正弦定理以及得，………………2分 又因为，所以，所以可得……………………3分 ‎……………………5分 所以，且，得 …………………………6分 - 9 -‎ ‎（2）将和代入得，所以…8分 由余弦定理得，即…………………………10分 ‎，所以的周长为……………………12分 ‎18. （1）因为平面，，所以……1分 在菱形中，，且，‎ 所以…………………………………………3分 又因为，所以面面…………4分 ‎(2)取的中点，连接，易得是等边三角形，‎ 所以，又因为平面，所以，‎ 又，所以……………………6分 在面中，过作于，则，‎ 又，所以，‎ 即是点在平面内的正投影………………………………8分 经计算得，在中，，‎ ‎，‎ ‎………………12分 ‎19.（1）设模型和的相关指数分别为和，则，，………………3分 所以模型拟合的效果好.…………………………4分 ‎（2）由（1）知模型拟合的效果好，利用该模型预测可得，这个小区在2018年6月份的在售二手房均价为 万平方米……6分 设该购房者应支付的购房金额为万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以 ①当时，契税为计税价格的，‎ 故；……………………………………8分 ②当时，契税为计税价格的，‎ 故；…………………………………10分 - 9 -‎ ③当时，契税为计税价格的 故；‎ 所以……………………………………12分 ‎20.（1）依题意可得,即到定点的距离等于到定直线的距离，所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为……………………5分 ‎（2）依题意设直线的方程为，‎ 与联立，并整理得………………6分 ‎，…………………………………………7分 由抛物线的定义知，…………………………8分 线段的中点即………………………………9分 因为以线段为直径的圆与直线相切，所以 ‎……………………………………10分 解得，…………………………………………………………………………11分 所以直线的方程为……………………………………………………12分 ‎21.解：（1），………………………………1分 当时，即时，在上恒成立，所以的单调减区间是，无单调增区间。…………………………………………………………2分 当时，即时，由得。由，得，所以的单调减区间是，单调增区间是……………………4分 ‎（2）由题意，，恒成立，， ………………………………5分 ‎ …………………………………………6分 ‎ - 9 -‎ ‎……………………………8分 ‎…………………………10分 综上， ………………………………………………………………12分 ‎21.解：（1）曲线的极坐标方程为：---------2分 曲线的普通方程为：---------3分 ‎ ‎ 曲线的极坐标方程为．---------------4分 ‎（2） 由（1）得：点的极坐标为，---------5分 点的极坐标为 ----------6分 ‎ ------------------7分 点到射线的距离为 ‎ --------------------------8分 的面积为：‎ ‎ ---------10分 ‎22.（1）原不等式等价于，‎ 当时，可得，得；…………………………1分 当时，可得，得不成立；…………2分 当时，可得，得；……………………3分 - 9 -‎ 综上所述，原不等式的解集为…………………………4分 ‎（2）法一：，…………5分 当；………………………………………………6分 当…………………………………………7分 当……………………………………………………8分 所以，当且仅当时等号成立…………10分 法二：，‎ 当且仅当时等号成立。 ………………7分 又因为，所以当时，取得最小值…………8分 ‎，当且仅当时等号成立…………10分 - 9 -‎