山东省济宁市邹城一中2019-2020学年高一下学期期中考试检测数学试题

山东省济宁市邹城一中2019-2020学年高一下学期期中考试检测数学试题

邹城一中高一数学期中检测卷 一、单选题 ‎1.若复数满足：，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得，根据复数模的定义及运算即可求解.‎ ‎【详解】复数满足，‎ 则，‎ 由复数除法运算化简可得 ‎，‎ 由复数模的定义及运算可得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎2.已知，，为坐标原点，.点在轴上，则的值为( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设点，根据向量相等，列方程，即可求解.‎ ‎【详解】设点 ‎，，‎ 则 则有 解得 故选：‎ ‎【点睛】本题考查向量相等的坐标表示，属于基础题.‎ ‎3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是(　　)‎ A. B. 2‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.‎ ‎【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝，‎ ‎∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A ‎【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.已知的角A、B、C所对的边为a、b、c，，，，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合余弦定理，得到关于的方程，即可得答案．‎ ‎【详解】由余弦定理可得，，‎ 即，整理可得，‎ 解可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础试题．‎ ‎5.已知正方体棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，利用球体积，表面积公式计算得结果.‎ ‎【详解】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，‎ ‎，‎ ‎：：2‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题.‎ ‎6.设，其中，则以下结论正确的是（ ）‎ A. 对应的点在第一象限 B. 一定不为纯虚数 C. 对应的点在实轴的下方 D. 一定为实数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可正可负也可为0，即可判定.‎ ‎【详解】，不可能实数，所以D错误；‎ 对应的点在实轴的上方，又与对应的点关于实轴对称，对应的点在实轴的下方，所以C正确；‎ ‎，对应的点在第二象限，所以A错误；‎ ‎，可能为纯虚数，所以B错误；‎ C项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.‎ ‎7.若，且，那么是( )‎ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解析：由题设可得 由题设可得，‎ 即该三角形是等边三角形，应选答案B．‎ ‎8.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量基本定理和向量运算求解即可 ‎【详解】根据题意得：，又，，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.‎ ‎9.设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.‎ ‎【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.‎ B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.‎ C.若，，则可能，所以不正确.‎ D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又. 所以，所以有，所以正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.‎ ‎10.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2‎ 放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空余部分体积相等列出等式即可求解.‎ ‎【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.‎ ‎11.一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 (   )‎ A. 5海里/时 B. 海里/时 C. 10海里/时 D. 海里/时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，计算得到， ，在计算得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图依题意有,,‎ ‎∴,从而,‎ 在中,求得,‎ ‎∴这艘船的速度是 (海里/时)‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.‎ ‎12.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．‎ ‎【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．‎ ‎13.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的余弦值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，设侧棱与底面边长都等于，计算，，，，再根据点到底面的距离等于点到底面的距离，求解与底面所成角的正弦值，即可.‎ ‎【详解】如图所示，设三棱柱的侧棱与底面边长都等于.‎ 连接，则.‎ 在中，，得.‎ 在中，，即，‎ 则为等边三角形，所以.‎ 在菱形中，得.‎ 又因为点到底面的距离等于点到底面的距离 所以与底面所成角的正弦值为.‎ 即与底面所成角的余弦值为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.‎ ‎14.若为所在平面内任意一点，且满足，则一定为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的线性运算可知，所以，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得，进而可得，即可得出答案.‎ ‎【详解】由题意，，‎ 所以，‎ 取的中点，连结，并延长到，使得，连结，，则四边形为平行四边形，所以.‎ 所以，即，‎ 故，是等腰三角形.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知，，.‎ ‎（1）求与的夹角；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，求出，进而得到向量与的夹角；‎ ‎（2）要求，我们可以根据（1）中结论，先求出的值，然后开方求出答案．‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴向量与的夹角.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查数量积表示两个向量的夹角、向量的模，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．‎ ‎16.已知复数（为虚数单位）.‎ ‎（1）若，求复数的共轭复数；‎ ‎（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）因为，所以，求出，即可得到的共轭复数；‎ ‎（2）将代入方程，根据复数相等可求求实数的值.‎ 详解：（1）因为，所以，‎ 所以复数的共轭复数为.‎ ‎（2）因为是关于的方程的一个虚根，‎ 所以，即.‎ 又因为是实数，所以.‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎17.在锐角中，分别是角所对的边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理可得，结合是锐角可得结果；(2)由，可得，再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为 所以由正弦定理得,因为，‎ 所以,‎ 因为是锐角，‎ 所以.‎ ‎(2)由于，，‎ 又由于 ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.‎ ‎（1）求平面与平面所成二面角的大小；‎ ‎（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可证明，所以即为平面与平面所成二面角的平面角，结合线段关系即可求得的大小；‎ ‎（2）根据题意，可证明和，从而由线面垂直的判定定理证明平面，即可得，所以异面直线与所成角为.‎ ‎【详解】（1）由题意可知底面是边长为1的正方形，‎ 则，‎ 又因为垂直于底面，平面，‎ 则，‎ 由于，‎ 则平面，‎ 而平面，‎ 所以，‎ 则即为平面与平面所成二面角的平面角，‎ 由可知，‎ 在中，；‎ ‎（2）由，且，为棱的中点，‎ 所以由等腰三角形性质可知,‎ 又因为，且，‎ 所以平面，‎ 而平面，‎ 所以，而且，‎ 所以平面，‎ 而平面，‎ 所以，‎ 则异面直线与垂直，所以异面直线与的夹角为.‎ ‎【点睛】本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断线线垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题.‎ 二、多选题 ‎19.在下列向量组中，不能把向量表示出来的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标运算，如果选项中的两个向量是共线向量，则不能把向量表示出来.‎ ‎【详解】对A，零向量与任何向量都是共线向量，故 ，不能做为一组基底，故A不能；‎ 对B，，∴ ，不共线，故B能．‎ 对C，∵，∴ ，不能做为一组基底，故C不能．‎ 对D，，∴，不能做为一组基底，故D不能．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量共线的坐标运算、平面向量基本定理的应用，解题的关键是判断向量是否共线，属于基础题．‎ ‎20.下列说法正确的是（ ）‎ A. 在中，‎ B. 在中，若，则 C. 在中，若，则；若，则 D. 在中，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项，即可得答案．‎ ‎【详解】对于A，由正弦定理，可得：，故A正确；‎ 对于B，由，可得，或，即，或，‎ ‎，或，故B错误；‎ 对于C，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，故C正确；‎ 对于D，由正弦定理，‎ 可得右边左边，故D正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎21.在中，，，，则角B的值可以是（ ）‎ A. 105º B. 15º C. 45º D. 135º ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合正弦定理可求，再结合三角形的内角和定理，即可得答案．‎ ‎【详解】，，，‎ 由正弦定理可得，即，∴，‎ ‎，，则或，‎ 则角或．‎ 故选：AB．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理在求解三角形中的应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力．‎ ‎22.关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）‎ A. 若，则；‎ B. 已知，，若，则；‎ C. 非零向量和，满足，则与的夹角为30º；‎ D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过举反例知A不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B正确，由向量加减法的意义知，C正确，通过化简计算得D正确．‎ ‎【详解】对A，当 时，可得到不成立；‎ 对B，时，有，，故B正确．‎ 对C，当时，、、这三个向量平移后构成一个等边三角形，‎ ‎ 是这个等边三角形一条角平分线，故C正确．‎ 对D，，故D正确．‎ 故选：BCD．‎ ‎【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．‎ ‎23.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 四点共面 B. 平面平面 C. 直线与所成角的为 D. 平面 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据、是异面直线可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点 ‎ ‎，连接、，即可判断C；根据线面平行的判定定理即可判断D.‎ ‎【详解】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；‎ 对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；‎ 对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； ‎ 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；‎ 故选：BC ‎【点睛】本题主要考查了线面、面面之间的位置关系，属于基础题.‎ ‎24.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.‎ ‎【详解】根据题意，中，‎ 时，；‎ 时，‎ ‎；时，；‎ 时，，‎ ‎.‎ 选项A中，；‎ 选项B中，；‎ 选项C中，；‎ 选项D中，.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.‎ ‎25.（多选题）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（ ）‎ A. 的内角 B. 的内角 C. 四边形面积的最大值为 D. 四边形面积无最大值 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理化简条件得，再结合得，最后根据三角形面积公式表示四边形面积，利用余弦定理以及辅助角公式化为基本三角函数形式，根据三角函数性质求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎,因此A,B正确；‎ 四边形面积等于 因此C正确，D错误，‎ 故选：ABC ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式、三角形面积公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎26.若均为单位向量,且,则的值可能为( )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件可得，再由可得，从而排除，可得正确答案.‎ ‎【详解】因为均为单位向量,且，‎ 所以，‎ 所以，‎ 而 ‎ ‎，‎ 所以选项不正确，‎ 故选：AB ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了求平面向量的模的最大值，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎27.如图，四棱锥中，平面分别为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面 ‎【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设交点为，连接，则可根据是中位线求证，进而得证；‎ ‎（2）由线段关系可证，又由平面可得，进而可得，再结合四边形是菱形可得，即可求证；‎ ‎【详解】（1）‎ 设交点为，连接，又，‎ 又，所以四边形是菱形，则是中点，‎ 又为中点，是中位线，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）由（1）可知四边形是菱形，，又平面可得，‎ 为中点可得，又，四边形为平行四边形，，‎ ‎，，平面，又平面，‎ 平面平面 ‎【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题 ‎ ‎