2014安徽（理科数学）高考试题
2014·安徽卷(理科数学)
1．[2014·安徽卷] 设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
1．C [解析] 因为z＝1＋i，所以＋i·＝(－i＋1)＋i＋1＝2.
2．[2014·安徽卷] “x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．B [解析] ln(x＋1)<0⇔0<1＋x<1⇔－1
zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，
解得a＝－1或a＝2.
方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z＝y－ax可变为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，则由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.
6．[2014·安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
6．A [解析] 由已知可得，f＝f＋sin＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin＋sin＝2sin ＋sin＝sin＝.
7．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋ B．8＋
C．21 D．18
图12
7．A [解析] 如图，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其表面积S＝6×4－×6＋2×××＝21＋.
8．[2014·安徽卷] 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A．24对 B．30对
C．48对 D．60对
8．C [解析] 方法一(直接法)：在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的对角线也有8对，同理下底面也有16对，共有32对．左右侧面与前后侧面中共有16对面对角线所成的角为60°，故所有符合条件的共有48对．
方法二(间接法)：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或所成的角为60°，所以所成角为60°的面对角线共有C－6－12＝48.
9．、[2014·安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
9．D [解析] 当a≥2时，
f(x)＝
由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－1＝3，可得a＝8.
当a<2时，f(x)
由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.
10．、[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则( )
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
10．A [解析]由已知可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，则＝(，)，|OQ|＝2.
曲线C＝{P|＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，
即C：x2＋y2＝1.
区域Ω＝{P|00时，φmin＝.
方法二：由f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知，－2φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.
12．、[2014·安徽卷] 数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
12．1 [解析] 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.
13．[2014·安徽卷] 设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图13所示，则a＝________.
图13
13．3 [解析] 由图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由组合原理知故
eq lc{(avs4alco1(f(n,a)＝3，,f(n（n－1）,a2)＝8，))
解得
14．[2014·安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
14．x2＋y2＝1 [解析]
设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，
则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，
可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.
15．[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量，，，，和，，，，均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①S有5个不同的值
②若a⊥b，则Smin与|a|无关
③若a∥b，则Smin与|b|无关
④若|b|＞4|a|，则Smin＞0
⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为
15．②④ [解析] S可能的取值有3种情况：S1＝2＋3，＝＋2＋2a·b，S3＝＋4a·b，所以S最多只有3个不同的值．
因为a，b是不相等的向量，所以S1－S3＝2＋2－4a·b＝2(a－b)>0，S1－S2＝＋－2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)>0，所以S3||－4|a||b|>16|a|2－|a|2＝0，所以Smin>0，故④正确；
对于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cos θ＝8|a|2，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故⑤错误．
16．、[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝
－.因为0x2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在和 内单调递减，
在内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1.
由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当01＋2x，原不等式成立．
②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c.
①当n＝1时，由题设知a1>c成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．
由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.
当n＝k＋1时，＝＋a＝
1＋.
由ak>c>0得－1<－<<0.
由(1)中的结论得＝>1＋p· ＝.
因此a>c，即ak＋1>c，
所以当n＝k＋1时，不等式an>c也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．
再由＝1＋可得<1，
即an＋1an＋1>c，n∈N*.
方法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c，
所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0.
由此可得，f(x)在[c，＋∞)上单调递增，因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c.
①当n＝1时，由a1>c>0，即a>c可知
a2＝a1＋a＝a1c，从而可得a1>a2>c，
故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋1)>f(c)，
即有ak＋1>ak＋2>c，
所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立．
