2017-2018学年重庆市彭水一中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年重庆市彭水一中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年重庆市彭水一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）‎ A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5‎ ‎3．（5分）已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎5．（5分）如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．垂直相交 C．异面垂直 D．相交但不垂直 ‎6．（5分）方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C．﹣1＜k＜1 D．k＜﹣1或k＞4‎ ‎7．（5分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　）‎ A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0‎ ‎9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎10．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为　 　．‎ ‎14．（5分）点（2，3）关于直线y=x对称的点的坐标是　 　．‎ ‎15．（5分）圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是　 　．‎ ‎16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）三角形的三个顶点为A（4，0），B（6，5），C（0，3）．‎ ‎（1）求BC边上高所在直线的方程；‎ ‎（2）求BC边上中线所在直线的方程．‎ ‎18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，E、F分别为PB、PD的中点，‎ ‎（1）求证：EF∥面ABCD；‎ ‎（2）求证：BD⊥面PAC．‎ ‎19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D是PB的中点．‎ ‎（1）求证：AB⊥PB；‎ ‎（2）若AB=BC=PC，求直线AD与底面ABC所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△‎ AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．‎ ‎（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；‎ ‎（2）求二面角E﹣PD﹣F的大小．‎ ‎21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，直线l：x=my+1．‎ ‎（1）求证：直线l与圆O恒有两个交点；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，圆O与x轴负半轴的交点为P，求三角形PAB的面积的最大值．‎ ‎22．（10分）已知点M到点C（1，1）的距离恒为1．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线y=2x与点M的轨迹相交于A、B两点，求△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年重庆市彭水一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．‎ 直线x+y﹣1=0化为．‎ ‎∴tanα=﹣．‎ ‎∵α∈[0°，180°），‎ ‎∴α=150°．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）‎ A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5‎ ‎【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．‎ ‎【解答】解：线段AB的中点为，kAB==﹣，‎ ‎∴垂直平分线的斜率 k==2，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，‎ 三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，‎ 三棱锥的底面的面积是=，‎ 由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是1‎ ‎∴三棱锥的体积是=‎ 故选C ‎【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，‎ 故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=，‎ 故选 D．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．垂直相交 C．异面垂直 D．相交但不垂直 ‎【分析】由题意，可由异面直线的定义得出两直线一定是异面直线，再考查四个选项即可找出正确选项．‎ ‎【解答】解：由题设条件及图形，MA是面ABCD的斜线，故MA与BD的一定是异面直线，‎ ‎∵MC⊥平面ABCD ‎∴BD⊥MC ‎∵ABCD是菱形 ‎∴BD⊥AC ‎∵MC∩AC=G ‎∴BD⊥平面MAC ‎∵MA在平面MAC内 ‎∴MA⊥BD ‎ 考察四个选项，A，B，D都不符合题意 故选C．‎ ‎【点评】本题考点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了异面直线的定义，解题的关键是理解题意及异面直线的定义，考查了空间想像能力及依据定义推理判断的能力，属于基础概念考查题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C．﹣1＜k＜1 D．k＜﹣1或k＞4‎ ‎【分析】把已知方程配方，由方程表示一个圆得到k2﹣3k﹣4大于0，列出关于k的不等式，求出解集即可得到k的取值范围．‎ ‎【解答】解：把方程配方得：（x+k）2+（y+2）2=k2﹣3k﹣4，因为方程表示一个圆，‎ 则k2﹣3k﹣4＞0，即（k﹣4）（k+1）＞0可化为或，‎ 解得k＞4或k＜﹣1‎ 故选D．‎ ‎【点评】考查学生会把圆的一般方程化为圆的标准方程，掌握方程为圆时的条件，会求一元二次不等式的解集，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解 ‎【解答】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，‎ 正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：a=2R，‎ 可得a=，‎ ‎∴正方体的体积为a3=（）3=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查圆的性质和正方体的体积公式，考查学生的计算能力，是一道基础题，难度不大．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　）‎ A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0‎ ‎【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，‎ 圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），‎ 所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．‎ ‎【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，‎ 又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；‎ 对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面α是正方体下底面所在的平面，‎ 则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；‎ 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②‎ 故选：A ‎【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由=，利用等积法能求出点A到平面A1BC的距离．‎ ‎【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，‎ ‎∵=，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得h=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意等积法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．‎ ‎【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，‎ 以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 令四棱锥的棱长为2，‎ 则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），‎ E（），‎ ‎∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），‎ ‎∴设AE，SD所成的角为θ，‎ cosθ=|cos＜＞|==，‎ sinθ==．‎ ‎∴AE，SD所成的角的正弦值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2 D．‎ ‎【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．‎ ‎【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，‎ 圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，‎ 由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，‎ ‎|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，‎ 即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为　x﹣2y+m=0　．‎ ‎【分析】设要求的直线方程为：x﹣2y+m=0，把点（﹣1，3）代入上述方程，解得m即可得出．‎ ‎【解答】解：设要求的直线方程为：x﹣2y+m=0，‎ 把点（﹣1，3）代入上述方程可得：﹣1﹣2×3+m=0，解得m=7．‎ ‎∴要求的直线方程为：x﹣2y+7=0，‎ 故答案为：x﹣2y+7=0．‎ ‎【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）点（2，3）关于直线y=x对称的点的坐标是　（3，2）　．‎ ‎【分析】设出M（2，3）关于直线y=x的对称点的坐标M0（x0，y0），由两点的中点在直线y=x上，且两点连线与直线y=x垂直联立方程组得答案 ‎【解答】解：设M（2，3）关于直线y=x的对称点为M0（x0，y0），‎ 则MM0的中点为（，），‎ 则（，）在直线y=x上，‎ ‎∴=，①‎ 再由直线MM0与直线y=x垂直，得=﹣1 ②‎ 联立①②解得：x0=3，y0=2．‎ ‎∴点M（2，3）关于直线y=x的对称点的坐标是（3，2）．‎ 故答案为：（3，2）‎ ‎【点评】本题考查了点关于点的对称点的求法，体现了数学转化思想方法，属中档题 ‎　‎ ‎15．（5分）圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是　（x﹣1）2+（y﹣1）2=2　．‎ ‎【分析】先求圆的半径，再求圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：圆心到直线的距离就是圆的半径：r==．‎ 所以圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为　　．‎ ‎【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点P到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，‎ 所以点O到平面ABC的距离d=，‎ PC为球O的直径，点P到平面ABC的距离为2d=，‎ 此棱锥的体积为=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点P到平面ABC的距离是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）三角形的三个顶点为A（4，0），B（6，5），C（0，3）．‎ ‎（1）求BC边上高所在直线的方程；‎ ‎（2）求BC边上中线所在直线的方程．‎ ‎【分析】（1）运用直线的斜率公式可得直线BC的斜率，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得BC边上高的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求直线的方程；‎ ‎（2）运用中点坐标公式可得BC的中点M，求出AM的斜率，由点斜式方程即可得到所求中线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，5），C（0，3），‎ 可得BC边所在直线的斜率kBC==，‎ 因为BC所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为﹣1，‎ 所以BC高线的斜率为﹣3，‎ 又因为BC高线所在的直线过A（4，0），‎ 所以BC高线所在的直线方程为y﹣0=﹣3（x﹣4），‎ 即3x+y﹣12=0；‎ ‎（2）设BC中点为M，‎ 则中点M（3，4），‎ kAM==﹣4，‎ 所以BC边上的中线AM所在的直线方程为y﹣0=﹣4（x﹣4），‎ 即为4x+y﹣16=0．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，E、F分别为PB、PD的中点，‎ ‎（1）求证：EF∥面ABCD；‎ ‎（2）求证：BD⊥面PAC．‎ ‎【分析】（1）连接AC，BD，由已知可得EF∥BD，由线面平行的判定定理，可得EF∥面ABCD；‎ ‎（2）由线面垂直的定义，可得PA⊥BD，由正方形的性质，可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定定理，可得：BD⊥面PAC．‎ ‎【解答】证明：（1）连接AC，BD，‎ 在△PBD中，E，F分别为PB、PD的中点，‎ ‎∴EF∥BD，‎ ‎∵EF⊄面ABCD，BD⊂面ABCD；‎ ‎∴EF∥面ABCD；‎ ‎（2）∵PA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD ‎∴PA⊥BD，‎ ‎∵底面ABCD为正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又∵PA∩AC=C，PA，AC⊂面PAC，‎ ‎∴BD⊥面PAC．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是线面平行的判定，线面垂直的判定，难度中档．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D是PB的中点．‎ ‎（1）求证：AB⊥PB；‎ ‎（2）若AB=BC=PC，求直线AD与底面ABC所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）证明AB⊥平面PBC得出AB⊥PB；‎ ‎（2）取BC的中点E，连接DE，AE，则可证DE⊥平面ABC，故而∠DAE为所求角．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ ‎∴PC⊥AB，又AB⊥BC，BC∩PC=C，‎ ‎∴AB⊥平面PBC，‎ 又PB⊂平面PBC，‎ ‎∴AB⊥PB．‎ ‎（2）解：取BC的中点E，连接DE，AE，‎ ‎∵D，E分别是PB，BC的中点，‎ ‎∴DE∥PC，又PC⊥平面ABC，‎ ‎∴DE⊥平面ABC，‎ ‎∴∠DAE为直线AD与底面ABC所成角．‎ 设AB=BC=PC=2，则DE=PC=1，AE=，‎ ‎∴AD==，‎ ‎∴sin∠DAE==．‎ ‎∴直线AD与底面ABC所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．‎ ‎（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；‎ ‎（2）求二面角E﹣PD﹣F的大小．‎ ‎【分析】（1）连接EF，通过证明PD⊥平面PEF得出PD⊥EF，结合EF⊥BD得出EF⊥平面PBD，故而平面PBD⊥平面BFDE；‎ ‎（2）利用余弦定理计算∠EPF即可得出二面角E﹣PD﹣F的大小．‎ ‎【解答】（1）证明：连接EF，‎ ‎∵PF⊥PD，PE⊥PD，PE∩PF=P，‎ ‎∴PD⊥平面PEF，‎ 又EF⊂平面PEF，‎ ‎∴PD⊥EF．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴EF⊥BD．‎ 又PD∩BD=D，‎ ‎∴EF⊥平面PBD，‎ 又EF⊂平面BFDE，‎ ‎∴平面PBD⊥平面BFDE．‎ ‎（2）解：∵PD⊥PE，PD⊥PF，‎ ‎∴∠EPF为二面角E﹣PD﹣F的平面角，‎ 设正方形ABCD的边长为1，则PE=PF=，EF=．‎ ‎∴PE2+PF2=EF2，‎ ‎∴∠EPF=90°．‎ 即二面角E﹣PD﹣F的大小为90°．‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，直线l：x=my+1．‎ ‎（1）求证：直线l与圆O恒有两个交点；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，圆O与x轴负半轴的交点为P，求三角形PAB的面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据直线过定点（1，0）即可得出结论；‎ ‎（2）设圆心到直线l的距离为d，用d表示出三角形PAB的面积，根据d的范围得出面积的最大值．‎ ‎【解答】（1）证明：直线l恒过点（1，0），‎ 而点（1，0）在圆O：x2+y2=4内部，‎ ‎∴直线l：x=my+1与圆O恒有两个交点．‎ ‎（2）解：圆心O到直线l的距离d=，‎ ‎∴|AB|=2=2，‎ 而P（﹣2，0）到直线l的距离h==3d，‎ ‎∴S△PAB==3d=3．‎ ‎∵0＜d≤1，0＜d2≤1．‎ 当d2=1时，S△PAB取得最大值3．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）已知点M到点C（1，1）的距离恒为1．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线y=2x与点M的轨迹相交于A、B两点，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）设M（x，y），点M到点C（1，1）的距离恒为1，可得点M的轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，‎ ‎（2）由（1）的点M的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为1的圆，圆心到直线y=2x的距离d=，AB=2即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x，y），∵点M到点C（1，1）的距离恒为1，‎ ‎∴‎ ‎∴点M的轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；‎ ‎（2）由（1）的点M的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为1的圆，‎ 圆心到直线y=2x的距离d=，‎ AB=2‎ ‎∴△ABC的面积S=．‎ ‎【点评】本题考查了点的轨迹方程，圆的性质，三角形面积计算，属于中档题．‎ ‎　‎