2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学等“4+N”高中联合体高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 ‎2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学等“4+N”高中联合体高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，那么　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合， ，‎ ‎∴． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎2．若，则下列结论不正确的是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．‎ ‎【详解】‎ 由题，不妨令，可得a2＜b2，故A正确； ‎ ‎，故B正确；，故C正确．‎ ‎ 故D不正确． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题 ‎3．已知等差数列中，若，则它的前项和为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用等差数列的性质求和.‎ 详解：由题得故答案为：D 点睛：(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力.(2) 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.‎ ‎4．已知点，，，则　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个向量的数量积的定义，求得cos∠BAC 的值，可得∠BAC 的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点，，，， ‎ 则 2‎ 则 2‎ ‎ ， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．‎ ‎5．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.‎ 详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，‎ 所以，甲、丙相邻的概率为.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.‎ ‎6．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 A． －7 B． －4 C． 1 D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设变量满足约束条件在坐标系中画出可行域，如图所示，平移直线经过点时，最小，最小值为，则目标函数的最小值为，故选A．‎ 考点：简单的线性规划问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中涉及到二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值等质知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，其中此类问题的解得中正确作出约束条件所表示的平面区域和利用直线的平移找到最优解是解答的关键，属于基础题．‎ ‎7．在等比数列中，已知其前n项和，则a的值为　　‎ A． B． 1 C． D． 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，可得n≥2时，an=Sn-Sn-1．n=1时，a1=S1，根据数列{an}是等比数列即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1+a-（2n+a），可得：an=2n． n=1时，a1=S1=4+a， ∵数列{an}是等比数列， ∴4+a=2，解得a=-2． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A． 43 B． 55 C． 61 D． 81‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ 结束循环输出 ,选C.‎ ‎9．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径 为（ )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先利用余弦定理求得三角形第三边长，进而根据同角三角函数的基本关系求得第三边所对角的正弦，最后利用正弦定理求得外接圆的半径．‎ 解答：解：由余弦定理得：三角形第三边长为 =3， 且第三边所对角的正弦值为=， 所以由正弦定理可知2R=，求得R= 故选C 点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形问题常用公式如正弦定理和余弦定理公式，勾股定理，三角形面积公式等，应作为平时训练的重点．‎ ‎10．等比数列中，，，则与的等比中项是　　‎ A． B． 4 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列{an}的性质可得 ，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设与8的等比中项是x． 由等比数列的性质可得， ． ∴a4与a8的等比中项 ‎ ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比中项的求法，属于基础题．‎ ‎11．函数为自然对数的底数的图象可能是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为自然对数的底数是偶函数，由此排除B和D， ，由此排除A．由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（e为自然对数的底数）是偶函数， ‎ ‎∴函数（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称， 由此排除B和D， ∴， 由此排除A． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎12．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把不等式化为a≤x2-4x-2，求出f（x）=x2-4x-2在区间[1，4]内的最大值，即可得出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 不等式x2-4x-2-a≥0可化为a≤x2-4x-2， 设f（x）=x2-4x-2，则f（x）在区间[1，4]内的最大值为f（4）=-2； ∴关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在区间[1，4]内有解， a的取值范围是a≤-2． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量，，若，则实数__________．‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴-k-8=0，解得k=-8． 即答案为-8.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．直线与圆交于两点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.‎ 详解：根据题意，圆的方程可化为，‎ 所以圆的圆心为，且半径是2，‎ 根据点到直线的距离公式可以求得，‎ 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.‎ ‎15．平面截球所得的截面圆的半径为1，球心到平面的距离为，则球的体积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知截面圆半径，球心到平面的距离为，即，画出截面图，可知球的半径，则球的体积为.‎ 考点：求空间中线段的长，球的体积.‎ ‎16．16．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．‎ 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，.‎ ‎(1)求角的大小.‎ ‎(2)若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于锐角△ABC中，a=2bsinA，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可；（2）由（1）得B=30°，又，c=5，利用余弦定理 可求得b，‎ 试题解析：（1）由a＝2bsinA，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝．‎ 由△ABC为锐角三角形，得B＝．‎ ‎（2）根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2acosB＝27＋25－45＝7，所以b＝．---6分 考点：正余弦定理解三角形 ‎18．在等差数列中，为其前项和，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到答案 ‎⑵由的通项公式得到的通项公式，然后根据裂项相消法求前项和 ‎【详解】‎ ‎（1）由已知条件得解得所以通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴‎ 数列的前项和 ‎ =‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式。‎ ‎19．柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据.‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图，并说明其相关关系；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.‎ ‎(相关公式：)‎ ‎【答案】(1) 散点图见解析.为正相关 ‎(2) .‎ ‎(3)7.‎ ‎【解析】分析：（1）根据表中数据，画出散点图即可； （2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可； （3）由线性回归方程预测x=9时，y的平均值为7‎ 详解：‎ ‎　(1)散点图如图所示.为正相关.‎ xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.＝＝6,＝＝4,‎ x＝42＋52＋72＋82＝154,‎ 则＝＝＝1,＝－＝4－6＝－2,‎ 故线性回归方程为＝x＋＝x－2.‎ ‎(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7. ‎ 点睛：‎ 本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．‎ ‎20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=.(2)先根据△ABC的面积S＝c2得到b＝c，‎ 再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为asin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，‎ 即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2)因为A＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，‎ 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sin C＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎21．正方形与梯形所在平面互相垂直，，，，，点是中点 .‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明线面平行，构造平行四边形ABMN先得到线线平行，再得到线面平行。（2）原棱锥的体积不好求转而去求等体积的VB﹣DEM，‎ 解析:‎ ‎（Ⅰ）证明：取ED的中点N，连接MN．‎ 又∵点M是EC中点．‎ ‎∴MN∥DC，MN=．‎ 而AB∥DC，AB=DC．‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形．‎ ‎∴BM∥AN．‎ 而BM⊄平面ADEF，AN⊂平面ADEF，‎ ‎∴BM∥平面ADEF．‎ ‎（Ⅱ）解：∵M为EC的中点，‎ ‎∴ ‎ ‎∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D ‎∴AD⊥平面CDE．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，‎ ‎∴VM﹣BDE=VB﹣DEM ，‎ 点睛：这个题目考查了线面平行的证明和判定性质，棱锥体积的求法；对于线面平行的证法，一般是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行，从而得到线面平行。求棱锥体积时当原椎体的底面积或者高不好求时，可以考虑等体积转化，求点面距时，也经常考虑等体积转化。‎ ‎22．已知数列为递增的等比数列， ， .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式列关于公比与首项的方程组，解得或，再根据递增舍去，最后代入通项公式（2）因为数列是一个等比数列与等差数列之和，所以利用分组求和法求数列的前项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）由及 ‎ 得或（舍）‎ 所以， ‎ 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）‎