数学理卷·2018届河北省邢台市育才中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

数学理卷·2018届河北省邢台市育才中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

邢台市2017-2018学年高三（上）第三次月考 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若复数的虚部为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解得 本题选择D选项.‎ ‎2. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题选择C选项.‎ ‎3. 已知，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量垂直的充要条件有：，‎ 则：，‎ 结合向量的夹角公式有：，‎ 据此可得：向量与的夹角为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依据程序框图运行程序如下：‎ 第一次，；‎ 第二次，；‎ 第三次，；‎ 第四次，‎ 此时程序结束运算，输出值为4.‎ 本题选择A选项.；‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎5. 设偶函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，因为为偶函数，‎ 所以当时，.‎ 则不等式的解集是 ‎ 本题选择B选项.‎ ‎6. 设满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部,其中 A(3,0),B(1,2)，C(−1,0)‎ z=|x−3y|,|x−3y|的几何意义是可行域内的点到x−3y=0距离的倍，由图形可知B到x−3y=0的距离最大，∴当x=1,y=2时，z取最大值为5.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7. 如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为分别是四边形和正方形的中心，则直线与的夹角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为轴建立空间直角坐标系，则：‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.‎ ‎8. 在中，，则边上的高等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设角所对的边分别为，边上的高为，‎ 又，由 本题选择D选项.‎ ‎9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体的直观图如图所示，据此可得该几何体的体积为：‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎10. 若函数的图象关于直线对称，且当 时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 又 且关于点对称，‎ 从而 本题选择A选项.‎ ‎11. 设双曲线的左、右焦点分别为，过作 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】易知，由得则 由于恒成立，所以，‎ 又 又 本题选择A选项.‎ ‎12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令 ，易得与互为反函数 与关于直线 对称原命题等价于 在上恒成立.记 ‎ ‎ ，记 ，同理可得，综上的最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题的关键步骤有：‎ 观察发现与互为反函数；‎ 将原命题等价转化为 在上恒成立；‎ 利用导数工具求的最小值，从而求得；‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量的夹角为，且，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎14. 已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 又，故且，‎ 所以 ‎15. 设等差数列的公差为，且，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意得，‎ 则：，‎ ‎16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点A在线段OM的中垂线上，‎ 又，所以可设，‎ ‎ ‎ 解得：‎ 点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；‎ ‎(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，即，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列，即，‎ 又，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，①‎ ‎，②‎ 由①-②得，‎ 所以.‎ ‎18. 在锐角中，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意逆用二倍角公式和两角和差正余弦公式可得，则.‎ ‎(2)由题意结合余弦定理可得，则.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 则，即，‎ 由为锐角三角形得.‎ ‎（2）在中，，即，‎ 化简得，解得（负根舍去），‎ 所以.‎ ‎19. 已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）将的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到的图象.若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合所给三角函数的图象可得三角函数的解析式为；‎ 试题解析：‎ ‎（1）由图可知，.‎ 将点代入得，‎ 又.‎ ‎（2）.，‎ 又.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面平面 在棱上运动.‎ ‎（1）当在何处时，平面；‎ ‎（2）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)当为中点时，由几何关系可得，利用线面平行的判断定理即可证得平面.‎ ‎(2)‎ 由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可求得直线与平面所成角的正弦值为 试题解析：‎ ‎（1）当为中点时，平面设，在中，为中位线，即，又平面平面，平面.‎ ‎（2）四边形是菱形，，‎ 均为等边三角形.‎ 取的中点平面平面平面.以为坐标原点，射线分别为轴的正方向建立如图所示的空间坐标系，则 ‎ ‎ ..‎ 设平面的法向量为，则由，‎ 得，取，得.‎ 记直线与平面所成角为，则 ‎.‎ ‎21. 已知分别是焦距为的椭圆的左、右顶点，为椭圆上非顶点的点，直线的斜率分别为，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线（与轴不重合）过点且与椭圆交于两点，直线与交于点，试求点的轨迹是否是垂直轴的直线，若是，则求出点的轨迹方程，若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可求得，则椭圆的方程为.‎ ‎(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点的轨迹方程为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设为椭圆上非顶点的点，，又 ‎ ，即，‎ ‎，故椭圆的方程为.‎ ‎（2）当过点直线斜率不存在时，不妨设，直线的方程是，直线的方程是，交点为.若，由对称性可知交点为.‎ 点在直线上，‎ 当直线斜率存在时，设的方程为，‎ 由得，‎ 记，则.‎ 的方程是的方程是，‎ 由得，‎ 即 ‎.‎ 综上所述，点的轨迹方程为.‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎22. 已知函数的图象在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若存在，满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由求得 切线方程为；（2）将问题转化为在上有解，令，,再由求得， 在 上递减 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得.‎ 所以，，则，故所求切线方程为 即.‎ ‎（2），即，‎ 所以问题转化为在上有解.‎ 令，，‎ 则 因为，‎ 所以，，‎ 从而，，‎ 所以，即函数在上递减，‎ 因此，.‎ 要使在上有解，必须有，即 所以的取值范围为 ‎【点睛】在解答题中主要考查不等式的证明与不等式的恒成立问题，常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎ ‎