【推荐】专题5-3+平面向量的数量积及平面向量的应用-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

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‎【真题回放】‎ ‎1.【2017北京高考理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么 T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.‎ ‎【考点解读】本题考查了向量的数量积的定义，向量共线定理及充分必要条件的判断。为基础题。‎ ‎2.【2017课标1理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】 ‎【考点解读】本题考查了平面向量的模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. ‎ ‎3.【2017浙江高考理15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．‎ ‎【答案】4， ‎【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，‎ ，则：‎ ，‎ 令，则，‎ 据此可得：，‎ 即的最小值是4，最大值是.‎ ‎【考点解读】本题考查了平面向量的模长的运算及三角函数的性质。为中档题，对学生的转化能力和知识综合运用能力有一定的要求．‎ ‎4.【2017山东高考理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点解读】本题考查了平面向量的数量积，平行向量的夹角、单位向量及向量垂直的性质。解题思路为利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.‎ ‎5.【2017课标II理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A，B（﹣1，0），‎ C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），‎ ‎=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]‎ ‎∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B ‎【点评】本题主要考查平面向量数量的坐标运算及函数的最值。平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决。‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 平面向量的数量积 C 数量积的坐标表示 C 用数量积表示两个向量的夹角 B 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 C 用向量方法解决简单的问题 B 向量作为高中阶段新学习的概念，它兼具数与形的双重特征习中应注意既联系代数，又联系几何，感悟数形结合思想。在高考中平面向量数量积及其应用的考查为高频考点，重点考查向量数量积的定义，运算、求模求夹角求投影、向量的垂直关系、向量与平面几何相结合的综合问题等， 题目以中档题为主。复习中应立足对基本概念的理解。‎ 融会贯通 题型一　平面向量数量积的运算 典例1.（1） (2017银川一中高一期末)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　法一；　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，‎ 从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.‎ 法二；　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，‎ 从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.‎ ‎（2）（2017江西省玉山县一中期中）设D为边长是2的正三角形ABC所在平面内一点，BC‎=3‎CD，则AD‎⋅‎AC的值是（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎（3）(2016长沙模拟)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝2，则·的值是________．‎ ‎【答案】　2‎ ‎【解析】　如图所示，‎ ‎∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝2·||＝2，‎ ‎∴||＝1，∴||＝1，∴·＝(＋)(＋)＝·＋·＋·＋· ‎＝·＋·＝2×1×(－1)＋×2×1＝2.‎ ‎（4）（2017北京高考）已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最 大值为_________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由题，所以最大值为6.‎ 解题技巧与方法总结 ‎1．向量数量积的两种计算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎2．转化法求数量积 若向量的模与夹角不能确定，则应把向量用已知模或夹角的向量表示，然后再求数量积．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017九江市中学高一期末）已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　)‎ A．－12 B．6 C．－6 D．12‎ ‎【答案】　D ‎（2）（2017浙江高考）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC， AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【解析】因为所以 ‎（3）（2017宁夏石嘴山中学月考）在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.‎ ‎【答案】　－8‎ ‎【解析】　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acos θ，‎ ‎∴acos θ＝2，∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.‎ ‎（4）(2017福建漳州模拟)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内一点，且＝+‎ ，则·的最大值等于________.‎ ‎【答案】13　‎ 知识链接：‎ 知识点　平面向量的数量积 ‎1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 ‎[0°，180°]‎ ‎∠AOB＝0°或180°⇔a∥b；∠AOB＝90°⇔a⊥b ‎2.平面向量的数量积 定义 ‎ 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a|·|b|·cos θ叫做a与b 的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|·cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|·cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．‎ ‎(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．‎ 题型二　平面向量数量积的性质 ‎●命题角度1　平面向量的模 典例2. （1）（2017河北省衡水中学高考猜题卷）已知平面向量a和b的夹角为，‎ 则‎|a+2b|=‎（ ）‎ A. ‎20‎ B. ‎12‎ C. ‎4‎‎3‎ D. ‎‎2‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,又 ，，‎ ， ，选D.‎ ‎（2）(2016银川模拟)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，‎ 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.‎ ‎（3）(2017宝鸡模拟)已知平面向量a·b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，‎ ＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.‎ ‎【答案】　2‎ ‎●命题角度2　平面向量的夹角 典例3.（4）（2017石家庄一中期末）若非零向量，满足， ，则与的夹角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由，即，所以由向量的夹角公式可得；‎ ‎，又，所以，故选B.‎ ‎（5）(2017四川泸州联考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π ‎【答案】　A ‎【解析】 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.‎ 又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，‎ ‎∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎（6）(2016扬州模拟)设向量a、b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ＝________.‎ ‎【答案】　 ‎●命题角度3　平面向量的垂直 典例4.（7）（2017安徽无为县高中模拟）已知，且，若，‎ 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当 时有 ，所以 ，得出 ，由于 ，‎ 所以 .故选B.‎ ‎（8）（2017宝鸡模拟）已知，且，则向量与向量的夹角是____________‎ ‎【答案】‎ ‎（9）(2017福建莆田一模)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于____________‎ ‎【答案】　－ ‎【解析】　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ 解题技巧与方法总结 平面向量数量积求解问题的策略 ‎1．求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(2)|a±b|＝＝.‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017江西玉山县一中期末）已知a与b均为单位间向量，它们夹角为‎120‎‎∘‎，则‎|a+2b|=‎（ ‎ ‎ ）‎ A. ‎7‎ B. ‎10‎ C. ‎4‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎(a+2b)‎‎2‎‎=‎|a|‎‎2‎+4‎|b|‎‎2‎+4a⋅b=5+4×(-‎1‎‎2‎)=3，|a+2b|=‎‎3‎，选D ‎（2）(2017四川南充模拟)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C ‎【解析】　∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0， ∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0. ‎ ‎ ∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝π.‎ ‎（3）（2017河北唐山三模）已知向量， ，则在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】在方向上的投影为.‎ ‎（4）（2017银川一中模拟）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.‎ ‎【答案】　2‎ ‎【解析】　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝‎ t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. 又∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.‎ ‎（5）(2017太原模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.‎ ‎【答案】　－2‎ ‎（6）（2017兰州模拟）已知三个向量， ， 共面，且均为单位向量， ，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为，所以，所以，所以＝＝，则当与同向时最大， 最小，此时， ，所以 ‎＝；当与反向时最小， 最大，此时 ＝， ，所以，所以的取值范围为。‎ ‎（7）(2017青岛模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ， t).‎ ‎(1)若⊥a，且||＝||，求向量；‎ ‎(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.‎ ‎【答案】　（1）＝(24,8)或 (－8，－8)．（2）32.‎ 知识链接：‎ 平面向量数量积的性质及其坐标表示；设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．‎ 结论 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2‎ 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤· ‎1．必会结论；(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|.‎ ‎(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. (3)a·a＝a2＝|a|2.‎ ‎2．必清误区；‎ ‎(1)数量积运算律要准确理解、应用，例如，由a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．‎ ‎(2)向量a，b的夹角为锐角，则有a·b>0，若a·b>0，则向量a，b的夹角为锐角或0°.‎ ‎(3)向量a，b的夹角为钝角，则有a·b<0，若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角或180°.‎ 题型三　平面向量的应用 ‎●命题角度1 向量在平面几何中的应用 典例6.（1）(2016桂林模拟)如图，在等腰三角形ABC中，底边BC＝2，＝，＝，若· ‎＝－，则·＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】　A ‎（2）（2017福建省泉州市质检）已知直线分别于半径为的圆相切于点 ，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】 因为，由切线长定理知，又 ，因此，解得．‎ ‎（3）（2017河北省武邑中学一模）在中， ，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时， 的值为( )‎ A. B. 3 C. D. ‎【答案】C 则， ， ，所以， 方程为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，此时， ．‎ 解题技巧与方法总结 向量与平面几何综合问题的解法 ‎1．坐标法；把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎2．基向量法；适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．‎ ‎●命题角度2 平面向量在三角函数中的应用 典例7. （1）(2016武汉模拟)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C ‎【解析】　依题意得sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B),‎ ‎ sin C＋cos C＝1,2sin＝1，sin＝.又＜C＋＜，因此C＋＝，C＝.‎ ‎(2)(2017合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　B. C. D. ‎【答案】　C ‎（3）（2017陕西省西安市铁一中模拟）已知向量， ，‎ 且函数.‎ ‎（Ⅰ）当函数在上的最大值为3时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的，函数， 的图像与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值.并求函数在上的单调递减区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ 解题技巧与方法总结 利用向量求解三角函数问题的一般思路 ‎1．求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式，利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．‎ ‎2．求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．‎ ‎3．解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．‎ ‎●命题角度3 平面向量在解析几何中的应用 典例8.（4）(2016武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________．‎ ‎【答案】　x＋2y－4＝0‎ ‎【解析】　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.‎ ‎（5）（2017上海市宝山区质检）设向量), ， 为曲线（）上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意可得，为等轴双曲线的右支，直线与渐近线x-y=0的 距离为。 ‎ ‎（6）(2016杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足||＝2||.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)＝·，求f(a)的取值范围．‎ ‎【答案】(1) x2＋y2＝4 （2）[－4,0)‎ 解题技巧与方法总结 向量在解析几何中的“两个”作用 ‎1．载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．‎ ‎2．工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2017北京市朝阳区二模）若平面向量， ，且，则的值是____．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得 ‎2.(2017合肥模拟)如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．‎ ‎【答案】　－ ‎ ‎ ‎3.（2017四川成都七中模拟）在中，内角的对边分别为，已知向量平行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若周长为，求的长.‎ ‎【答案】（1）2（2） ‎【解析】（1）由已知得，由正弦定理，可设，‎ 则，‎ 即，‎ 化简可得，又，‎ 所以，因此.‎ ‎（2），‎ 由（1）知，则，由周长，得.‎ ‎4.(2017兰州模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．‎ ‎【答案】　（1） （2） 知识链接：‎ 知识点　向量的实际应用 ‎1．向量在几何中的应用 ‎(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．‎ ‎(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：‎ a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(3)平面几何中夹角与线段长度计算：‎ ‎①cos〈a，b〉＝＝；‎ ‎②|AB|＝||＝＝.‎ ‎2．向量在物理中的应用 ‎(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．‎ ‎(2)向量在速度的分解与合成中的应用．‎ ‎(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.‎ ‎3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．‎ ‎1．必会结论；(1)在△ABC中，D是BC的中点，则＋＝2.‎ ‎(2)若点G是△ABC的重心，则＋＋＝0，反之，若＋＋＝0，‎ 则点G是△ABC的重心．‎ ‎2．必清误区；(1)注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．‎ ‎(2)注意向量共线和两直线平行的关系．‎ 课本典例解析与变式 例1.【必修4第一百零五页例4】已知 且 与不共线，为何值时，‎ 向量 与 互相垂直。‎ ‎【原题解读】本例题以方程思想为指引，通过向量垂直的性质建立关于的方程，再运用向量的数量积运算，求解出的值。充分体现了对向量数量积的理解和灵活运用。‎ 变式1. （2016课标Ⅰ高考） 设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=　 　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为；所以；即x+2（x+1）=0；所以．故答案为：．‎ 变式2.（2017山东高考）已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,则 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】由a||b可得 ‎ 变式3. (2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.‎ ‎【答案】　 ‎【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，‎ ‎∴|a＋b|＝＝＝＝.‎ 变式4. (2016·青岛模拟)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且 ⊥，则实数λ的值为________．‎ ‎【答案】　 变式5.（2017兰州模拟）已知（k＞0）‎ ‎（1）求证：；（2）将数量积表示为关于k的函数f（k）；‎ ‎（3）求f（k）的最小值及相应，夹角θ.‎ ‎【答案】　（1）见解析 （2）见解析 （3） ‎【解析】 （1），‎ ‎（2） ‎ ‎（3） 时，取等号，此时，‎ ，又∵.‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎ 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；‎ ‎2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；‎ ‎3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ 练习检测 ‎1.（2017辽宁沈阳模拟）已知向量， ，且，则等于（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D 考点：向量的坐标运算及模长. ‎ ‎2.（2017北京高考）设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由题若， 使 即两向量反向，夹角为 那么 ，若 ，那么两向量的夹角为 并不一定反向，即不一定存在负数，使得 所以是充分不必要条件。选A 考点：向量的数量积与充分必要条件.‎ ‎3.（2017银川模拟）已知向量，向量，则向量在向量 方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】向量在向量方向的投影是．‎ 考点：向量的数量积及投影的概念.‎ ‎4.（2017北京模拟）设非零向量，满足则（ ）‎ A. ⊥ B. C. ∥ D. ‎【答案】A ‎【解析】由平方得，即，则，故选A.‎ 考点：本题考查了向量数量积，由向量数量积的性质可推断出向量垂直。‎ ‎5．(2017济南模拟)已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足＝x2，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【答案】　D ‎【解析】＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，∴＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.‎ 考点：向量的数量积与解析几何. ‎ ‎6.（2017浙江省湖州、衢州、丽水三市联考）已知单位圆有一条长为的弦，动点 在圆内，则使得的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 考点：向量数量积与几何概率.‎ ‎6.（2017安徽省马鞍山市高三二模）已知向量与的夹角为60°，且，‎ 若，且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 6 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎， ，故选A.‎ 考点：向量数量积与垂直性质. ‎ ‎7.(2017四川泸州模拟)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的最大值 是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A 考点：向量数量积与圆的几何性质.‎ ‎8.（2017哈尔滨模拟）设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为(　　)‎ A. B. C. D.π ‎【答案】　B ‎【解析】　由题设知向量e1，e2的夹角为θ，则e2，－e1的夹角为π－θ.。由题意可得f(e1，e2)＝e1cos θ－e2sin θ，f(e2，－e1)＝e2cos(π－θ)＋e1sin(π－θ)＝e1sin θ－e2cos θ，‎ 故[f(e1，e2)]·[f(e2，－e1)]＝(e1cos θ－e2sin θ)·(e1sin θ－e2cos θ)＝ecos θsin θ－e1·e2cos2θ－e1·e2sin2θ＋ecos θsin θ＝2sin θcos θ－.∵e1·e2＝，∴cos θ＝，sin θ＝，‎ ‎∴2sin θcos θ－＝2××－＝0，∴向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.‎ 考点：向量的数量积及夹角.‎ ‎9.(2017天津质检)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ ‎【答案】　 ‎10.（2017天津高考）在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），‎ 且，则的值为 . .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题 ,则；‎ .‎ 考点：本题综合考查了向量的加法与数量积运算及方程思想。‎ ‎11.(2017泰安模拟)如图在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝______________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】·＝||·||·cos∠CAD.∵||＝1，∴·＝||·cos∠CAD.‎ ‎∵∠BAC＝＋∠DAC，∴cos∠CAD＝sin∠BAC.在△ABC中，‎ 由正弦定理＝，得||·sin∠BAC＝||·sin B，‎ ‎∴·＝||·sin∠BAC＝||·sin B＝||·＝.‎ 考点：向量数量积与解三角形 ‎12.（2017大连模拟）已知向量m＝(cos ωx＋sin ωx，cos ωx)，n＝(cos ωx－sin ωx,2sin ωx)，其中ω＞0.设函数f(x)＝m·n，且函数f(x)的最小正周期为π，则ω的值为________．‎ ‎【答案】　1‎ ‎【解析】　∵m＝(cos ωx＋sin ωx，cos ωx)，n＝(cos ωx－sin ωx,2sin ωx)，‎ ‎∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2cos ωxsin ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，‎ ‎∴f(x)＝2sin.∵函数f(x)的最小正周期为π，∴T＝＝π，ω＝1.‎ 考点：向量与三角函数 ‎13.（2017云南二模）在数列中， ，若平面向量与平行，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】 考点：向量与数列 ‎14.（2017上海市宝山区高三二模）如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到 的距离分别为．点分别在上， ，则的最大值为_____________．‎ ‎【答案】 考点：向量数量积与解析几何 ‎15.（2017重庆模拟）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），‎ ‎∵，∴，解之得 ‎∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组 作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部 其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）‎ ‎ ‎ 考点：向量在几何中的应用．‎ ‎16.（2017河北正定县中学模拟）设a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)λ＞0,0＜α＜β＜是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．‎ ‎①求实数λ的值；‎ ‎②若a·b＝，且tan β＝，求tan α的值．‎ ‎【答案】　①λ＝2 ② ‎【解析】① 由题设可得；(a＋b)·(a－b)＝0，即；|a|2－|b|2＝0，代入a， b坐标，‎ 得；cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0，‎ ‎∴(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，∴(λ2－2λ)sin2α＝0.‎ ‎∵0＜α＜，∴sin α≠0，∴λ2－2λ＝0，∴λ＝2(λ＞0)．‎ ‎② 由①知，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝，‎ ‎∵0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0， ∴sin(α－β)＝－，tan(α－β)＝－，‎ ‎∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，‎ ‎∴tan α＝.‎ ‎17．(2017潍坊模拟)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．‎ ‎(1)若x＝，求向量a与c的夹角；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．‎ ‎【答案】（1） （2）x＝时，f(x)max＝1.‎ 考点：向量数量积与三角函数 ‎18.（2016柳州模拟）已知向量m＝(3sin A，cos A)，n＝，m·n＝sin 2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A，sin C，sin B成等比数列，且·＝18，求c的值．‎ ‎【答案】（1） （2）x＝时，f(x)max＝1.‎ 考点：向量数量积与解三角形 ‎19.（2017衡水金卷）在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设，用，表示，并求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】（1）方法一：，‎ 又，‎ 解得即，故.‎ 方法二：，则，‎ ‎（2），，‎ ‎ 两式相减得，，‎ 令，由图知，当直线过点时，取得最大值，故的最大值为.‎ 考点：向量的综合应用问题.‎ ‎20.（2017河北石家庄模拟）平面上的两个向量，满足，，且，.向量，且.‎ ‎（1）如果点为线段的中点，求证:；‎ ‎（2）求的最大值，并求此时四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】 （1）证明见解析； （2），．‎ 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为.‎ 考点：向量的综合应用问题.‎ ‎ ‎