广东陆丰碣石中学2013届高三上第四次月考-数学理

广东陆丰碣石中学2013届高三上第四次月考-数学理

‎ 广东陆丰碣石中学2013届高三上第四次月考数学理试题 时间：120分钟 满分：150分 一、 选择题（每题5分，共40分，每题只有一个正确选项）‎ ‎1.巳知全集，是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）‎ A． ３个 Ｂ．２个 ‎ Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ‎2设不等式的解集为，函数的定义域为，则为 （ ）‎ ‎ A． 　 B． C． D． ‎ ‎3.在的( ) ‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件[Z*XC．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是 （ ）‎ ‎5. 函数的图象大致是（ ）‎ ‎6．函数的图像为C,如下结论中正确的是 （ ）‎ ‎ A．图像C关于直线对称 ‎ B．图像C关于点对称 ‎ C．函数在区间内是增函数 ‎ D．由的图像向右平移个单位长度可以得到图像C。‎ ‎7. 设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中不正确的是 （ ）‎ ‎ A.若，则与相交 ‎ ‎ B.若则 ‎ C.若// ， // ，，则 ‎ ‎ D.若// ，，，则// ‎ ‎8．对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若，则的上确界为 （ ） ‎ ‎ ()－3 () ()－ () ‎ 一、 填空题（每题5分，共30分，其中9--13题为必做题，14、15为选做题，）‎ ‎（9--13题为必做题）‎ ‎9.抛物线在点（0，1）处的切线方程为 ‎ ‎10.已知等比数列各项均为正数,前项和为，若，．则公比q= ， ． ‎ ‎11.若的展开式中x4的系数为 ‎ ‎12. 已知函数，则实数a= ‎ ‎13．在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则＝ ，经推理可得到＝ ．‎ ‎（第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分）．‎ ‎14. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 与圆 的公共点个数是________．‎ ‎15. （几何证明选讲选做题）如图4，是圆上的两点，且，，为的中点，连接并延长交圆于点，则 ． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．‎ ‎16.（12分） 已知函数，‎ ‎（1）求该函数的最小正周期和最小值；‎ ‎（2）若，求该函数的单调递增区间。‎ ‎. ‎ ‎17. （12分）在中，角所对的边为，已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，求的值 ‎19.（本题满分14分）在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．‎ ‎ （Ⅰ）求数列{}的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设数列{}的前n项和为，证明：‎ ‎ ‎ ‎20.（14分）已知椭圆过点，且离心率。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎ （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。‎ ‎21．（本小题满分14分）已知函数 ‎ ‎（1）求函数f(x)的极值；‎ ‎（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）求证.‎ ‎2013届碣石中学高三级第四次月考数学（理科）答案 一 、选择题（每题5分，共40分）‎ ‎1. B ‎ ‎2 A‎.‎ ‎3. B ‎ ‎4.C.‎ ‎5. D.‎ ‎6.C 选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．‎ ‎14. 1 ,15.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．‎ ‎16. 已知函数，‎ ‎（1）求该函数的最小正周期和最小值；‎ ‎（2）若，求该函数的单调递增区间。‎ 解：（1） ------3分 ‎ 所以 ------6分 ‎ ‎（2）------8分 令，得到或， ‎ 与取交集, 得到或,‎ 所以，当时，函数的. ----12分 ‎ ‎17. 在中，角所对的边为，已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，求的值 解：（1），，‎ 或，，所以 ……………………5分 ‎（2）由 解得 或…………① …………8分 ‎ 又 …………②‎ ‎ …………③‎ ‎ 由①②③或 …………12分 ‎18．（本小题满分14分） 　　甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分。已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为。 　　（1）求甲恰好得30分的概率； 　　（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望； 　　（3）求甲恰好比乙多30分的概率.‎ 答案 1. （I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，-------3分 　　（II）的取值为0，10， 30，60.--------4分 　　　　　，，　 ， 的概率分布如下表：‎ ‎0‎ ‎10 ‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎---------8分 ‎　　　　　-------10分 　　（III）设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1, 甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A=为互斥事件. 　　　　　 ‎ ‎. 　　　　　 所以，甲恰好比乙多30分的概率为-----------14分 19.（本小题满分14分）在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．‎ ‎ （Ⅰ）求数列{}的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设数列{}的前n项和为，证明：‎ ‎ 解：（1）当n=1时，,当时，‎ 由得所以------------4分 所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，‎ 所以数列的通项公式为-------------5分 ‎（2）‎ ‎------------------------------------------------------7分 ‎-------------------11分 可知Tn是关于变量n的增函数，当n趋近无穷大时，的值趋近于0，‎ 当n=1时Tn取最小值，故有----------------14分 ‎20.已知椭圆过点，且离心率。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎ （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段 的垂直平分线过定点，求的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）离心率，，即（1）；‎ 又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，‎ 椭圆方程为。-------4分 ‎（Ⅱ）设，弦MN的中点A 由得：，------------6分 直线与椭圆交于不同的两点，‎ ‎，即………………（1）--------8分 由韦达定理得：，‎ 则，-------------10分 直线AG的斜率为：，‎ 由直线AG和直线MN垂直可得：，即，----12分 代入（1）式，可得，即，则-------14分 ‎21．（本小题满分14分）已知函数 ‎ ‎（1）求函数f(x)的极值；‎ ‎（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）求证.‎ ‎21.解：（Ⅰ）因为， x >0，则，…………1分 ‎ 当时，；当时，.‎ ‎ 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，‎ ‎ 所以函数在处取得极大值f（1）=1 ，无极小值。…………3分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）不等式即为 记 ‎ 所以…………7分 ‎ 令，则， ， ‎ ‎ 在上单调递增， ，从而，‎ ‎ 故在上也单调递增， 所以，所以 . ………9分 ‎（3）由（2）知：恒成立，即， ‎ ‎ 令，则