2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高二下学期期中联合考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高二下学期期中联合考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高二下学期期中联合考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“存在，使得”的否定是 A. 对任意的，成立 B. 对任意的，成立 C. 存在，使得成立 D. 不存在，使得成立 ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接根据特称命题的否定是全称命题，求解即可.‎ 详解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题“存在，使得”的否定是：‎ ‎“对任意的，成立”，故选A.‎ 点睛：本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎2．椭圆的焦点坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先将椭圆方程化为标准方程，求得，从而可得结果.‎ 详解：椭圆方程可化为：‎ ‎，‎ 所以椭圆的焦点坐标为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质，意在考查基本概念、基本性质掌握的熟练程度,属于简单题.‎ ‎3．对于命题：矩形的两条对角线相等，下面判断正确的是 A. 为假命题 B. 的逆否命题为真命题 C. 的逆命题为真命题 D. 的否命题为真命题 ‎【答案】B ‎【解析】分析：先判断命题为真命题，根据原命题与其逆否命题是等价命题可得结果.‎ 详解：根据矩形的性质可得“矩形的两条对角线相等”正确，所以为为真命题，‎ 因为原命题与其逆否命题是等价命题，所以的逆否命题为真命题，故选B.‎ 点睛：本题主要考查原命题与逆否命题的等价性，属于简单题.‎ ‎4．抛物线的准线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：将抛物线方程化为标准方程，从而可求得其准线方程.‎ 详解：抛物线化为标准方程，‎ ‎，‎ 所以，抛物线的准线方程为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程以及准线方程，意在考查对基本概念的理解与应用，属于简单题.‎ ‎5．若双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据离心率，可推导出从而可得渐近线方程.‎ 详解：因为双曲线的离心率，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以该双曲线的渐近线方程为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查利用双曲线的离心率求双曲线的渐近线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎6．已知分别为三内角，，的对边，则是的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据三角形性质，利用充分条件与必要条件的定义可得结果.‎ 详解：在三角形，因为角大对应的边大，边大对应的角大，所以是的充分且必要条件，故选C.‎ 点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎7．命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则 A. “或”为假 B. “且”为真 C. 真假 D. 假真 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据绝对值不等式的解法可判定命题为真命题，根据对数函数的性质可得命题为假命题，从而可得结果.‎ 详解：若则,若，则不能推导出，‎ 所以，若，是的充分不必要条件，命题为真命题；‎ 由可得，即或，‎ 函数的定义域是，‎ 所以命题为假命题，故选C.‎ 点睛：本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式与对数函数的性质、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题 ‎8．设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是 A. 双曲线 B. 双曲线一支 C. 不存在 D. 双曲线或线段或不存在 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据双曲线的定义做判断，注意考虑动点轨迹的条件限制即可.‎ 详解：因为定点，，动点满足条件<，所以根据双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，又因为,所以动点的轨迹是双曲线一支，故选B.‎ 点睛：关于双曲线定义的理解有以下几种情况：‎ ‎(1 ),,表示双曲线；‎ ‎（2）,,表示两条射线；‎ ‎（3）,表示双曲线的一支；‎ ‎（4）,表示一条射线.‎ ‎9．定义：离心率的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线E： ，为双曲线的半焦距，如果成等比数列，则双曲线E A. 可能是“黄金双曲线” B. 可能不是“黄金双曲线”‎ C. 一定是“黄金双曲线” D. 一定不是“黄金双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由成等比数列可得，而，解方程求得双曲线的离心率，即可判断双曲线是否为“黄金双曲线”.‎ 详解：双曲线的方程为，‎ 设为双曲线的半焦距，成等比数列，‎ ‎，又，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，，‎ 所以双曲线一定是“黄金双曲线”，故选C.‎ 点睛：本题考查等比中项的性质，双曲线的简单性质与离心率、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“黄金双曲线”‎ 达到考查双曲线的简单性质与离心率的目的.‎ ‎10．已知椭圆C:的左右顶点分别为A、B，点为椭圆C上一动点，那么 的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用特值法，当点为椭圆的上顶点时，求得，即可排除选项，从而可得结果.‎ 详解：本题可用特值法将不合题意的选项排除，‎ 当点为椭圆的上顶点时，‎ ‎ ，‎ 所以，可以排除选项，故选D.‎ 点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.‎ ‎11．用与圆柱底面成角的平面截圆柱，得到一完整的椭圆截面，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设椭圆的长轴为，短轴为，中心点为，圆柱的底面中心为，则，可得， ，即可得结果.‎ 详解：‎ 如图所示，设椭圆的长轴为，短轴为，中心点为，‎ 圆柱的底面中心为，则，‎ 可得，‎ ‎，‎ 这个椭圆的离心率为，故选D.‎ 点睛：本题主要考查圆柱的性质、二面角的定义以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.‎ ‎12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上四点，若， 则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求出抛物线的焦点坐标，由可得，，再利用焦半径公式可得的值.‎ 详解：因为为抛物线的焦点，所以，‎ 由可得，‎ ‎；‎ 化为，‎ 由抛物线定义可得，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，‎ 所以，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的坐标运算，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ 二、填空题 ‎13．已知命题：若，则方程至少有一负根，写出命题的逆命题________．‎ ‎【答案】若方程至少有一负根，则 ‎【解析】分析：把原命题的结论当条件、条件当结论所得到的命题就是命题的逆命题.‎ 详解：因为逆命题就是把原命题的结论当条件、条件当结论所得到的命题，所以，命题：若，则方程至少有一负根的逆命题为：若方程至少有一负根，则，故答案为若方程至少有一负根，则.‎ 点睛：本题主要考查逆命题的基本概念，属于简单题.‎ ‎14．中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点的椭圆的标准方程为________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分析：讨论椭圆的焦点在轴上或在轴上，利用椭圆长轴长是短轴长的倍，过点，分别求出的值，即可得到椭圆的标准方程.‎ 详解：若椭圆的焦点在轴上，则，因为长轴长是短轴长的倍，‎ 所以，，椭圆方程为；‎ 若椭圆的焦点在轴上，则，因为长轴长是短轴长的倍，‎ 所以，，椭圆方程为,‎ 故答案为或.‎ 点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程，属于简单题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎15．已知命题：不等式的解集为； 命题：“”是“”成立的充要条件． 有下列四个结论：①“ 且 ”为真；②“且”为真；③“或”为真；④“ 或”为真．其中真命题的序号是________．（请把正确结论的序号都填上）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】分析：根据对数函数的性质求出不等式的解集，可判断命题的真假，利用平面向量数量积的性质可判断命题的真假，进而可得结论.‎ 详解：若，‎ 所以，要使式成立，只有，‎ 即不等式的解集为，所以假 真；‎ 因为“”不能推出“”， “”能推出“”，‎ 所以，“”是“”成立的必要不充分条件，假 真，‎ 故①“ 且 ”为真；②“且”为假；③“或”为假；④“ 或”为真，故答案为①④.‎ 点睛：本题通过判断非、且、或命题的真假综合考查对数函数的性质与平面向量数量积的性质，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.‎ ‎16．直线与焦点在轴上的椭圆总有两个公共点，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，需在椭圆内，进而求得的范围.‎ 详解：直线恒过点，‎ 直线与椭圆恒有公共点，‎ 在椭圆内，‎ ‎，‎ 又椭圆焦点在轴上，，‎ 实数的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与简单性质以及直线过定点问题，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题函数在上是减函数，命题 ，．‎ ‎（1）若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为真命题，且“或”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据判别式小于零可得命题为真命题时实数的取值范围，求其补集即可得结果；（2）由“”为真命题，且“或”为真命题，可得假为真命题，则，从而可得结果.‎ 详解：（1）若命题为真命题时，‎ 则在上恒成立， ‎ 故，解得，‎ 所以命题为假命题时，实数的取值范围为.‎ ‎（2）当函数在上是减函数时，‎ 则有，解得 ，‎ 即为真命题时，实数的取值范围为 ‎ 因为“”为真命题，所以为假命题，又因为“或”为真命题 所以为真命题，‎ 则 ‎ 综上可知，当 “”为真命题且“或”为真命题时，实数的取值范围为。‎ 点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，求参数综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18．已知椭圆M的焦点在轴上，长轴长为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆M的标准方程； ‎ ‎（2）已知直线的方程为．若直线与直线平行且与椭圆M相切，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】分析：（1）根据长轴长为，离心率为，结合性质 ， ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线的方程为， ‎ 由，得，根据判别式为零即可得结果.‎ 详解：（1）设椭圆的标准方程为 ，为半焦距，‎ 由已知有：，‎ 解得： ‎ ‎∴ 所求椭圆的标准方程为 ； ‎ ‎（2）设直线的方程为， ‎ 由，得 ‎ 因为直线与椭圆相切时，所以 解得； ‎ 直线的方程为或.‎ 点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎19．设椭圆M： 的离心率与双曲线E: 的离心率互为倒数，且椭圆的右顶点是抛物线C:的焦点．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）已知N(1，0)，若点P为椭圆M上任意一点，求的最值．‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】分析：（1）求出 的离心率与抛物线C:的焦点，结合性质 ，从而 列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果；（2）设P点坐标为，则 ， ，利用配方法可得结果.‎ 详解：(1)由题可知，双曲线E的离心率为，抛物线C的焦点为(2，0)‎ 则椭圆M的离心率e＝＝， ‎ 由得a＝2，c＝，b＝，‎ 所以故椭圆M的方程为． ‎ ‎(2)设P点坐标为，则 ， ‎ ‎ ‎ ‎ ，.‎ 点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎ ‎20．已知，为双曲线N：的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，交双曲线N于点P，．‎ ‎（1）求双曲线N的渐近线方程；‎ ‎（2）求证：圆与此双曲线N的两渐近线相切．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）在直角三角形中，求出三边的等量关系，利用双曲线定义可得 ，从而可得结果；（2）只需利用点到直线距离公式证明圆心到渐近线的距离等于圆的半径即可得结论.‎ 详解：(1)设=m，所以=2m，=2c=m， =2a=m ‎ ‎ ‎ ‎ 所以双曲线N的渐近线方程为. ‎ ‎(2)由(1)知此渐近线方程为y=，‎ 圆的圆心到其中一条渐近线方程为的距离为 ‎，圆与此双曲线的这条渐近线相切，‎ 同理可证圆与此双曲线N的另一条渐近线也相切.即证明。‎ 点睛：本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线的离心率与渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎21．已知命题 ．‎ ‎（1）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若 是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用绝对值不等式的解法化简命题，从而可得 成立的条件，利用一元二次不等式的解法化简命题，从而可得 成立的条件，利用包含关系列不等式求解即可；（2）结合（1）利用包含关系列不等式求解即可.‎ 详解：(1)由题意得：‎ 命题p：，即命题p： .‎ 命题q: . ‎ 所以： ‎ 又∵是充分而不必要条件 ‎ ‎ ‎∴;‎ 所以实数的取值范围为. ‎ ‎(2)由(1)知： ；‎ ‎： ； ‎ 又∵q是p的必要而不充分条件 ‎∴ ∴. ‎ 所以实数的取值范围为.‎ 点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎22．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于, 两点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）O点为坐标原点，当面积最小时，求弦AB的长度．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）可设直线的方程为， 由 得 由韦达定理可得；（2）由韦达定理，利用三角形面积公式可得 ，可得时，三角形面积最小，从而可得结果.‎ ‎.‎ 详解：(1)证明：由题意可设直线l的方程为， ‎ 由 得 所以； ‎ ‎(2)由(1)知，； ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以时，三角形面积最小.即直线AB与垂直时，三角形面积最小.‎ 此时，A,B两点的横坐标都为.代入抛物线的方程，得，.‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎