2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

南昌二中 2017—2018 学年度上学期第一次月考 高二数学（理）试卷 一、选择题：（本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。） 1．直线 tan 7 06    x y 的倾斜角是（ ） A． π 6  B． π 6 C． 2π 3 D． 5π 6 2．焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 1( 0)3   xy mm 的焦距为8 2 ，则长轴长是（ ） A. 11 B.33 C. 2 33 D. 33 3．直线 ( 1) 1 0   k x ky （ k R ）与圆 2 2( 2) ( 1) 3   x y 的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与 k 的值有关 4．已知直线 1 : 3 0  l mx y 与 2l 关于直线 y x 对称， 2l 与 3 1 1: 2 2   l y x 垂直，则 m （ ） A. 1 2  B. 1 2 C. -2 D. 2 5 ． 点 (0,2)k 为 圆 2 2: 8 2 8 0    C x y x y 上 一 点 ， 过 点 K 作 圆 切 线 为 ,l l 与 'l ： 4 2 0  x ay 平行，则 'l 与l 之间的距离是（ ） A. 8 5 B. 4 5 C. 28 5 D. 12 5 6．曲线  241 2  xxy 与直线   42  xky 有两个交点时，实数 k 的取值范围是 A．     4 3 12 5 ， B．      4 3 12 5 ， C．      4 3 3 1， D．      12 50， 7．若圆 2 2:( 1) ( 2) 25   C x y 上有四个不同的点到直线 4: 3 3    al y x 的距离为 2，则 a 的取值范围是( ) A. (－12，8) B. (－8，12) C. (－13，17) D. (－17，13) 8．两圆 2 2 22 4 0    x y px p 和 2 2 24 1 4 0    x y qy q 恰有三条公切线，若 p R ， q R ，且 0pq ，则 2 2 1 1 p q 的最小值为( ) A. 4 9 B. 10 9 C. 1 D. 3 9．已知圆 2 2: 2 3 0C x y x    ，过原点且互相垂直的两直线分别交圆 C 于点 A，B，D，E， 则四边形 ABDE 面积的最大值为( ) A．4 3 B．7 C．4 2 D．4 10. 一束光线从点 ( 1,1)P 出发，经 x 轴反射到圆 2 2: x 4 6 12 0C y x y     上的最短路程 是( ) A．4 B．5 C．3 2 1 D． 2 6 11．椭圆 2 2 125 9  x y 的左、右焦点分别为 1 2,F F ,弦 AB 过 1F ，若 2ABF 的内切圆面积为  ， A、B 两点的坐标分别为 1 1( , )x y 和 2 2( , )x y ，则 2 1y y 的值为（ ） A. 5 3 B. 10 3 C. 20 3 D. 5 2 12．设直线系 : cos ( 2)sin 1(0 2 )M x y        ,则下列命题中是真命题的个数是 ①存在一个圆与所有直线不相交 ②存在一个圆与所有直线相切 ③ M 中所有直线均经过一个定点 ④存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 ⑤ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13．经过点  4,2A ，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 3 倍的直线l 的方程的一 般式为__________． 14．椭圆 22 19 2 yx   的焦点为 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，若 1| | 4PF  ，则 1 2F PF 的大小 为__________ 15．直线 1 :l y x a  和 2 :l y x b  将单位圆 2 2: 1C x y  分成长度相等的四段弧，则 2 2a b  _______ 16．已知椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1，A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，P 为椭圆 C 上不同于 A、B 的动点，直线 x＝4 与直线 PA、PB 分别交于 M、N 两点；若 D(7，0)，则过 D、M、N 三点的 圆必过 x 轴上不同于点 D 的定点，其坐标为________． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分．） 17．(本小题 10 分) 已知 MNQ 的三个顶点分别为  2,3M ,  1, 2 N ，  3,4Q ，求 （1） NQ 边上的中线 MD 所在的直线方程的一般式； （2）求 MNQ 的面积 18. (本小题 12 分) 已知直线 l 过点 (2 1)， 且与圆 O： 2 2 4x y  相交于 ,A B 两点， 0120AOB . 求直线 AB 方程的一般式. 19．(本小题 12 分) 求与圆 M：x2 +y2 = 2x 外切,并且与直线 x+ 3 y=0 相切于点 Q(3,－ 3 )的圆的方程 的标准式. 20．(本小题 12 分) 已知直线l ：    1 2 5 3 0k x y k k R      恒过定点 P ，圆C 经过点  4,0A 和点 P ，且圆心在直线 2 1 0x y   上. （1）求圆C 的方程的一般式； （2）已知点 P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点 Q ，问：在 y 轴上是否存在 一点  0,M m ，使得 PMQ 为直角三角形，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由. 21．(本小题 10 分) 已知过原点的动直线l 与圆 2 2 1 : 6 5 0C x y x    相交于不同的两点 ,A B . （1）求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程； （2）是否存在实数 k ，使得直线  : 4L y k x  与曲线 C 只有一个交点？若存在，求 出 k 的取值范围；若不存在，说明理由. 22. (本小题 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)   x yC a ba b ,四点 1 2 3 4 2 2( 1, ),P (1, ),p ( 1, 1),p (0, 1)2 2P     中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求椭圆C 的方程. （2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于 A ， B 两点， AD x 轴于点 D ， 点 E 在椭圆C 上，且    0AB EB DB AD       ， 求证： B ， D ， E 三点共线. 南昌二中 2017—2018 学年度上学期第一次月考 高二数学（理）试卷 1—6 DCCBBA 7—12 CCBADC 13、 3 10 0  x y 或 2 0 x y 14、1200 15、2 16、(1，0) 17、解：（1）由已知得 BC 中点 D 的坐标为 ( 2,1)D  ， ∴中线 AD 所在直线的方程是 1 ( 2) 3 1 2 ( 2) y x     ， 即 2 4 0x y   （2）∵ 2 2( 1 ( 3)) ( 2 4) 2 10BC         ， 直线 BC 的方程是3 5 0x y   ， 点 A 到直线 BC 的距离是 2 2 | 3 2 3 5| 14 103 1 d      ∴△ABC 的面积是 1 142S BC d   ． 18、解：由 2r  ， 0120AOB ，得圆心到直线距离为 1  32|| AB 设 AB 所 在 直 线 方 程 为 ( 2) 1y k x   即 2 1 0kx y k    ， 2 | 2 1| 1 0 1 k k k      或 4 3k  ， 故所求直线方程： 1y  或 4 3 5 0x y   19、【解析】设所求圆的方程为 C：(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为 C(a,b),∵圆 C 与直线 x+ 3 y=0 相切于点 Q(3,－ 3 ) ∴CQ⊥直线 x+ 3 y=0, ∴KCQ = 3 3   a b 即 b= 343 a ,r= |CQ|= 22 )3()3(  ba =2|a-3|, 由于圆 C 与圆 M 外切,则有|CM|= 22)1( ba  =1+r=1+2|a-3|, 即 |3|21)4(3)1( 22  aaa （1）当 a≥3 时,得 a=4,b=0,r=2 .圆的方程为(x－4)2 +y2= 4 ； （2）当 a<3 时,可得 a=0,b=－4 3 ,r=6, 圆的方程为 x2 + (y+4 3 )2 =36 ∴所求圆的方程为(x－4)2 +y2= 4 或 x2 + (y+4 3 )2 =36 . 20、【解析】（1）设圆C 的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 由条件得 16 4 0 { 9 1 3 0 2 1 02 2 D F D E F D E                       ，解得 14 { 8 40 D E F      . 所以圆C 的方程为 2 2 14 8 40 0x y x y     . （2）圆C 的标准方程为   2 27 4 25x y    ， 4 1 3 7 3 4CPk   ， 设点  3,1P 关于圆心 7,4 的对称点为  0 0,x y ，则有 0 0 3 14{1 8 x y     ， 解得 0 11x  ， 0 7y  ，故点Q 的坐标为 11,7 . 因为 M 在圆外，所以点 M 不能作为直角三角形的顶点， 若点 P 为直角三角形的顶点，则有 1 3 10 3 4 m     ， 5m  ， 若点 Q 是直角三角形的顶点，则有 7 3 10 11 4 m     ， 65 3m  ， 综上， 5m  或 65 3 . 21、解析：（1）圆  22 2 2 1 : 6 5 0 3 4C x y x x y        圆心坐标为 3,0 设  ,M x y ，则可知 1C M AB 1 1 13C M AB y yk k x x         ，整理可得： 2 23 9 2 4x y      当动直线与圆相切时，设直线方程： y kx 则  2 2 2 26 5 0 1 6 5 0x y x k x x y kx             2 2 436 20 1 0 5k k       切点的横坐标为 2 1 6 5 2 1 3x k    由圆的性质可得： M 横坐标的取值范围为 5,33      所以轨迹方程为 2 23 9 3, ,32 4 5x y x             （2）由（1）可得曲线C 为圆 2 23 9 5, ,32 4 3x y x             的一部分圆弧 EF（不包括 ,E F ）， 其中 5 2 5 5 2 5, , ,3 3 3 3E F            直线  : 4L y k x  过定点  4,0 ① 当直线与圆相切时： 2 5 3 32 2 41C l k d k k        ② 当直线与圆不相切时，可得 2 50 2 53 5 74 3 DEk      ， 2 50 3 2 5 5 74 3 DFk         数形结合可得：当 2 5 2 5,7 7k       时，直线与圆有一个交点 综上所述： 2 5 2 5 3 3, ,7 7 4 4k             时，直线 L 与曲线C 只有一个交点 22、解析：（1）椭圆C 的方程为 2 2 12 x y  . （2）证明：设  1 1,A x y ，  2 2,E x y ，则  1 1,B x y  ，  1,0D x . 因为点 A ， E 都在椭圆 C 上，所以 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2, 2 2, x y x y       所以   1 2 1 2x x x x     1 2 1 22 0y y y y   ， 即   1 2 1 2 1 2 1 22 y y x x x x y y     . 又   AB EB DB AD      0AE AB    ， 所以 1AB AEk k   ，即 1 1 2 1 1 2 1y y y x x x    ，所以   1 1 2 1 1 2 12 y x x x y y   所以  1 21 1 1 2 2 y yy x x x   又 1 2 1 1 2 12BE BD y y yk k x x x     1 2 1 2 1 2 1 2 0y y y y x x x x     ， 所以 BE BDk k ， 所以 B ， D ， E 三点共线.