数学理卷·2019届广东省中山一中、仲元中学等七校高二3月联考(2018-03)

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数学理卷·2019届广东省中山一中、仲元中学等七校高二3月联考(2018-03)

七校联合体2019届高二3月联考试卷 理科数学 命题学校:潮阳第一中学 命题人: 审题人:‎ 参考公式:锥体的体积,为锥体的底面积 第I卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.已知集合,,则集合 A. B. C. D. ‎ ‎2.函数的定义域为 A. B. ‎ C. D.‎ 开始 输入x x>1?‎ x<1?‎ y=x y=1‎ y=2x-3‎ 输出y 结束 否 否 是 是 ‎(第4题图)‎ ‎3.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则9时至14时的销售总额为 A.10万元 B. 12万元 C. 15万元 D.30万元 ‎4.如图所示的程序框图,若输入的值为1,则输出的值为 A. B.0 C.1 D.或0‎ ‎5.下列几个命题:‎ ‎①是不等式的解集为R的充要条件;‎ ‎②设函数的定义域为R,则函数与的图象关于y轴对称;‎ ‎③若函数为奇函数,则;‎ ‎④已知,则的最小值为;‎ 其中不正确的有 ‎ A.0个 B.1个 C.2个 D. 3个 第6题图 ‎6.函数的部分图象如图所示,若,且 ‎ ‎,则 ‎ A.  B. C. D.‎ ‎7.已知等差数列的前项和为Sn,其中,则Sn取得最小值时n的值是 ‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 A. B.160 C. D.‎ ‎9.已知圆.设条件,条件圆 上至多有个点到直线的距离为,则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎10.如图,已知△ABC中,点M在线段AC上,点P在 线段BM上且满足若,‎ ‎,则的值为 ‎ A.2 B. C.﹣2 D. ‎ ‎11.已知函数的周期为4,且当时, 其中.若方程恰有3个实数解,则的取值范围为 ‎ ‎ ‎ ‎12.抛物线(>)的焦点为,已知点、为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则 的最大值为 ‎ A. B. 1 C. D. 2‎ 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题:(共4题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,如果甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为    . ‎ ‎14. 若函数的一个单调区间为,且,则___________.‎ ‎15.不等式组表示的平面区域为,若对数函数上存在区域上的点,则实数的取值范围是__________.‎ 16. 定义在上的函数满足且,又当且时,有.若对所有恒成立,则实数的取值范围是    . ‎ 三、 解答题(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.)‎ 17. ‎(本小题满分10分)‎ 已知数列是满足,数列的前项和,满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和. ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在中,设角所对的边分别为,且 ‎(I)求角的大小; (Ⅱ)若的面积为1,求.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加,且资金不超过9万元,同时资金不超过收益的.‎ ‎(1)请分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;‎ ‎(2)若该公司采用函数模型作为奖励函数模型,试确定最小的正整数的值.‎ 20. ‎(本小题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆 (1) 设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线 x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.‎ P A B C D Q M ‎21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,∥,,平面⊥底面,为的中点,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)在棱上是否存在点使得二面角大小 为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ 22. ‎(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左右焦点分别为 ‎,抛物线与椭圆有相同的焦点,且椭圆 过点.‎ ‎(I)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若椭圆的右顶点为,直线交椭圆于、两点(、与点不重合),且满足,若点为中点,求直线斜率的最大值.‎ ‎(理科数学)参考答案 ‎1—6:CCDCCB 7—12:CADBAA ‎13. 14. 15. 16. (-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)‎ 16. 解:(1)‎ ‎ ………2分 ‎ 又当时,符合上式………3分 ………4分 ‎(2)由(1)可知 ………5分 ‎………7分 由(1)-(2)得 ‎………9分 ‎ ………10分 ‎18.解:(1)∵,‎ ‎∴ …………3分 ‎∵ ∴ ∴ …………6分 ‎(2)法一:由得…………8分 同理得…………10分 所以,故=…………12分 法二:由得……………8分 由得 ,即…………10分 ‎∴ ∴ ‎ 即的值分别为 所以=…………12分 ‎19.解:(1)对于函数模型 当时,为增函数,‎ ‎, 所以恒成立,……2分 但当时,, 即不恒成立,……4分 故函数模型不符合公司要求.……5分 ‎(2)对于函数模型, 即 当,即时递增,……6分 为使对于恒成立, 即要,即,……7分 为使对于恒成立, 即要,……8分 即恒成立, 即恒成立,……9分 又 , 故只需即可,所以.……10分 综上,,……11分 故最小的正整数的值为.……12分 ‎20.解:圆M的标准方程为,所以圆心M(6,7),半径为5,.……1分 ‎(1)由圆心N在直线x=6上,可设.因为圆N与x轴相切,与圆M外切,‎ 所以圆N的半径为,从而,即.………3分 因此,圆N的标准方程为.………4分 ‎(2)因为直线OA,所以直线l的斜率为.………5分 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,‎ 则圆心M到直线l的距离 ………6分 因为 而 ………7分 所以,解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. ………8分 ‎(3)设 ‎ 因为,所以 ……①………9分 因为点Q在圆M上,所以 …….②‎ 将①代入②,得.………10分 于是点既在圆M上,又在圆上,………11分 从而圆与圆有公共点,‎ 所以 解得.‎ P A B C D Q M x y z 因此,实数t的取值范围是.………12分 ‎21.证明:(Ⅰ)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .…………1分 ‎∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD, ……………2分 ‎∴BQ⊥平面PAD. ……3分 ‎∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.………4分 ‎(Ⅱ)假设存在点点使得二面角大小为 ‎∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD. …………5分 如图,以Q为原点建立空间直角坐标系. ………6分 则,,,,‎ 所以 平面BQC的法向量为 …………7分 由 ,且,得 又,……8分 设平面MBQ法向量 则 ‎ ‎ 取 ∴ 平面MBQ法向量为. ……10分 ‎∵二面角M-BQ-C为30°, ‎ 即 解得 .……11分 ‎ ∴ ‎ 所以 存在点M满足时,二面角大小为,‎ 且QM的长度为 ……………12分 ‎22. 解:(Ⅰ)因为抛物线的焦点为,抛物线与椭圆C有相同的焦点 所以,又椭圆过点,所以 解得.………3分 则椭圆的标准方程为;.………4分 ‎(Ⅱ)设,[]‎ 直线AE的方程为,代入椭圆方程,可得 由,可得,,………6分 由于AE⊥AF,只要将上式的换为,可得,,………7分 由P为EF的中点,得 则直线AP的斜率为,………8分 当时,;当时,,………9分 再令,可得,当时,;‎ 当时,,………11分 当且仅当时,取得最大值;‎ 综上可得直线AP的斜率的最大值为.………12分
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