【推荐】专题2-3+抛物线-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

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2.3 抛 物 线 1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)________的点的轨迹叫做抛物线． 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 抛物线的集合描述：设点 M(x，y)是抛物线上任意一点，点 M 到准线 l 的距离为 d，则抛 物线就是点的集合 |{ }||P M MF d  ． 2．抛物线的标准方程 抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示： 图 形 标 准 方 程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   焦 点 坐 标 ( ,0)2 p ________ (0, )2 p (0, )2 p 准 线 方 程 2 px   2 px  2 py   ________ 注：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值 永远大于 0． 3．抛物线 2 2 ( 0)y px p  的简单几何性质 （1）范围：因为 0p  ，所以对于抛物线上的点 M(x，y)，有 x≥0，抛物线向右上方和 右下方无限延伸． （2）对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点． （4）离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比．由抛物线的定义可知， 离心率 1e  ． 由此，我们可得抛物线具有如下特点： （1）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴； （2）抛物线的离心率是确定的， 1e  ； （3）抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且顶点到它们的距离相等，均为 2 p ． 4．四条抛物线的简单几何性质比较 标准方程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   图 形 几 何 性 质 范 围 0,x y R 0,x y R 0,y x R 0,y x R 对称性 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称 顶 点 ________ 离心率 1e  5．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点 0 0( ),P x y 与抛物线焦点 F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物 线方 程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   焦半 0| | 2 pPF x  ________ 0| | 2 pPF y  0| | 2 pPF y  径公 式 6．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物 线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 抛 物 线 方 程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   焦 点 弦 公 式 1 2| | ( )AB p x x   1 2| | ( )AB p x x   1 2| | ( )AB p y y   1 2| | ( )AB p y y   其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物 线的通径． 对于抛物线 2 2 ( 0)y px p  ，由 ( , )2 pA p ， ( , )2 pB p ，可得| | 2AB p ，故抛物线的 通径长为 2p． K 知识参考答案： 1．距离相等 2．( ,0)2 p 2 py  3．x 轴 4．坐标原点(0，0) 5． 0| | 2 pPF x  K—重点 抛物线的定义、标准方程及简单几何性质 K—难点 抛物线标准方程的应用（以抛物线的标准方程为载体，与其他知识综合） K—易错 忽略抛物线定义中的限制条件、对定义理解不透彻、忽略直线与抛物线有 一个公共点的特殊情况 求抛物线的焦点坐标及准线方程 （1）由一次项（是 x 还是 y）及其符号（是正还是负）确定抛物线的开口方向，可得焦 点和准线的位置；（2）由一次项的系数确定 2p（大于零）的值，进而求得 2 p ，结合（1） 可得焦点坐标和准线方程． 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1） 2 16y x  ；（2） 25 4 0x y  ；（3） 2 ( 0)y mx m  ；（4） 2 3 0x y  ． 【答案】见解析． 【名师点睛】已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，应先看抛物线方程是否是标准方程， 若不是，需先化为标准方程． 抛物线定义的运用 （1）抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转 化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解． （2）有关抛物线上一点 P 到抛物线焦点 F 与到已知点 M（M 在抛物线内）的距离之和的 最小值问题，只要点 P 到抛物线准线 l 的距离与到点 M 的距离之和最小即可．由抛物线 的图形可知，过点 M 作准线 l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点 F 与到已知点 M 的距离之和最小．解题时注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、点与直线 上的点的连线中垂线段最短等． （1）已知抛物线 2 2 ( 0)y px p   上一点 M，其横坐标为 8 ，它到焦点 F 的距 离为 10，则点 M 的坐标为_____________； （2）已知点 P 在抛物线 2 8x y 上，点 ( 2,4)A  ，F 是焦点，则| | | |PF PA 的最小值为 _____________． 【答案】（1） ( 8,8) 或 ( 8, 8)  ；（2）6． （2）因为 2( 2) 8 4   ，所以点 A 在抛物线内部．如图，过点 P，A 分别作准线 l 的垂线， 垂足分别为 Q，B，则| | | |PF PQ ，易知当 A，P，Q 三点共线时，| | | |PF PA 最小，即| |AB ．易 得点 A 到准线 l 的距离为 4 ( ) 4 ( 2) 62 p      ． 【名师点睛】对于（2），若点 A 在抛物线外部，连接 AF，则 AF 与抛物线的交点 P 可使 | | | |PF PA 最小． 求抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程一般采用待定系数法：即先定位（即确定抛物线开口方向），再定量 （即确定参数 p 的值）．若无法定位，则需分类讨论． 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）经过点 ( 2, 4)  ，且以坐标轴为对称轴； （2）焦点为直线 2 3 6 0x y   与坐标轴的交点； （3）顶点在坐标原点，准线方程为 5y   ． 【答案】（1） 2 8y x  或 2x y  ；（2） 2 12y x 或 2 8x y  ；（3） 2 20x y ． 【解析】（1）因为点 ( 2, 4)  在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为 2 2y px  或 2 2 ( 0)x py p   ． 若点 ( 2, 4)  在 2 2 ( 0)y px p   上，则 2( 4) 2 ( 2)p     ，解得 4p  ； 若点 ( 2, 4)  在 2 2 ( 0)x py p   上，则 2( 2) 2 ( 4)p     ，解得 1 2p  ． 故所求抛物线的标准方程为 2 8y x  或 2x y  ． （3）因为准线方程为 5y   ，所以可设抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p  ，且 52 p  ， 10p  ， 故所求抛物线的标准方程为 2 20x y ． 【名师点睛】（1）求抛物线的标准方程时，“定位”是关键，一般结合图形确定方程适合哪 种形式，避免漏解；（2）已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程；（3）若已知抛物 线的焦点坐标或准线方程，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 的值即可． 与抛物线有关的轨迹问题 已知圆 C 的方程 2 2 10 0x y x   ，求与 y 轴相切且与圆 C 外切的动圆圆心 P 的 轨迹方程． 【答案】 2 20 ( 0)y x x  或 )0 0(y x  ． 【解析】设 P 点坐标为(x，y)，动圆的半径为 R， ∵动圆 P 与 y 轴相切，∴ R x ， ∵动圆与定圆 C： 2 25 2) 5(x y   外切，∴ 5PC R  ，∴ 5PC x  ． 当点 P 在 y 轴右侧，即 x＞0 时， 5PC x  ，点 P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则 圆心 P 的轨迹方程为 2 20 ( 0)y x x  ； 当点 P 在 y 轴左侧，即 x＜0 时，  5PC x   ，此时点 P 的轨迹是 x 轴的负半轴，即方程 )0 0(y x  ． 故点 P 的轨迹方程为 2 20 ( 0)y x x  或 )0 0(y x  ． 【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定 义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距 离，需要依据条件进行转化． 抛物线中过焦点的弦长问题 （1）斜率为 1 2 的直线经过抛物线 2 8x y 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点， 则| |AB _______； （2）过抛物线 2 2y x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若 25 12AB  ， AF BF ， 则 AF  _______． 【答案】（1）10；（2） 5 6 ． （2）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 1 2x x ，显然直线 AB 的斜率存在，设为 1( )( 0)2y k x k   ， 将 直 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 ， 消 去 y 得 2 2 2 21( 2) 04k x k x k    ① ， 则 2 1 2 2 2= kx x k  ， 因为 2 1 2 2 2 25| | ( ) 1 12 kAB p x x k       ，所以 2 24k  ，方程①即 212 13 3 0x x   ， 解得 1 1 3x  ， 2 3 4x  ，故 1 1 1 5 2 3 2 6 pAF x     ． 【名师点睛】解决此类问题的关键是“设而不求”方法的应用．解题时，设出直线与抛物线 的两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解． 直线与抛物线的位置关系 （1）若直线 : 1 1( )l y a x   与曲线 2:C y ax 恰好有一个公共点，求实数 a 的值； （2）过点 Q(4，1)作抛物线 2 8y x 的弦 AB，该弦恰被 Q 平分，求直线 AB 的方程． 【答案】（1） 1 或 4 5  或 0 ；（2） 4 15 0x y   ． 【解析】（1）因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点， 所以方程组 2 1( )1y a x y ax     ① ② 只有一组实数解． 将①代入②消去 y，得 2 2( 1) (3 2) 1 0a x a x     ③． 当 1 0a   ，即 1a   时，方程③即 1 0x   ，可得 1x   ， 1y   ，符合题意． 当 1 0a   时，由题意可得 2 2[ (3 2)] 4( 1) 0a a       ，解得 0a  或 4 5a   ． 当 0a  ，方程③即 2 2 1 0x x   ，可得 1x  ， 0y  ，符合题意； 当 4 5a   ，方程③即 21 2 1 025 5x x   ，可得 5x   ， 2y   ，符合题意． 综上，实数 a  1 或 4 5  或0 ． （2）方法 1：由题意可知，当 AB 垂直于 x 轴时，不符合题意，故直线 AB 的斜率存在． 设直线 AB 的方程为 ( 4) 1( 0)y k x k    ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 将 ( 4) 1y k x   与 2 8y x 联立，消去 x 得 2 8 32 8 0ky y k    ， 则 1 2 8y y k   ，又 1 2 2y y  ，所以 8 2k  ，即 4k  ， 所以直线 AB 的方程为 4( 4) 1y x   ，即 4 15 0x y   ． 【名师点睛】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化 为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为 0．若该方程为二次方程，则依据 根的判别式或根与系数的关系求解．同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用． 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点与定值问题是高考的常考题型，运算量较大，解题思维性较强．解决 这类问题一般有两种方法：（1）根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程 组（或不等式），消去参数，求出定值或定点坐标；（2）先利用特殊情况确定定值或定点 坐标，再从一般情况进行验证． 已知动圆过定点 A(4，0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8． （1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程； （2）已知点 B(－1，0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴 是∠PBQ 的角平分线，证明直线 l 过定点． 【答案】（1） 2 8y x ；（2）证明见解析． 又当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0，0)也满足方程 2 8y x ， 所以动圆圆心的轨迹 C 的方程为 2 8y x ． 图 1 图 2 （2）如图 2，由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b( 0k  )，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x 中，得 k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64＞0． 由根与系数的关系得，x1＋x2＝ 2 8 2bk k  ①，x1x2＝ 2 2 b k ②， 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以 1 2 1 21 1 y y x x    ，即 y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， 即(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，即 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③， 将①②代入③得 2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，即 k＝－b，此时Δ＞0， 所以直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即直线 l 过定点(1，0)． 忽略抛物线定义中的限制条件 已知点 P 到 F(4，0)的距离与到直线 5x   的距离相等，求点 P 的轨迹方程． 【错解】由抛物线的定义，可知点 P 的轨迹是抛物线． 因为焦点在 x 轴上，开口向右，焦点到准线的距离 9p  ，所以抛物线的方程为 2 18y x ． 【错因分析】点 P 到 F(4，0)的距离与到直线 5x   的距离相等，满足抛物线的定义，但 4 5  ，故此抛物线的方程不是标准方程． 【正解】设点 P(x，y)，则由题意，得 2 2( 4) | 5|x y x    ， 化简整理得 2 18 9y x  ，此即所求的轨迹方程． 【名师点睛】抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从 题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解． 对抛物线的定义理解不透彻 若动点 P 到定点 F(1，1)的距离与它到直线 :3 4 0l x y   的距离相等，则动点 P 的轨迹是 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【错解】因为动点 P 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等，所以由抛物线的定义知动 点 P 的轨迹是抛物线．故选 C． 【错因分析】错解的原因是没有掌握抛物线的定义，忽略了分析定点与定直线的位置关系： 定点 F(1，1)在定直线 :3 4 0l x y   上． 【名师点睛】抛物线的定义中要求定点在定直线之外，因此当动点 P 到定点 F 的距离与它到 定直线 l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义． 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况 求过定点 ( 11)P  , ，且与抛物线 2 2y x 只有一个公共点的直线 l 的方程． 【错解】当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意． 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 1 )1 ( )( 0y k x k    ， 由 2 ( )1 2 1 y y k x x        消去 x，得 2 2 2 2 0ky y k    ， 则 4 4 2 2 0( )k k   － ，解得 1 3 2k   ． 故所求直线 l 的方程为 ( 3 1) 2 3 1 0x y     或 ( 3 1) 2 3 1 0x y     ． 【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏 解． 当 0k  时，与抛物线方程联立消去 x，得 2 2 2 2 0ky y k    ， 则 4 4 2 2 0( )k k   － ，解得 1 3 2k   ， 此时直线 l 的方程为 ( 3 1) 2 3 1 0x y     或 ( 3 1) 2 3 1 0x y     ． 综上，直线 l 的方程为 1y  或 ( 3 1) 2 3 1 0x y     或 ( 3 1) 2 3 1 0x y     ． 【名师点睛】直线 l y kx b ： 与抛物线 2 2 ( 0)y px p  公共点的个数等价于方程组 2 2y x p b x y k      的解的个数．（1）若 0k  ，则当 0  时，直线和抛物线相交，有两个公共点； 当 0＝ 时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当 0  时，直线和抛物线相离，无公共 点．（2）若 0k  ，则直线 y b 与抛物线 2 2 ( 0)y px p  相交，有一个公共点．特别地， 当直线 l 的斜率不存在时，设 x m ，则当 0m  时，直线 l 与抛物线相交，有两个公共点； 当 0m  时，直线 l 与抛物线相切，有一个公共点；当 0m  时，直线 l 与抛物线相离，无 公共点． 1．抛物线 2 ( 0)y ax a  的焦点坐标为 A． ( ,0)a B． 1( ,0)2a C． 1(0, )4a D． 1(0, )8a 2．抛物线 21 4y x 的准线方程是 A． 1y  B． 1y   C． 1x   D． 1x  3．若抛物线的 2y ax 的焦点坐标为 (0,1) ，则 a 的值为 A． 1 4 B． 1 2 C．1 D． 2 4．顶点在原点，经过圆 2 2: 2 2 2 0C x y x y    的圆心，且准线与 x 轴垂直的抛物线方 程为 A． 2 2y x  B． 2 2y x C． 22y x D． 22y x  5．已知点 F 是抛物线 2 4y x 的焦点，点 P 在该抛物线上，且点 P 的横坐标是 2 ，则 PF  A． 2 B．3 C． 4 D．5 6．顶点在原点，且过点 ( 1,1) 的抛物线的标准方程是 A． 2y x  B． 2x y C． 2y x  或 2x y D． 2y x 或 2x y  7．O 为坐标原点，F 为抛物线 2: 4C y x 的焦点，P 为C 上一点，若 4PF  ，则△ POF 的面积为 A． 2 B． 3 C． 2 D．3 8．抛物线 21 16y x 的焦点与双曲线 2 2 13 x y m    的上焦点重合，则 m  _______________． 9．抛物线 2x my 的准线与直线 2y  的距离为3，则此抛物线的方程为_______________． 10．若 M 是抛物线 2 4y x 上一点，且在 x 轴上方， F 是抛物线的焦点，直线 FM 的倾斜 角为 60，则 FM  _______________． 11．以抛物线 2 8y x 上的任意一点为圆心作圆与直线 2 0x   相切，这些圆必过一定点， 则这一定点的坐标是_______________． 12．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）焦点在直线 3 15 0x y   上； （2）开口向下的抛物线上一点 ( ), 3Q m  到焦点的距离等于5． 13．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车空车时能通过此隧道， 现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高 4.5 米，问此车能否通过此隧道？说明理由． 14．抛物线 2 2 ( 0)y px p  上一点 0( ,8)M x 到焦点的距离是10，则 0x  A． 2 或8 B．1或9 C．1或8 D． 2 或9 15．已知抛物线 2 4y x ，以 (1,1) 为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为 A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 0x y   16．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 是侧面 1 1BB C C 内一动点，若 P 到直线 BC 与 直线 1 1C D 的距离相等，则动点 P 的轨迹是 A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 17．已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，过点 (2,0)P 的直线交抛物线于 ,A B 两点，直线 ,AF BF 分别与抛物线交于点 ,C D ，设直线 ,AB CD 的斜率分别为 1 2,k k ，则 1 2 k k  A． 1 2  B． 1 2 C．1 D． 2 18 ． 已 知 P 是 抛 物 线 2 4y x 上 的 一 个 动 点 ， 则 点 P 到 直 线 1 :3 4 12 0l x y   和 2 : 2 0l x   的距离之和的最小值是 A．1 B． 2 C．3 D． 4 19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线 2 2 14 2 x y  上，则该抛物线 的标准方程为_______________． 20．已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点，若 3PF QF  ，则 QF  _______________． 21．如图，过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 , ,A B C ，若 2BC BF ，且 3AF  ，则抛物线的方程是_______________． 22．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 (1,0)F ，抛物线 2: 2E x py 的焦点为 M ． （1）若过点 M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线 MF 与抛物线C 交于 A ， B 两点，求 OAB△ 的面积． 23．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  上有两点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ． （1）当抛物线的准线方程为 1 4x   时，作正方形 ABCD 使得边CD所在的直线方程为 4y x  ，求正方形的边长； （2）抛物线上有一定点 0 0 0( , )( 0)P x y y  ，当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时， 求证：直线 AB 的斜率是非零常数． 24．（2017 新课标全国 II 文）过抛物线 2: 4C y x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于 点 M（ M 在 x 的轴上方），l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的 距离为 A． 5 B． 2 2 C． 2 3 D．3 3 25．（2017 新课标全国 I）已知 F 为抛物线 C： 2 4y x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小 值为 A．16 B．14 C．12 D．10 26．（2016 新课标全国 II 文）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= k x （ 0k  ）与 C 交 于点 P，PF⊥x 轴，则 k  A． 1 2 B．1 C． 3 2 D． 2 27．（2016 新课标全国 I 文）在直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛 物线 C： 2 2 ( 0)y px p  于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H． （1）求 OH ON ； （2）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由． 28．（2016 新课标全国 III 文）已知抛物线C ： 2 2y x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直 线 1l ， 2l 分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P ，Q 两点． （1）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ的中点，证明 AR FQ ； （2）若 PQF△ 的面积是 ABF△ 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 29．（2017 北京）已知抛物线 C： 2 2y px 过点 P(1，1)．过点(0， 1 2 )作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点． （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点． 30．（2017 天津）设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为 1 2 ．已 知 A 是抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为 1 2 ． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）设l 上两点 P ，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ）， 直线 BQ 与 x 轴相交于点 D ．若 APD△ 的面积为 6 2 ，求直线 AP 的方程． 1．【答案】C 【解析】 2 ( 0)y ax a  可变形为 2 1 1 1, 2 , 2 4 px y pa a a      ，焦点为 1(0, )4a ．故 选 C． 3．【答案】A 【解析】因为抛物线方程可转化为 2 1x ya  ，所以焦点坐标为 1(0, )4a ，则 1 14a  ，得 1 4a  ，故选 A． 4．【答案】B 【解析】圆C 的圆心坐标为 (1, 2) ，依题意抛物线方程可设为 2y mx ，把坐标 (1, 2) 代入得 22 2m y x   ．故选 B． 5．【答案】B 【解 析】 由抛物 线方程 可知 (1,0)F ，由 点 P 的横 坐标 是 2 得 2 2y   ，即 点 (2, 2 2)P  ， 3PF  ，故选 B． 6．【答案】C 【解析】当焦点在 x 轴上时，设方程为 2y ax ，将 ( 1,1) 代入得 1a   ， 2y x   ； 当焦点在 y 轴上时，设方程为 2x ay ，将 ( 1,1) 代入得 1a  ， 2x y  ．故选 C． 7．【答案】B 【解析】设点 ( , )P x y 到准线 1x   的距离为 d ，由抛物线线定义得 4d PF  ，故 1 4x   ， 3x  ，则 2 3y   ，故△ POF 的面积 1 1 32S y    ．故选 B． 8．【答案】13 【解析】抛物线 21 16y x 的焦点为 (0,4) ，所以 23 4 13.m m    9．【答案】 2 20x y  或 2 4x y 【解析】准线方程为 4 my   ，∴| 2 | 34 m   ，∴ 20m   或 4m  ，∴ 2 20x y  或 2 4x y ． 10．【答案】 4 【 解 析 】 直 线 FM 的 方 程 为 3( 1)y x  ， 代 入 抛 物 线 方 程 并 整 理 得 ， 23 10 3 0x x   ，解得 1 2 1 , 33x x  ，又因为 M 在 x 轴上方，所以点 M 的横坐标 为3，所以 3 1 4FM    ． 12．【答案】（1） 2 60y x  或 2 20x y  ；（2） 2 8x y  ． 【解析】（1）∵直线 3 15 0x y   与 x 轴的交点为 ( 15,0) ，与 y 轴的交点为 (0, 5) ， ∴抛物线方程为 2 60y x  或 2 20x y  ． （2）∵ ( ), 3Q m  到焦点的距离等于5，∴Q 到准线的距离也等于5． ∴准线方程为 2y  ，即 2 p ＝2，∴ 4p  ，抛物线标准方程为 2 8x y  ． 13．【答案】此车不能通过隧道． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ( 3, 3)B   ， (3, 3)A  ． 设抛物线方程为 2 2 ( 0)x py p   ， 将 B 点的坐标代入得 3 2p  ，所以抛物线方程为 2 3 ( 3 0)x y y     ． 因为车与箱共高 4.5 m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 m ． 则可设抛物线上点 D 的坐标为 0( , 0.5)x  ， D' 的坐标为 0( , 0.5)x  ， 则 2 0 3 ( 0.5)x     ，解得 0 6 2x   ， 所以 0| | 2| | 6 3DD' x   ，故此时车不能通过隧道． 15．【答案】B 【解析】由题意可得直线的斜率一定存在，设斜率为 k ，直线与抛物线的交点分别为 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，所以 2 1 14y x ， 2 2 24y x ，所以 1 2 1 2 1 2 4 4 22 y yk x x y y      ， 所以所求直线的方程为 2 1 0x y   ．故选 B． 16．【答案】D 【解析】如图所示，连接 1PC ，过 P 作 PH BC 于 H ，∵ 1 1C D  平面 1 1BB C C ， 1PC  面 1 1BB C C ，∴ 1 1 1PC C D ，∴ 1PC PH ，故点 P 的轨迹是以 1C 为焦点， BC 所在 直线为准线的抛物线，故选 D． 17．【答案】B 【 解 析 】 由 题 可 得 直 线 AB 的 方 程 为 1( 2)y k x  ， 由 1 2 ( 2) 4 y k x y x     可 得 2 1 14 8 0k y y k   ，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 1 4y y k   ， 1 2 8y y   ．故直线 AC 的 方 程 为 y  1 1 ( 1)1 y xx  ， 由 1 1 2 ( 1)1 4 yy xx y x       可 得 21 1 1 1 04( 1) 1 y yy yx x     ，则 1 Cy y 4  ，所以 1 4 Cy y  ，同理可得 2 4 Dy y  ，所 以  2 1 1 2 1 2 4 4 24 D C D C D C y yk ky yx x y y y y       ，所以 1 2 1 2 k k  ．故选 B． 18．【答案】D 【解析】设抛物线的焦点为 F ，∵抛物线 2 4y x 的准线是 1x   ，∴ P 到 2 0x   的 距离等于 1PF  ，过点 F 作直线 1 :3 4 12 0l x y   是垂线，当点 P 为垂线与抛物线 的交点时，点 P 到直线 1 :3 4 12 0l x y   与 1x   的距离之和最小，点 P 到直线 1 :3 4 12 0l x y   的距离和到直线 1x   的距离之和的最小值就是 (1,0)F 到直线 3 4 12 0x y   的距离，∴P 到直线 1 :3 4 12 0l x y   和 2 : 2 0l x   的距离之和的 最小值是 3 0 12 151 1 459 16        ． 19．【答案】 2 8y x 或 2 8y x  【解析】由题意知抛物线的焦点为双曲线 2 2 14 2 x y  的顶点，即为 ( 2,0) 或 (2,0) ，因 为抛物线关于 x 轴对称，所以可设抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p   ，则 2, 42 p p  ，所以抛物线的标准方程为 2 8y x 或 2 8y x  ． 21．【答案】 2 3y x 【解析】如图，设 ,A B 在准线上的射影分别为 1 1,A B ，准线与 x 轴的交点为 H ，则 BC  12 2BF BB ，所以 1 π 6BCB  ，所以 12 2 6AC AA AF   ，所以 3CF  ，所以 F 是 AC 的中点，所以 3 2FH p  ，故所求抛物线方程为 2 3y x ． 22．【答案】（1） 0x  或 1y  或 1y x  ；（2） 2 2 ． （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由（1）可知抛物线 C 的方程为 2 4y x ，直线 MF 的方 程为 1y x   ， 联立 2 4 1 y x y x       可得 2 4 4 0y y   ，所以 1 2 4 2y y  ， 所以 1 2 1 2 22OABS OF y y  △ ． 23．【答案】（1）3 2 或5 2 ；（2）详见解析． 【解析】（1）由题意可设直线 AB 的方程为 y x b  ， 因为抛物线的准线方程为 1 4x   ，所以 1 1,2 4 2 p p  ，所以抛物线方程为 2y x ， 由 2 y x b y x     消去 x 可得 2 0y y b   ，则 1 2 1y y  ， 1 2y y b ， 所以 2 1 2 1 22 11 ( ) 4 2 8AB y y y y bk        ， AB 与 CD 的距离 4 2 bd  ，由 ABCD 为正方形可得 42 8 2 bb   ，解得 2b   或 6b   ， 所以正方形的边长为3 2 或5 2 ． （2）设直线 PA 的斜率为 PAk ，直线 PB 的斜率为 PBk ， 由 2 1 12y px ， 2 0y  02px ，相减得 1 0 1 0 1 0( )( ) ( )2y y y y p x x    ， 故 1 0 1 0 1 0 2 PAk y y p x x y y    1 0( )x x ．同理可得 2 0 2 0 2 ( )PB p y yk x x  ． 由 PA ，PB 的倾斜角互补知 PA PBk k  ，即 1 0 2 0 2 2p p y y y y    ，所以 1 2 02y y y   ． 设直线 AB 的斜率为 ABk ，由 2 2 22y px ， 2 1 12y px ， 相减得 2 1 2 1 2 1( )( ) ( )2y y y y p x x    ，所以 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( )AB y y p x x yk y x x    ． 将 1 2 0 02 0( )y y y y   代入得 1 2 0 2 ABk p p y y y    ，所以 ABk 是非零常数． 24．【答案】C 【解析】由题知 : 3( 1)MF y x  ，与抛物线 2 4y x 联立得 23 10 3 0x x   ，解 得 1 2 1 , 33x x  ， 所 以 (3,2 3)M ， 因 为 MN l ， 所 以 ( 1,2 3)N  ， 因 为 (1,0)F ， 所 以 : 3( 1)NF y x   ． 所以 M 到直线 NF 的距离为 2 2 | 3 (3 1) 2 3 | 2 3 ( 3) 1      ．故选 C． 25．【答案】A 线 的 交 点 满 足 2 2 3 4 2 2 2 4kx x k   ， 由 抛 物 线 定 义 可 知 2 1 1 2 3 4 2 1 2 4| | | | 2 kAB DE x x x x p k         2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 4 4 4 164 8 2 8 16k k k k k k         ，当且仅当 1 2 1k k   （或 1 ）时， 取等号．故选 A． 【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准 线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌 握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长 的 倾 斜 角 表 示 ， 设 直 线 的 倾 斜 角 为  ， 则 2 2| | sin pAB  ， 则 2 2 2 2| | π cossin ( + )2 p pDE    ， 所 以 2 2 2 2 2 1| | | | 4(cos sin cos p pAB DE        2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin cos) 4( )(cos sin ) 4(2 ) 4 (2 2) 16sin cos sin cos sin                 ． 26．【答案】D 【解析】因为 F 抛物线 2 4y x 的焦点，所以 (1,0)F ，又因为曲线 ( 0)ky kx   与C 交于点 P ， PF x 轴，所以 21 k  ，所以 2k  ，故选 D． 27．【答案】（1） 2 ；（2）除 H 以外直线 MH 与C 没有其它公共点． 所以 N 为OH 的中点，即 2|| ||  ON OH ． （2）直线 MH 与C 除 H 以外没有其它公共点．理由如下： 直线 MH 的方程为 xt pty 2  ，即 )(2 typ tx  ， 代入 pxy 22  得 044 22  ttyy ，解得 tyy 221  ， 即直线 MH 与C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与C 没有其它公共点． 28．【答案】（1）证明见解析；（2） 12  xy ． 【解析】由题可知 )0,2 1(F ．设 1 :l y a ， 2 :l y b ，则 0ab ， 且 2 ( , )2 aA a ， 2 ( , )2 bB b ， 1( , )2P a ， 1( , )2Q b ， 1( , )2 2 a bR  ． 记过 A， B 两点的直线为 l ，则直线 l 的方程为 0)(2  abybax ． （1）由于 F 在线段 AB 上，故 01  ab ．记 AR 的斜率为 1k ， FQ的斜率为 2k ， 则 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak    ，所以 AR FQ ． （2）设 l 与 x 轴的交点为 )0,( 1xD ， 则 1 1 1 1| || | | || |2 2 2ABFS b a FD b a x    △ ， | | 2PQF a bS △ ． 由题设可得 1 1 | || || |2 2 a bb a x    ，所以 01 x (舍去)或 11 x ． 设满足条件的 AB 的中点为 ),( yxE ． 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 DEAB kk  ，可得 )1(1 2  xx y ba ， 而 yba  2 ，所以 )1(12  xxy ． 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，所以所求轨迹方程为 12  xy ． 29．【答案】（1） 2y x ，焦点坐标为( 1 4 ，0)，准线方程为 1 4x   ；（2）证明见解析． （2）由题意，设直线 l 的方程为 1 2y kx  （ 0k  ），l 与抛物线 C 的交点为 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ． 由 2 1 2y kx y x      ，得 2 24 (4 4) 1 0k x k x    ．则 1 2 2 1 kx x k   ， 1 2 2 1 4x x k  ． 因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为 y x ，点 A 的坐标为 1 1( , )x y ． 直线 ON 的方程为 2 2 yy xx  ，点 B 的坐标为 2 1 1 2 ( , )y xx x ． 因为 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1( ) ( ) 22 2 22 kx x kx x x xy x y x y x x xy xx x x         1 2 2 1 2 1(2 2) ( )2k x x x x x     2 2 2 1 1(2 2) 4 2 0 kk k k x      ， 所以 2 1 1 1 2 2y xy xx   ，故 A 为线段 BM 的中点． 【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题 目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助 根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来 即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减 少计算量． 30．【答案】（1） 2 2 4 13 yx   ， 2 4y x ；（2）3 6 3 0x y   或3 6 3 0x y   ． 【思路分析】（1）由于 A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为 1 2 ，则 1 2a c  ， 又椭圆的离心率为 1 2 ，求出 , ,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；（2）设直线 AP 的方程为 1( 0)x my m   ，解出 ,P Q 两点的坐标，把直线 AP 的方程和椭圆方 程联立解出 B 点坐标，写出 BQ 所在直线的方程，求出点 D 的坐标，最后根据 APD△ 的面积为 6 2 ，解方程求出 m ，可得直线 AP 的方程． （2）设直线 AP 的方程为 1( 0)x my m   ， 与直线l 的方程 1x   联立，可得点 2( 1, )P m   ，故 2( 1, )Q m  ． 将 1x my  与 2 2 4 13 yx   联立，消去 x 整理得 2 2(3 4) 6 0m y my   ，解得 0y  或 2 6 3 4 my m   ． 由点 B 异于点 A ，可得点 2 2 2 3 4 6( , )3 4 3 4 m mB m m      ． 由 2( 1, )Q m  ， 可 得 直 线 BQ 的 方 程 为 2 2 2 6 2 3 4 2( )( 1) ( 1)( ) 03 4 3 4 m mx ym m m m          ， 令 0y  ，解得 2 2 2 3 3 2 mx m   ，故 2 2 2 3( ,0)3 2 mD m   ，所以 2 2 2 2 2 3 6| | 1 3 2 3 2 m mAD m m     ． 又 APD△ 的面积为 6 2 ，故 2 2 1 6 2 6 2 3 2 | | 2 m m m    ， 整理得 23 2 6 | | 2 0m m   ，解得 6| | 3m  ，所以 6 3m   ． 所以，直线 AP 的方程为3 6 3 0x y   或3 6 3 0x y   ．