2020学年高二数学上学期期末考试卷 理（含解析）

2020学年高二数学上学期期末考试卷 理（含解析）

‎2019学年度高二期末考试卷 理科数学 第I卷（选择题）‎ 一、选择题 ‎1. 命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以量词和结论一同否定.‎ 考点：全称命题和特称命题.‎ ‎2. 已知两条直线： ， ： 平行，则（ ）‎ A. -1 B. 2 C. 0或-2 D. -1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于两直线平行，故，解得，当时，两直线重合，不符合题意，故.‎ 考点：两直线的位置关系.‎ ‎3. 双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意，得，不妨设双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为，所以所求距离为，故选D．‎ 考点：1、双曲线的性质；2、点到直线的距离公式．‎ ‎4. 设函数，则（ ）‎ A. 2 B. -2 C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D ‎5. 已知双曲线： ， 为坐标原点，点是双曲线上异于顶点的关于原点对称的两点， 是双曲线上任意一点， 的斜率都存在，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 以上答案都不对 ‎【答案】B ‎【解析】设 ,则 ,因为 所以,即,选B.‎ 点睛：求定值问题常见的方法有两种 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎6. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结，则面积的最大值是（ ）‎ A. 8 B. 12 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为直线与轴、轴分别交于两点，所以，，即，，所以．根据题意分析可得要面积的最大则点到直线的距离最远，所以点在过点的的垂线上，过点作于点，易证，所以，所以，所以，所以点到直线的距离为，所以面积的最大值为，故选C．‎ 考点：1、一次函数；2、相似三角形的判定与性质．‎ ‎7. 已知是椭圆的两个交点，过点F2的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）‎ A. 16 B. 8 C. 25 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为椭圆的方程我，所以 ，由题意的定义可得的周长 ，故选A.‎ ‎8. 设，则是的（ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎..................‎ 考点：充分必要条件．‎ ‎9. 抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双曲线的另一焦点为E，‎ 因为抛物线y2=4px（p＞0）的焦点F（p，0），‎ 把x=p代入y2=4px，解得y=±2p，‎ 可取A（p，2p），又E（﹣p，0）．‎ 故|AE|=2p，|AF|=2p，|EF|=2p．‎ 所以2a=|AE|﹣|AF|=（2﹣2）p，2c=2p．‎ 则双曲线的离心率e==+1． ‎ 故答案为：B。‎ ‎10. 抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 得 令 ，易得切点的横坐标为 即切点 利用点到直线的距离公式得 ‎ 故选C ‎11. 若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知圆（x+2）2+（y﹣1）2=1的圆心（﹣2，1），半径为1，‎ 关于原点对称的圆心（2，﹣1），半径也是1，所求对称圆的方程：（x﹣2）2+（y+1）2=1‎ 故答案为：A．‎ ‎12. 已知函数（， ），若对任意的，都有成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】f′（x）=2ax+b﹣，‎ 由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；‎ ‎∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1﹣4a；‎ 令g（x）=2﹣4x+lnx（x＞0），则g′（x）=；‎ ‎∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；‎ 当x＞时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；‎ ‎∴g（x）≤g（）=1+ln=1﹣ln4＜0；‎ ‎∴g（a）＜0，即2﹣4a+lna=lna+b+1＜0；‎ 故lna＜﹣b﹣1，‎ 故答案为：C。‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13. 过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据余弦定理，所以当最小时，余弦值取得最大值，对应角取得最小值.而最小，圆心到直线的距离最大，此时，所以，所以直线的方程为.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法.题目的目标是最小值，利用余弦定理，先求出的余弦值，即，通过分析可知，当最小时，余弦值取得最大值，对应角取得最小值.而最小，圆心到直线的距离最大，此时，由此.‎ ‎14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时， ，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由，得，即，令，则当时，，即在上是减函数，，，即不等式等价为，在是减函数，偶函数是定义在上的可导函数，，在递增，由得，，或，故答案为 或.‎ ‎15. 椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴为，虚轴为，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，，即，平方可得，，由此得到，即，，由，都是正数，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎16. 设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足 ，则的面积___________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】设双曲线的方程为 ，代入点，可得 ， ∴双曲线的方程为 ，即 ‎ 设，则 ‎ ‎ ，‎ 的面积为 ‎ 即答案为3‎ 三、解答题 ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到，，根据点斜式可得到方程；（2）根据题意研究函数的单调性，从而得到函数的图像的变化趋势，寻求和x轴的交点个数即可。‎ 解析：‎ ‎（1）∵， ，‎ ‎∴， ‎ ‎∴切线方程为，即 ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 当时， ， 在上单调递增；‎ 当时， ， 在上单调递减.‎ 因在上有两个零点，‎ 所以，即.‎ ‎∵，∴，即.‎ ‎18. 已知圆，直线，且直线与圆 交于两点.‎ ‎（1）若，求直线的倾斜角；‎ ‎（2）若点满足，求此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1） 或；（2）或.‎ ‎【解析】(1)由圆C：x2＋(y－1)2＝5，得圆的半径r＝，‎ 又|AB|＝，故弦心距d＝＝.‎ 再由点到直线的距离公式可得d＝，‎ ‎∴＝，解得m＝±.‎ 即直线l的斜率等于±，故直线l的倾斜角等于或.‎ ‎(2)设A(x1，mx1－m＋1)，B(x2，mx2－m＋1)，由题意2＝可得2(1－x1，－mx1＋m)＝(x2－1，mx2－m)，‎ ‎∴2－2x1＝x2－1，即2x1＋x2＝3.①‎ 再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x2＋(y－1)2＝5，化简可得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，由根与系数关系可得x1＋x2＝.②‎ 由①②解得x1＝，故点A的坐标为(，)．‎ 把点A的坐标代入圆C的方程可得m2＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.‎ ‎19. 已知椭圆（﹥﹥0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为可得从而求得的值，进而可得求椭圆的方程；（2）直线的方程为，由点到直线距离公式可得与椭圆方程联立可得，再根据弦长公式可得，从而可得，进而可得△面积的最大值.‎ 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，‎ ‎∴所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设，，‎ ‎①当⊥轴时，为，代入，得，∴；‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由已知，得，‎ 把代入椭圆方程，整理，‎ ‎，，，‎ ‎∴ ，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 综上所述．‎ ‎∴当最大时，△面积取最大值．‎ 考点：1、待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式；2、点到直线距离公式及基本不等式求最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式、点到直线距离公式及基本不等式求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.‎ ‎20. 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的值。‎ ‎【答案】（1）；（2）3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由右顶点为得a，由渐近线方程解得b.（2）将直线方程与双曲线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用中点坐标公式求，代入直线方程得，最后求比值 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为:，所以 ，又右顶点为，所以，即 （2）直线与双曲线联立方程组消y得 的值为 ‎21. 如图所示，已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点为坐标原点)．‎ ‎（1）证明: 动点在定直线上；‎ ‎（2）作的任意一条切线(不含轴), 与直线相交于点与（1）中的定直线相交于点．证明: 为定值, 并求此定值．‎ ‎【答案】（1） ；（2）8.‎ ‎【解析】试题分析：（1）依题意可设的方程为，代人，得即，设，则有，直线的方程为的方程为，解得交点的坐标，利用，即可求得点在定直线上；（2）依据题意得，切线的方程为，代入得即．由得，分别令得得的坐标为，从而可知为定值．‎ 试题解析：（1）依题意可设的方程为，代人，得，‎ 即，设，则有，‎ 直线的方程为的方程为，解得交点的坐标为，‎ 注意到及，则有，‎ 因此点在定直线上．‎ ‎（2）依题意,切线的斜率存在且不等于．‎ 设切线的方程为，代人得，即．‎ 由得，化简整理得．故切线的方程可写为．‎ 分别令，得的坐标为，‎ 则，即为定值．‎ 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，其中解答中涉及到抛物线的方程及其几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题能力，以及推理与论证能力和数形结合思想，此类问题的解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，转化为根与系数的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ 视频 ‎ ‎ ‎ ‎