专题14-3 绝对值不等式（文理通用）（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测

专题14-3 绝对值不等式（文理通用）（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】选修4－5　不等式选讲 第03节 绝对值不等式 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 绝对值不等式 ‎1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.‎ ‎2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎2015课标1‎ ‎2016课标1,2,3‎ ‎2017课标1,3‎ 以绝对值不等式解法为主体，同时不等式证明也是命题趋势 备考重点：‎ 柯西不等式和分析法证明不等式 ‎【知识清单】‎ ‎1.绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0‎ 时，等号成立．‎ 对点练习 如果关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得,因为 ，所以 ，选C.‎ ‎2.含绝对值不等式解法 ‎（1）含绝对值的不等式|x|a的解法 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a，或x<－a}‎ ‎{x|x∈R，且x≠0}‎ R ‎（2）|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c ‎（3）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ 对点练习 ‎1. 【2018河南南阳市第一中学模拟】不等式的解集是（ ）‎ A. . B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 原不等式的解集为，故选D.‎ ‎2. 不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】1<|x+1|<3⇔1<|x+1|2<9‎ 即即，‎ 解得x∈(−4,−2)∪(0,2)‎ 本题选择D选项.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 绝对值三角不等式的应用 ‎【1-1】　若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得,因为 所以，解得实数的取值范围为，选D.‎ ‎【1-2】不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【1-3】【2018天津河西模拟】若存在实数x，使丨x-a丨+丨x-1丨≤3成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. [-2,1] B. [-2,2] C. [-2,3] D. [-2,4]‎ ‎【答案】D ‎【解析】由|x−a|+|x−1|⩾|(x−a)−(x−1)|=|a−1|，不等式|x−a|+|x−1|⩽3有解，可得|a−1|⩽3，‎ 即−3⩽a−1⩽3，求得−2⩽a⩽4，‎ 故选：D.‎ ‎【领悟技法】‎ 利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可求的最小值和型的最大值.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式】设函数 ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）若，求不等式恒成立时实数的取值范围.‎ 考点2 含绝对值的不等式解法 ‎【2-1】不等式的解集是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得： 即，解得： ，故选D.‎ ‎【2-2】若不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，，则，‎ 当时， 不成立，‎ 当时，，则，‎ 综上：不等式的解集为，选C.‎ ‎【领悟技法】‎ 含绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a∈(0，＋∞)，|x|a⇔x<－a或x>a.‎ ‎ (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.‎ ‎【触类旁通】‎ 不等式的解集是（ ）‎ A. （0，2） B. （﹣∞，0） C. （2，+∞） D. （﹣∞，0）∪（0，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 解得。‎ ‎∴不等式的解集为。‎ 答案：A。‎ 考点3 绝对值不等式恒成立问题 ‎【3-1】若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因，，解之得，即，应选答案C。‎ ‎【3-2】【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟】已知， .‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时， 解得.‎ 当时， 无解，‎ 当时， 解得.‎ ‎∴的解集为或.‎ ‎【领悟技法】‎ 不等式恒成立问题的常见类型及其解法 ‎(1)分离参数法 运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．‎ ‎(2)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．‎ 提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)>m的解集为∅，则f(x)≤m恒成立.‎ ‎【触类旁通】‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）不等式可化为，‎ 即 ，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）等价于恒成立.‎ 因为，‎ 所以实数的取值范围为.‎ 易错试题常警惕 易错典例：已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ 易错分析：本题第2小问，如果从解不等式转化为集合的包含关系求解，分类讨论复杂，而且极有可能出现讨论不全或者运算量大而致错，但是若转化为恒成立问题，则简洁很多.‎ ‎ ‎