2017-2018学年山东省临沂市高二下学期期中联考数学（文）试题-解析版

2017-2018学年山东省临沂市高二下学期期中联考数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 山东省临沂市2017-2018学年高二下学期期中联考数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部. ‎ 详解：由题意，复数，‎ 所以复数的虚部为，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算，其中正确运算复数的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎2．已知变量线性相关，且由观测数据算得样本平均数为，则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由观测数的样本平均数为，即样本中心为，验证回归直线过样本中心，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，可知观测数的样本平均数为，即样本中心为，‎ 对于D项，当时，，‎ 所以直线不可能是回归直线方程，故选D. ‎ 点睛：本题主要考查了回归直线方程的特征，即回归直线方程必经过样本中心点，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎3．‎ ‎《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）‎ A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 合情推理 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据演绎推理的概念，即可作出判断. ‎ 详解：演绎推理：就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式，‎ 故选C. ‎ 点睛：本题主要考查了演绎推理的定义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独考查了的概率不大，通过这个题考生要掌握击中推理的特点，学会选择. ‎ ‎4．在下列结构图中，“柱体、锥体、球体”与“空间几何体”的关系是（ ）‎ 逻辑的先后关系 B. 要素的从属关系 C. 并列关系 D. 平行关系 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】分析：由题意，“柱体、锥体、球体”是“空间几何体”的一部分，即可作出判断. ‎ 详解：由题意，可知：“柱体、锥体、球体”是“空间几何体”的一部分，所以它们之间应为要素的从属关系，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了结构框图的关系，正确掌握事物之间的结构关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎5．若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（ ）‎ A. 5 B. 25 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由复数的运算，求得，进而得，再根据复数模的计算公式，即可求解复数的模. ‎ 详解：由题意，复数的共轭复数满足，所以，‎ 所以复数，所以，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了复数模的运算及复数的运算，其中熟记复数的运算公式和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎6．为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面的列联表：‎ 失眠 不失眠 合计 晚上喝绿茶 ‎16‎ ‎40‎ ‎56‎ 晚上不喝绿茶 ‎5‎ ‎39‎ ‎44‎ 合计 ‎21‎ ‎79‎ ‎100‎ 由已知数据可以求得：，则根据下面临界值表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 可以做出的结论是（ ）‎ A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意给定的的值，与临界值表的数据比较，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，知，‎ 根据临界值表：可得，‎ 所以可得在犯错误的概率不超过的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”，故选C. ‎ 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用，其中掌握独立性检验的基本思想是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎7．在等差数列中，如果，且，那么必有，类比该结论，在等比数列中, 如果，且，那么必有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论. ‎ 详解：由题意，类比上述性质：在等比数列中，‎ 则由“如果，且”，则必有“”成立，故选D. ‎ 点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）. ‎ ‎8．若实数满足，给出以下说法：①中至少有一个大于；②‎ 中至少有一个小于；③中至少有一个不大于1；④中至少有一个不小于.其中正确说法的个数是（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. ‎ 详解：由题意满足，‎ 则在①、②中，当时，满足，所以命题不正确；‎ 对于③中，假设三个数列都大于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中失少有一个不大于，所以是正确的；‎ 对于④中，假设三个数列都小于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中失少有一个不小于，所以是正确的；‎ 综上可知，正确的命题由两个，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎9．如图所示，程序框图的输出值（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图，数据初始化： ；‎ 第一次循环： ；‎ 第二次循环： ；‎ 第三次循环： ；‎ 第四次循环： ；‎ 此时结束循环，输出S值为24.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10．若纯虚数满足,其中,是虚数单位，则实数的值等于（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设纯虚数，又由，得，即可利用复数相等，列出方程组求解. ‎ 详解：由题意，设纯虚数，‎ 又由，则，即，‎ 所以，所以，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了复数的基本概念，以及复数相应的应用和简单的运算，其中熟记复数的基本概念及其应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎11．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ m ‎3‎ ‎2‎ A. 变量之间呈现负相关关系 B. 的值等于5‎ C. 变量之间的相关系数 D. 由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，根据上表可知，‎ 即数据的样本中心为，‎ 把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，‎ 则，即数据的样本中心为，‎ 由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，‎ 由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C. ‎ 点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎12．某中学共有5000人，其中男生3500人，女生1500人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：‎ 附：，其中.‎ 已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们（ ）‎ A. 没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”‎ B. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”‎ C. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”‎ D. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题设收集的数据，得到男生学生的人数，进而得出的列联表，利用计算公式，求解的值，即可作出判断. ‎ 详解：由题意得，从人中，其中男生人，女生人，抽取一个容量为人的样本，其中男女各抽取的人数为人，人，‎ 又由频率分布直方图可知，每周体育锻炼时间超过4小时的人数的频率为，‎ 所以在人中每周体育锻炼时间超过4小时的人数为人，‎ 又在每周体育锻炼时间超过4小时的人数中，女生有人，所以男生有人，‎ 可得如下的的列联表：‎ 结合列联表可算得，‎ 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，‎ 故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了独立性检验的基础知识的应用，其中根据题设条件得到男女生的人数，得出的列联表，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应点的坐标为________.‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由复数的运算法则，求得，即可得到复数在复平面对应的点的坐标. ‎ 详解：由题意，复数满足，所以，‎ 所以复数对应的点的坐标为. ‎ 点睛：本题主要考查了复数的运算及复数的表示，其中利用复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎14．观察下列各式：，，，，由此可猜想，若，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：观察下列式子，右边分母组成以为首项，为公差的对称数列，分子组成以为首项，以为公差的等差数列，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，，，，‎ 可得，‎ 所以. ‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察给定的式子，发现其运算的相同性或运算规律，（2）从已知的相同性或运算规律中推出一个明企鹅的一般性的题，着重考查了考生的推理与论证能力. ‎ ‎15．某珠宝店的一件珠宝被盗，找到了甲、乙、丙、丁4个嫌疑人进行调查.甲说：“我没有偷”；乙说：“丙是小偷”；丙说：“丁是小偷”；丁说：“我没有偷”，若以上4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是_______.‎ ‎【答案】甲.‎ ‎【解析】分析：本题可才用假设法进行推理论证，即可得到结论. ‎ 详解：由题意，假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一个人说真话是矛盾的，‎ 假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷上假的，是成立，综上可知偷珠宝的人一定是甲. ‎ 点睛：本题主要考查了简单的合情推理，其中解答中作出假设法推理论证是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎16．洛萨·科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6,3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨猜想，目前谁也不能证明，更不能否定，如果对正整数按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第九项为1，则的所有可能取值的集合为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：利用地9项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出的所有可能的取值. ‎ 详解：如果正整数按照上述规则进行变换后的第9项为1，‎ 则变换中的第项为，‎ 则变换中的第7项为，‎ 则变换中的第6项为1，也可能是8，‎ 则变换中的第5项为2也可能是16，‎ 当变换中的第5项为2时，变换中的第4项是4，变换中的第3项是1或8，变换中的第2项为2或16，‎ 当变换中的第5项为16时，变换中的第4项是32或5，变换中的第3项是64或10，变换中的第2项为20或3，‎ 变换中第2项为2时，第1项为4，变换中第2项为16时，第1项为32或5，变换中第2项为3时，第1项为6，变换中第2项为20时，第1项为40，变换中第2项为21时，第1项为42，变换中第2项为128时，第1项为256，‎ 所以的所有取值为. ‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中利用变换规则，进行逆向推理验证是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. ‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足.‎ ‎（I）求复数的模；‎ ‎（II）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（I）设复数，则，由题意得，再根据复数相等即可求解. ‎ ‎（II）由（I）化简得，再由复数在复平面内对应的点在第一象限，列出方程组即可求解. ‎ 详解：（I）设复数，则， ‎ 于是，即， ‎ 所以，解得，故. ‎ ‎（II）由（I）得， ‎ 由于复数在复平面内对应的点在第一象限，‎ 所以，解得. ‎ 点睛：本题主要考查了复数的运算，以及复数相等和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的基本概念和复数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎18．）已知.‎ ‎（I）试猜想与的大小关系；‎ ‎（II）证明（I）中你的结论.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（I）由题意，可取，则，，即可猜想；‎ ‎（II）令，则，得到函数的单调性，利用单调性即可证明猜想. ‎ 详解：（I）取，则，，则有；‎ 再取，则，，则有.‎ 故猜想. ‎ ‎（II）令，则，当时，，‎ 即函数在上单调递减， ‎ 又因为，所以，‎ 即， ‎ 故. ‎ 点睛：本题主要考查了归纳猜想和利用函数的单调性证明不等关系式，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理论证能力. ‎ ‎19．随着人们生活水平的不断提高，家庭理财越来越引起人们的重视.某一调查机构随机调查了5个家庭的月收入与月理财支出（单位：元）的情况，如下表所示：‎ 月收入（千元）‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎11‎ 月理财支出（千元）‎ ‎（I）在下面的坐标系中画出这5组数据的散点图；‎ ‎（II）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（III）根据（II）的结果，预测当一个家庭的月收入为元时，月理财支出大约是多少元？‎ ‎（附：回归直线方程中，，.）‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2).‎ ‎(3) 元.‎ ‎【解析】分析：（I）根据表中的数据，即可作出散点图；‎ ‎（II）由表中数据，利用最小二乘法，求得，进而得出回归直线方程；‎ ‎（III）由（II）中的回归直线方程，令，代入回归方程，求得的值，即可作出预测. ‎ 详解：（I）散点图如下：‎ ‎ ‎ ‎（II）由表中数据可得：，，， ‎ 因此， ‎ ‎， ‎ 故关于的线性回归方程为. ‎ ‎（III）由于元千元， ‎ 令，代入回归方程， ‎ 可得千元，即元. ‎ 故可预测当一个家庭的月收入为元时，月理财支出大约是元. ‎ 点睛：本题主要考查了回归直线方程求解，以及回归直线方程的应用，其中利用最小二乘法的公式准确作出计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. ‎ ‎20．已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（I）求证：是等比数列；‎ ‎（II）求证：不是等比数列.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析.‎ ‎ (2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（I）由，则时，，两式相减，化简得到 ‎，即可得到数理是公比为的等比数列；‎ ‎（II）(方法一)由（I）知是等比数列，所以，于是，解得，即可得到数列不是等比数列. ‎ ‎ (方法二) 由（I）得，因此，求得于是假设是等比数列，则有，解得，即可得不是等比数列. ‎ 详解：（I）因为，所以当时， ‎ 两式相减得，‎ 即， ‎ 因此， ‎ 故是公比为的等比数列. ‎ ‎（II）(方法一)假设是等比数列，则有， ‎ 即. ‎ 由（I）知是等比数列，所以，‎ 于是，即，解得，‎ 这与是等比数列相矛盾， ‎ 故假设错误，即不是等比数列. ‎ ‎(方法二) 由（I）知，所以，因此. ‎ 于是， ‎ 假设是等比数列，则有， ‎ 即，解得， ‎ 这与相矛盾， ‎ 故假设错误，即不是等比数列. ‎ 点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等比数列的定义及通项公式的应用，其中根据数列的递推关系式，利用等比数列的定义得到等比数列是解答的关键，其次注意数列不是等比数列的证明方法是解答的难点，着重考查了推理与论证能力. ‎ ‎21．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.若直线的参数方程为为参数）,曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设直线与曲线相交于两点，若点的直角坐标为，求的值.‎ ‎【答案】(1)；.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（I）由直线参数方程消参数去，即可求得直线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）把直线的参数方程为为参数），曲线的直角坐标方程，求得，即可利用参数的几何意义求解结论. ‎ 详解：（I）由参数方程为参数）消去可得， ‎ 即直线的普通方程为. ‎ 由可得，因此，‎ 所以，‎ 故曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎（II）由于，令，则直线的参数方程为为参数）.‎ 将代入曲线的直角坐标方程可得， ‎ 设两点对应的参数分别为，则， ‎ 于是.‎ 故. ‎ 点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中掌握直线参数方程中的参数的几何意义是解答难点，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎22．已知函数.‎ I）若，解不等式；‎ ‎（II）若均为正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（I）当时，得到不等式.，分类讨论即可求解不等式的解集；‎ ‎（II） 由于均为正实数，所以，利用基本不等式求得最小值，即可作出证明. ‎ 详解：（I）当时，不等式即为. ‎ 若，则，解得； ‎ 若，则，解得； ‎ 若，则，无解. ‎ 综上，不等式的解集为. ‎ ‎（II） 由于均为正实数，所以，‎ 而，‎ 当且仅当，即时取等号. ‎ 故. ‎ 点睛：本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及基本不等式求最值的应用，其中构造基本不等式的条件，合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，推理与论证能力. ‎