2017-2018学年湖南省益阳市箴言中学高二上学期12月月考数学理试题

2017-2018学年湖南省益阳市箴言中学高二上学期12月月考数学理试题

2017-2018 学年湖南省益阳市箴言中学高二上学期 12 月月考 理科数学试题 时量：120 分钟 总分：150 分 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分） 1、若 ，则下列正确的是(　　) A、 B、 C、 D、 2、已知点 A（3,1）、B（－4,6），且直线 与线段 AB 相交，则 的取值范围 是（ ） A、 B、 C、 D、(－∞，－7)∪(24，＋∞) 3、下列结论正确的是（ ） A、当 且 时， B、当 时， C、当 时， 的最小值是 2 D、当 时， 无最大值 4、以下关于命题的说法：①“若 ，则函数 在其定义 域内是减函数”是真命题；②命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”；③命题“若 都是偶数，则 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若 ，则 ”与命题“若 ，则 ”等价。其中正确的个数是（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 5、下列叙述中正确的是（ ） A、“ , 恒成立”的充分条件是“ 且 ” B、平面内到定点 F 与到定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线 C、命题“对任意 ，有 ”的否定是“存在 ，有 ” D、“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件 6、设正四面体 ABCD 的棱长为 a，E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AE→ AF→ 的值为(　　) A、 B、 C、 D、 3 4 7、函数 的图象在点(1，－2)处的切线方程为(　　) ba > 22 ba > bcac > 22 bcac > cbca −>− 023 =+− myx m )24,7(− [ ]24,7− [ ]7,24− 0>x 1≠x 2lg 1lg ≥+ xx 0>x 21 ≥+ x x 2≥x xx 1+ 20 ≤< x xx 1− 0log2 >a )1,0(log)( ≠>= aaxxf a 0=a 0=ab 0≠a 0≠ab yx, yx + Ma∈ Mb∉ Mb∈ Ma∉ 2 0ax bx c+ + ≥ Rx∈ 0>a 2 4 0b ac− ≤ l x R∈ 2 0x ≥ x R∈ 2 0x ≥ 3>k 133 22 =+−− k y k x • 2 4 1 a 2 2 1 a 2a 2a x xxxf 2ln)( −= A、2x－y－4＝0 B、2x＋y＝0 C、x－y－3＝0 D、 8、已知双曲线 C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 ,且与椭圆 有公共焦点，则 C 的方程为( ) A． B． C． D． 9、对于实数 x，规定[x]表示不大于 x 的最大整数，那么不等式 4[x]2－36[x]＋45＜0 成立 的 x 的取值范围是(　　) A、 B、[2，8] C、[2，8) D、[2，7] 10、设抛物线 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线与抛物线相交于 两 点，且点 恰为 的中点，过点 作 轴的垂线与抛物线交于点 ，若 则直线的 方程为（ ） A. B. C. D. 11、已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆 和双曲线 ，P 是 它们的一个交点，则△PF1F2 的形状是 (　　) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、随 m，n 的变化而变化 12、已知函数 与函数 的图像上至少存在一 对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ） A、 . B、 C、 D、 二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分） 13、设 u，v 分别是平面 α，β 的法向量，u＝(－2,2,5)。当 v＝(3，－2,2)时，α 与 β 的位置 关系为________；当 v＝(4，－4，－10)时，α 与 β 的位置关系为________． 14、已知 p：x－1 x ≤0，q：4x＋2x－m≤0，若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范围是 ________. 01=++ yx 2 2 2 2 1x y a b − = 5 2y x= 2 2 112 3 x y+ = 2 2 18 10 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = )2 5,2 3( )1(12 2 >=+ mym x )0(12 2 >=− nyn x     + 2,2ln4 5     +− 2ln4 5,2ln2     ++ 2ln2,2ln4 5 [ ]2,2ln2 − 15、设 满足 ，若目标函数 （ ）的最大值为 ， 则 的最小值是 。 16 、 已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 当 时 ， ， ， ， ，则 的大小关 系是 。 三、解答题（共计 70 分） 17、(满分 10 分)已知命题 p：“方程 x2 a－1＋ y2 7－a＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”；命题 q： “∃x∈R，使得 x2－(a－1)x＋1<0”. (1)若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； (2)若命题 p∧q 为真命题，求实数 a 的取值范围． 18、(满分 10 分)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，函数 F(x)＝f(x)－x 的两个零点为 m， n(m0 的解集； (2)若 a>0，且 0> ba 12 ba 32 + )(xf R )0,(−∞∈x 0)()( <′+ xfxxf )3(3 3.03.0 fa •= )3(log3log ππ fb •= )9 1(log9 1log 33 fc •= cba ,, x )(xp x =)(xp )239)(1(2 1 xxx −+ x x x )(xq )(xq    ≤≤∈ ≤≤∈− ∗ ∗ )127,(,160 )61,(,235 xNxx xNxx x )(xf x （2）试问 2017 年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 20、(满分 12 分)如图 1 所示，正△ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A－DC－B，如图 2 所示． (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 E－DF－C 的余弦值； (3)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 AP⊥DE？证明你的结论． 21、（满分 13 分）已知点 在椭圆 上，设 分别为椭圆的 左顶点、上顶点、下顶点，且点 到直线 的距离为 ． （1）求椭圆 的方程；（2）设 为椭圆上的两点，且满足 ，求证： 的面积为定值，并求出这个定值． 22、(满分 13 分)已知函数 （1）讨论函数 的单调性； （2）若对任意的 ，总有 ，求 的取值范围。 (2,3) 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > , ,A B C C AB 4 7 7 b C 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )M x y N x y x x≠ 2 2 1 2 1 2 2 2 a x x b y yOM ON a b +• = +   MON∆ .1ln)1()( 2 ++−= axxaxf )(xf 021 >> xx 2)()( 21 21 >− − xx xfxf a 理科数学答案 一、1、D。2、B。3、B。4、C。5、D。6、A。7、C。8、B。9、C。10、B。11、B。12、A。 二、13、α⊥β；α∥β。14、m≥6。15、 。 16、 。 三、17、　(1)若命题 p 为真命题，则Error!，∴10， ∴a2－2a－3>0，∴a>3 或 a<－1.又∵10，即 a(x＋1)(x－2)>0. 当 a>0 时，不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<－1 或 x>2}； 当 a<0 时，不等式 F(x)>0 的解集为{x|－10，且 00.∴f(x)－m<0，即 f(x)0，当 5> (2)以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2 3，0)， E(0，3，1)，F(1，3，0)，3 分]易知平面 CDF 的法向量为DA → ＝(0,0,2)，设平面 EDF 的法向 量为 n＝(x，y，z)，则Error!即Error!取 n＝(3，－ 3，3)，cos〈DA → ，n〉＝ DA → ·n |DA → |·|n| ＝ 21 7 ，∴ 二面角 E－DF－C 的余弦值为 21 7 。 (3)设 ，得 ，又 。由 ，∴BP → ＝1 3BC → 。故 P 为线段 BC 上靠近点 B 的三等分点时，使 AP⊥DE. 21、（1）直线 的方程为 ，点 ，∴点 到直线 的距离 ，得 ．又点 在椭圆上 得 ，故椭圆的 的方程为 。 （2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，并整理得 ． 得 ， ， ， 又 ，则 ， 整理，得 ，则 ，即 ∵ ＝ ． 又点 到直线 的距离 ， （定值）。 23、（1）定义域： ， ①当 时， ， 在 上为增函数。 ②当 时， ， 在 上为减函数。 ③当 时， 在 上为增函数， 在 上为减函数。 （2）由已知得 知 在 上为增函数。 BCBP λ= )2,32,22( −−= λλAP )1,3,0(=DE 0=• DEAP ⇒ 3 1=λ AB 1x y a b + =− (0, )C b− C AB 2 2 2 4 7 7 abd b a b = = + 3 2 0a b− = (2,3) ⇒ 2 2 4 9 1a b + = 4, 2 3a b= = C 2 2 116 12 x y+ = MN y kx m= + 2 2 2(3 4 ) 8 4 48 0k x kmx m+ + + − = 0>∆ 2 212 16 0k m+ − > 221 43 8 k kmxx + −=+ 2 1 2 2 4( 12) 3 4 mx x k −= + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 48( )( ) ( ) 3 4 m ky y kx m kx m k x x km x x m k −= + + = ⋅ + + + = + 1 2 1 2OM ON x x y y⋅ = +  2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 16 12 16 12 a x x b y y x x y yx x y y a b + ++ = =+ + 1 2 1 23 4 0x x y y+ = 2 2 2 2 2 4( 12) 3 483 4 03 4 3 4 m m k k k − −⋅ + ⋅ =+ + 2 26 8m k= + MN 21 2 21 2 4)(1 xxxxk −+⋅+= m k 2138 + O MN 21 || k md + = 342 1 =•=∆ dMNS MON ),0( +∞ x aaxxf 12)( 2 −+=′ 1≥a 0)( >′ xf )(xf ),0( +∞ 0≤a 0)( >′ xf )(xf ),0( +∞ 10 << a )(xf ),2 1( +∞− a a )(xf )2 1,0( a a− 2211 2)()( xxfxxf −>− )(xf ),0( +∞ 设 ，则 即 ， 恒成立。 利用导数知识或基本不等式得 ，故 。 xxfxg 2)()( −= ,0221)( ≥−+−=′ axx axg 12 12 2 + +≥ x xa ),0( +∞∈x 2 13)12 12( max2 +=+ + x x 2 13 +≥a