福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

漳平一中 2019-2020 学年第一学期第一次月考高二数学试题 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.已知 的取值如下表所示,若 与 线性相关,且 ,则 （） x 0 1 3 4 y A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求得样本中心点，然后利用回归直线过样本中心点即可得最终结果. 【详解】由题意可得： ， 回归直线 过样本中心点， 则 ，解得 ， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线过样本中心点，属 于简单题目. 2.随机调查某校 50 个学生的午餐费,结果如下表,这 50 个学生午餐费的平均值和方差分别是 () 餐费 元 3 4 5 人数 10 20 20 A. 4, B. 4, C. , D. , ,x y y x 0.5y x a= + a = 2.2 4.3 4.8 6.7 3.5 2.2 4.8 3.2 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.72, 4.54 4x y + + + + + += = = = 0.5y x a= + 4.5 0.5 2 a= × + 3.5a = ( ) 0.6 0.6 4.2 0.56 4.2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中的数据，求出它们的平均数和方差即可. 【详解】根据题意，得这 50 个学生午餐费的平均值是： ， 方差是： ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关求一组数据的平均数和方差的问题，涉及到的知识点有平均数和 方差的公式，属于简单题目. 3.抛物线 顶点在原点，对称轴是 轴，点 在抛物线上，则抛物线的方程为() A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题意设出抛物线的方程 ，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲 线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案. 【详解】根据题意设出抛物线的方程 ， 因为点 在抛物线上， 所以有 ，解得 ， 所以抛物线的方程是： ， 故选 B. 的 0.56 1 (3 10 4 20 5 20) 4.250x = × + × + × = 2 2 2 21 [10 (3 4.2) 20 (4 4.2) 20 (5 4.2) ] 0.5650s = × − + × − + × − = x ( 5,2 5)− 2 2y x= − 2 4y x= − 2 2y x= 2 4y x= − 2 36y x= − 2 ( 0)y mx m= ≠ 2 ( 0)y mx m= ≠ ( 5,2 5)− 20 5m= − 4m = − 2 4y x= − 【点睛】该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题，涉及到的知识点有根据抛物线所过的 一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题，注意开口方向不明确时抛物线方程的 设法，属于简单题目. 4.一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是（） A. 至多有一次中靶 B. 至少有一次中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中 【答案】A 【解析】 【分析】 直接根据对立事件的定义，可得事件“两次都中靶”的对立事件，从而得出结论. 【详解】根据对立事件的定义可得， 事件“两次都中靶”的对立事件是：至多有一次中靶， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关对立事件的选取择问题，涉及到的知识点有对立事件的定义，属 于简单题目. 5.连续掷两次骰子，先后得到的点数 为点 的坐标，那么点 在圆 内 部的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 所有的点 共有 个，用列举法求得其中满足 的点 有 8 个， 由此求得点 P 在圆 内部的概率. 【详解】所有的点 共有 个， 点 P 在圆 内部，即点 满足 ， ,m n ( , )P m n P 2 2 17x y+ = 1 3 2 5 2 9 4 9 ( , )P m n 6 6 36× = 2 2 17x y+ < ( , )P m n 2 2 17x y+ = ( , )P m n 6 6 36× = 2 2 17x y+ = ( , )P m n 2 2 17x y+ < 故满足此条件的点 有： 共 8 个， 故点 P 在圆 内部的概率是 ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式， 在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键. 6.在 中，已知 ，且 ，则 的轨迹方程是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 据正弦定理，将 化为 ，判断出点 的轨迹是以 、 为焦 点的双曲线的左支，根据数据求出其方程即可． 【 详 解 】 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 即 ，由双曲线的定义可知：点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的 左支，且 ， ， . 顶点 的轨迹方程为 ，故选 B 【点睛】本题考查双曲线轨迹方程的求解，同时也考查三角形正弦定理边角互化思想的应用， 属于基础题. 7.方程 表示椭圆的必要不充分条件是（　　） A. m∈（﹣1，2） B. m∈（﹣4，2） C. m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2） ( , )P m n (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2) 2 2 17x y+ = 8 2 36 9 = ABC∆ ( 4,0), (4,0)A B− sin sinA B− = 1 sin2 C C 2 2 14 12 x y+ = 2 2 1( 2)4 12 x y x− = < − 2 2 112 4 x y− = 2 2 1( 1)12 4 x y y− = ≠ 1sin sin sin2A B C− = 1 2a b c− = C A B 1sin sin sin2A B C− = 1 2a b c− = 4 8CA CB AB− = < = C A B 2a′ = 4c′ = 2 2 2 12b c a∴ = − ′ =′ ′ ∴ C 2 2 1( 2)4 12 x y x− = < − 2 2 14 2 x y m m + =+ − D. m∈（﹣1，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】方程 表示椭圆的充要条件是 ， 即 ，因为 ， 所以方程 表示椭圆的必要不充分条件是 ； 故选 B. 8.与双曲线 有相同渐近线，且与椭圆 有共同焦点的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由椭圆焦点可得所求双曲线 ，且焦点在 轴上，设双曲线为 ， 故 ，所以所求双曲线方程为 . 考点：双曲线与椭圆. 9.若直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则 的取值为() A. B. 2 2 14 2 x y m m + =+ − 4 0 {2 0 4 2 m m m m + > − > + ≠ − ( 4, 1) ( 1,2)m∈ − − ∪ − ( 4, 1) ( 1,2) ( 4,2)− − ∪ − ⊂ − 2 2 14 2 x y m m + =+ − ( 4,2)m∈ − 2 2 12 x y− = 2 2 18 2 y x+ = 2 2 12 4 x y− = 2 2 12 4 − =y x 2 2 14 2 x y− = 2 2 14 2 − =y x 6c = y 2 2 2 xy λ− = 2 6, 2λ λ λ+ = = 2 2 12 4 − =y x 1y kx= − 2 2 14 9 x y− = k 10 2k = ± 3 2k = ± C. 或 D. 或 或 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ， 得 ， 则 该 方 程 只 有 一 解 ， 分 和 两种情况讨论可解得 的值. 【详解】由 得 ， 当 时，即 时，此时求得 ， 满足直线与双曲线相交，只有一个公共点； 当 时，即 时， ， 解得 ，即 ， 此时直线与双曲线相切，只有一个公共点， 综上，满足条件 的值是 或 ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线只有一个公共点时直线斜率的取值问题，注意分二 次项系数等于零和不等于零两种情况来讨论，属于简单题目. 10.若椭圆 与直线 交于 两点,过原点与线段 AB 中点的 直线的斜率为 ,则 () A. B. C. D. 2 的 10 2k = ± 3 2k = ± 10 2k = ± 3 2k = ± 0k = 2 2 1 14 9 y kx x y = − − = 2 2(9 4 ) 8 40 0k x kx− + − = 29 4 0k− = 29 4 0k− ≠ k 2 2 1 14 9 y kx x y = − − = 2 2(9 4 ) 8 40 0k x kx− + − = 29 4 0k− = 3 2k = ± 5x k= 29 4 0k− ≠ 3 2k ≠ ± 2 264 160(9 4 ) 0k k∆ = + − = 2 5 2k = 10 2k = ± k 3 2k = ± 10 2k = ± 2 2: 1C mx ny+ = 2 1 0x y+ − = ,A B 2 m n = 1 2 2 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 细查题意，把 代入椭圆方程 ，得 ，整理得出 ，设出点 的坐标，由根与系数的关系可以推出线段 的中点坐标，再由过原点与线段 的中点的直线的斜率为 ，进而可推导出 的值. 【详解】联立椭圆方程 与直线方程 ， 可得 ， 整理得 ， 设 ， 则 ， 从而线段 的中点的横坐标为 ，纵坐标 ， 因为过原点与线段 中点的直线的斜率为 ， 所以 ， 所以 ， 故选 D. 【点睛】该题是一道关于直线与椭圆的综合性题目，涉及到的知识点有直线与椭圆相交时对 应的解题策略，中点坐标公式，斜率坐标公式，属于简单题目. 11.已知 为抛物线 上一个动点， 为圆 上一个动点，那么点 到点 的距离与点 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） 1 2y x= − 2 2 1mx ny+ = 2 2(1 2 ) 1mx n x+ − = 2( 2 ) 2 2 1 0m n x nx n+ − + − = ,A B AB AB 2 m n 2 2 1mx ny+ = 2 1 0x y+ − = 2 2(1 2 ) 1mx n x+ − = 2( 2 ) 2 2 1 0m n x nx n+ − + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2 2 2 nx x m n + = + AB 1 2 0 2 2 2 x x nx m n += = + 0 01 2 2 my x m n = − = + AB 2 2 2 2 2 2 m mm n n n m n + = = + 2m n = P 2 4y x= Q ( )22 4 1x y+ − = P Q P A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知 到 准线的距离等于点 到焦点的距离，进而问题转化为求点 到点 的距离与点 到抛物线的 焦点距离之和的最小值，根据图象可知当 三点共线时 到点 的距离与点 到抛物线 的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点 的距离减去圆的半径. 【详解】抛物线 的焦点为 ， 圆 的圆心为 ，半径 ， 根据抛物线的定义可知点 到准线的距离等于点 到焦点的距离， 进而推断当 三点共线时， 到点 的距离与点 到抛物线的焦点距离之和的最小值为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值， 属于中档题. 与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的 转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最 短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直 线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 2 5 1− 2 5 2− 17 1− 17 2− P P P Q P , ,P Q F P Q P F 2 4y x= ( )1,0F ( )22 4 1x y+ − = ( )0,4C 1r = P P , ,P Q F P Q P 17 1FC r− = − 12.过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交 抛物线 于点 ，若 是线段 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用 O 为 的中点，E 为 P 的中点，可得 OE 为△P 的中位线，从而可求|P |，再设 P（x，y） 过点 作 x 轴的垂线，由勾股定理得出关于 a， c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为 ，则 的坐标为（c，0） 因为抛物线为 y2=4cx，所以 为抛物线的焦点 因为 O 为 的中点，E 为 P 的中点，所以 OE 为△P 的中位线， 属于 OE∥P 因为|OE|=a，所以|P |=2a 又 P ⊥P ，| |=2c 所以|P |=2b 设 P（x，y），则由抛物线的定义可得 x+c=2a， ∴x=2a﹣c 过点 作 x 轴的垂线，点 P 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理 y2+4a2=4b2，即 4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2） 得 e2﹣e﹣1=0， ∴e= ． 故选：A． 2 2 2 2 1x y a b − = ( )1 ,0F c− 2 2 2x y a+ = E 1F E 2 4y cx= P E 1F P 1 5 2 + 1 3 2 + 3 5 2 + 5 2 1 2F F 1F 1 2F F 1F 1F 2F 2F 2F 1 2F F 1F 1 2F F 2F 2F 2F 1F 1 2F F 1F 1F 5 1 2 + 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的 离心率的方程，得到 a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)， 常见有两种方法：①求出 a,c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐 次式，转化为 a,c 的齐次式，然后转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 e (e 的取值范围)． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13.已知某大学大一 500 人，大二 750 人，大三 850 人．为了解该大学学生的身体健康状况， 该大学负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若在大二学生中随机抽取了 50 人， 试问这次抽样调查抽取的人数是_________人． 【答案】140 【解析】 【分析】 根据条件求出抽取比例，结合比例关系进行求解即可. 【详解】设这次抽样调查抽取的人数是 人， 因为大一 500 人，大二 750 人，大三 850 人， 所以总人数为 （人）， 因为大二学生中随机抽取了 50 人， 所以 ，解得 （人）， 故答案是：140. 【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有每个个体被抽到的概率是相 等的，建立等量关系式求得结果. 14.已知抛物线 的焦点是双曲线 的右焦点，则双曲线的渐近线方程 为_____． 【答案】 【解析】 ce a = x 500 750 850 2100+ + = 50 2100 750 x = 140x = 2 8y x= 22 2 1( 0)3 yx aa − = > 3y x= ± 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，可得出 的值，由此可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】抛物线 的焦点为 ，所以 ， 因此双曲线的渐近线方程为 【点睛】本题考查双曲线与抛物线的坐标，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，解题时 要结合已知条件求出双曲线的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 15. 是双曲线 右支上一点， 分别是圆 和 上的点，则 的最大值为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】 注意两个圆的圆心分别是双曲线的两个焦点，利用双曲线定义做，连接 与左焦点 延长与 下 半 圆 交 于 点 ， 交 上 半 圆 于 点 ， 显 然 是最大值. 【详解】圆 的圆心是 ，半径是 ， 圆 的圆心是 ，半径是 ， 连接 与左焦点 延长与下半圆交于 点， 交上半圆于 点， 显然 是最大值， 故答案是：6. 【点睛】该题考查的是有关双曲线上的点到两个元上的点的距离的差的最大值问题，在求解 的过程中，涉及到的知识点有点与圆上的动点的距离的最大值与最小值等于其到圆心的距离 与半径的和与差，双曲线的定义，属于简单题目. a 2 8y x= (2,0) 2 23 2 , 1a a+ = = 3y x= ± P 2 2 115 yx − = ,M N 2 2( 4) 4x y+ + = 2 2( 4) 4x y− + = PM PN− P 1F M 2PF N 1 2( 2) ( 2) 2 4PM PN PF PF a− = + − − = + 2 2( 4) 4x y+ + = ( 4,0)− 2 2 2( 4) 4x y− + = (4,0) 2 P 1F M 2PF N 1 2( 2) ( 2) 2 4 6PM PN PF PF a− = + − − = + = 16.已知离心率为 的椭圆 ： 和离心率为 的双曲线 ： 有公共的焦点 , ,P 是它们在第一象限的交点,且 ,则 的最小值为__________________. 【答案】 【解析】 分析】 由题意设焦距为 ，椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ， 在双曲线的右支上，由已 知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 ，由此能求出 的最小值. 【详解】由题意设焦距为 ，椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ， 在双曲线的右支上， 由椭圆的定义 ， 由双曲线的定义 ， 所以有 ， ， 因为 ， 由余弦定理可得 ， 整理得 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 故答案是： . 【 1e 1C 2 2 1 12 2 1 1 1( 0)x y a ba b + = > > 2e 2C 2 2 2 22 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F 1 2 60F PF °∠ = 2 2 1 2e e+ 2 2 3+ 2c 12a 22a P 2 2 2 1 23 4a a c+ = 2 2 1 2e e+ 2c 12a 22a P 1 2 12+ =PF PF a 1 2 22− =PF PF a 1 1 2 = +PF a a 2 1 2 = −PF a a 1 2 60F PF∠ =  2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) 4a a a a a a a a c+ + − − + − = 2 2 2 1 23 4a a c+ = 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 33 1 3 2 31 1 2 14 4 4 4 4 4 2 2 a a a a a a a ac ce e a a a a a a a a + + ++ = + = + = + ⋅ + ⋅ ≥ + ⋅ = + = 2 2 2 1 2 2 1 2 3a a a a = 2 2 3+ 【点睛】该题考查的是有关根据共焦点的椭圆和双曲线相交，在相应的焦点三角形中，利用 题中所给的条件，求其离心率的运算式的最值的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，双曲 线的定义，余弦定理，基本不等式，属于简单题目. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.蚌埠市某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个科组各选出 名学生参加高校自主招生数 学选拔考试，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是 ，乙组学生成 绩的中位数是 ． （1）求 和 的值； （2）计算甲组 位学生成绩的方差 ； （3）从成绩在 分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率． 【答案】（1） ， ；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）平均数是 名学生的成绩相加除以 ，中位数是将 为学生的成绩按由小到大的顺序排 列，第 个成绩就是中位数； （2）根据上一问的平均数，写出方差的公式 ； （3）将甲组和乙组的 分以上的学生分别标号，列举出所以抽取 名学生的基本事件的个数， 从中数出至少有 名学生的基本事件的个数，然后相除，即得结果． 【详解】（1） 甲组学生的平均分是 ， ， . 乙组学生成绩的中位数是 ， ； 7 85 83 x y 7 2S 90 5x = 3y = 40 7 10 7 7 7 4 ( )7 22 1 1 7 i i S x x = = −∑ 90 2 1  85 ( )92 96 80 80 85 79 78 857 x+ + + + + + +∴ = 5x∴ =  83 3y∴ = （2）甲组 位学生成绩的方差为： ； （3）甲组成绩在 分以上的学生有两名，分别记为 、 ， 乙组成绩在 分以上的学生有三名，分别记为 、 、 ． 从这五名学生任意抽取两名学生共有 种情况： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 . 其中甲组至少有一名学生共有 种情况： 、 、 、 、 、 、 . 记“从成绩在 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件 ， 则 ． 答：从成绩在 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为 ． 【点睛】本题主要考查利用茎叶图计算出样本的平均数、中位数与方差，同时也考查了古典 概型概率公式的计算，考查计算能力，属于中等题. 18.某购物中心为了了解顾客使用新推出 某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了 位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图如图所示，年龄落在区间 内的频率之比为 . （1） 求顾客年龄值落在区间 内的频率; （2） 拟利用分层抽样从年龄在 的顾客中选取 人召开一个座谈会，现从这 人中选出 人，求这两人在不同年龄组的概率. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 试题分析：(1) 设区间 内的频率为 ,则区间 内的频率分别为 和 的 7 ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 21 7 11 0 0 6 7 5 407S  = + + + + − + − + − =  90 A B 90 C D E 10 ( ),A B ( ),A C ( ),A D ( ),A E ( ),B C ( ),B D ( ),B E ( ),C D ( ),C E ( ),D E 7 ( ),A B ( ),A C ( ),A D ( ),A E ( ),B C ( ),B D ( ),B E 90 M ( ) 7 10P M = 90 7 10 100 [ ) [ ) [ ]55,65 , 65,75 , 75,85 4: 2:1 [ ]75,85 [ ) [ )55,65 , 65,75 6 6 2 0.05 8 15 [ ]75,85 x [ ) [ )55,65 , 65,75 4x ,由频率之和等于 ，列出方程解之即可；（2）根据题意得，需从年龄在 中分别抽取 人和 人，写出从这 人中选出 人的所有基本事件，共 种，从中找出这两人 在不同年龄组的所有基本事件，求概率即可. 试题解析： （1）设区间 内 频率为 , 则区间 内的频率分别为 和 .依题意得 ,解得 ,所以区 间 内的频率为 . （2）根据题意得，需从年龄在 中分别抽取 人和 人，设在 的 人 分别为 ,在 的 人分别为 ,则所抽取的结果共有 种 , .设“这两人在不同年龄组” 为事件 ,事件 包含的基本事件有 种: . 则 ,所以这两人在不同年龄组的概率为 . 考点：1.频率分布直方图；2.古典概型. 19.已知椭圆的焦距为 2，离心率 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 P 是椭圆上一点，且 ，求△F1PF2 的面积． 【答案】（Ⅰ） 或 （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由已知可得 ，再由离心率求得 ，结合隐含条件求得 的值，从而求得椭圆的 方程； 的 2x 1 [ ) [ )55,65 , 65,75 4 2 6 2 15 [ ]75,85 x [ ) [ )55,65 , 65,75 4x 2x ( )0.004 0.012 0.019 0.03 10 4 2 1x x x+ + + × + + + = 0.05x = [ ]75,85 0.05 [ ) [ )55,65 , 65,75 4 2 [ )55,65 4 a b c d, ,, [ )65,75 2 ,m n 15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,a b a c a d a m a n b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , ,b d b m b n c d c m c n d m d n m n A A 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , ,a m a n b m b n c m c n d m d n ( ) 8 15P A = 8 15 1 2e = 1 2 60F PF∠ =  2 2 14 3 x y+ = 2 2 14 3 y x+ = 3 1c = 2a = b （Ⅱ）在焦点三角形中利用余弦定理求得|PF1||PF2|=4，代入三角形的面积公式得答案. 【详解】（Ⅰ）椭圆方程可设为 且 c=1，又 ，得 a=2， ∴b2=a2-c2=4-1=3， ∴椭圆的方程为 或 . （Ⅱ）在△PF1F2 中，由余弦定理可得： ∠F1PF2， 即 2|PF1||PF2|×cos60°， ∴4=16-3|PF1||PF2|，即|PF1||PF2|=4． ∴△F1PF2 的面积 S= |PF1||PF2|sin60°= ． 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆焦 点三角形的面积，余弦定理，属于简单题目. 20.已知点 满足 ,设点 M 的轨迹是曲线 C． （1）求曲线 C 的方程． （2）过点 且斜率为 1 的直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求 （O 为坐标原点）的面 积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的定义，以及式子的意义，可以判断出点的轨迹是以点 为焦点的抛 物线，从而求得 ，进而得到抛物线的方程； （2）联立方程组，利用韦达定理求得 ，利用三角形的面积公式求解即 可. 2 2 2 2 2 2 2 21 1x y y x a b a b + = + =或 1 2 ce a = = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 14 3 y x+ = 2 2 2 1 2 1 24 | | 2c PF PF PF PF cos= + − 2 1 2 1 24 ( ) 2PF PF PF PF= + − − 1 2 1 34 32 2 × × = ( , )M x y 2 2( 1) | 1|x y x− + = + (2,0)D AOB∆ 2 4y x= 4 3 ( )1,0F 2p = 1 2 1 24, 8y y y y+ = = − 【详解】（1）由已知得点 M 的轨迹是以点 为焦点的抛物线 ∴ ∴ 所以曲线 的方程为 （2）联立 得 . 【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据定义求曲线方程，直线与 抛物线的位置关系，对应三角形的面积公式，属于简单题目. 21.已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，且 （1）求双曲线 C 的方程； （2）已知直线 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B 且线段 AB 的中点在圆 上，求 m 的值 【答案】（1） （2）±1 【解析】 【分析】 （1）根据双曲线的简单几何性质，即可求得 和 的值，求得双曲线的方程； （2）将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得 中点 M 坐标，代入 圆的方程，即可求得 的值. 【详解】（1）由题意， ，解得 ，c= ． ∴ ． ( )1,0F 12 p = 2p = c 2 4y x= 2 4 2 y x y x  =  = − 2 4 8 0y y− − = 1 2 1 24, 8y y y y+ = = − 2 1 2 1 2 1 2 1 | | ( ) 4 16 32 4 32ABFS OD y y y y y y= ⋅ − = + − = + = 2 2 2 2 1x y a b − = 3 2 2 3 a c = 0x y m− + = 2 2 5x y+ = 2 23 3 12 4 x y− = a b AB m 2 3 2 3 c a a c  =  = 6 3a = 2 2 2 2 2 42 3 3b c a= − = − = ∴双曲线 C 的方程为 ； （2）由 ，得 3x2-6mx-3m2-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=2m，又中点在直线 x-y+m=0 上， ∴中点坐标为（m，2m），代入 x2+y2=5 得 m=±1，满足判别式△＞0． ∴m 的值为±1． 【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的标准方程 的求解，直线与双曲线相交，点在圆上的条件，属于中档题目. 22.已知点 是椭圆 C： 上的一点，椭圆 C 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，斜率为 直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点，且 A、B、D 三点互 不重合． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 分别为直线 AB，AD 的斜率，求证： 为定值。 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆 C 的方程； 2 23 3 12 4 x y− = 2 23 3 12 4 0 x y x y m  − =  − + = ( )1, 2A 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > 2 2 1x y− = 2 1 2,k k 1 2k k+ 2 2 14 2 y x+ = （2）设直线 BD 的方程为 ，代入椭圆方程，设 D（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB、AD 的斜率分别为： ，则 ，由此导出结果. 【详解】（1）由题意，可得 e= = ，代入 A（1， ）得 ， 又 ，解得 ， 所以椭圆 C 的方程 ． （2）证明：设直线 BD 的方程为 y= x+m， 又 A、B、D 三点不重合，∴ ， 设 D（x1，y1），B（x2，y2）， 则由 得 4x2+2 mx+m2-4=0 所以△=-8m2+64＞0，所以 ＜m＜ ． x1+x2=- m， 设直线 AB、AD 的斜率分别为：kAB、kAD， 则 kAD+kAB= = 所以 kAD+kAB=0，即直线 AB，AD 的斜率之和为定值． 【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解。直线与 2y x m= + ,AB ADk k 1 2 1 2 2 2 1 1AB AD y y x xk k+ = − −+− − c a 2 2 2 2 2 2 1 1a b + = 2 2 2a b c= + 2, 2a b c= = = 2 2 14 2 y x+ = 2 0m ≠ 2 2 2 2 4 y x m x y  = + + = 2 2 2− 2 2 2 2 2 1 2 4 4 mx x −⋅ = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 22 21 1 1 y y x xmx x x x x x − − + −+ = + ⋅− − − − + 2 2 222 2 2 2 2 2 0 4 2 14 2 m m m m − − + ⋅ = − = − + + 椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目.