2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（普通班）4月月考数学试题 Word版

2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（普通班）4月月考数学试题 Word版

‎2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（普通班）4月月考数学试题 一、选择题（60分）‎ ‎1.若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，则a2 012等于(　　)‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2.下面使用类比推理正确的是(　　)‎ A． “若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”‎ B． “loga(xy)＝logax＋logay”类比推出“sin(α＋β)＝sinαsinβ”‎ C． “(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”‎ D． “(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”‎ ‎3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)‎ A．f(x)‎ B． －f(x)‎ C．g(x)‎ D． －g(x)‎ ‎4.下列类比推理中，得到的结论正确的是(　　)‎ A． 把loga(x＋y)与a(b＋c)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logby B． 向量a，b的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|＝|a|·|b|类比，则有|a·b|＝|a||b|‎ C． 把(a＋b)n与(ab)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn D． 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和 ‎5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：(　　)‎ ‎①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.‎ 则正确的结论有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. ‎7．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是(　　)‎ A．m≤n B．m≥n C．m>n D．m1，过点P(x0，y0)作一直线与双曲线－＝1相交且仅有一个公共点，则该直线的斜率恰为双曲线的两条渐近线的斜率±.类比此思想，已知y0<，过点P(x0，y0)(x0＞0)作一条不垂直于x轴的直线l与曲线y＝相交且仅有一个公共点，则该直线l的斜率为________．‎ ‎14.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{xn}是等积数列，且x2＝2，公积为6，那么这个数列的前2 005项的和为________．‎ ‎15.观察下列等式 ‎1－＝，‎ ‎1－＋－＝＋，‎ ‎1－＋－＋－＝＋＋，‎ ‎…‎ 据此规律，第n个等式可为________________.‎ ‎16.有以下四个命题：‎ ‎(1)2n＞2n＋1(n≥3)；‎ ‎(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)；‎ ‎(3)凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)；‎ ‎(4)凸n边形对角线条数f(n)＝(n≥4)．‎ 其中满足“假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”．但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是________．‎ 三、解答题(共6小题,17题10分，其余每小题12.0分,共70分) ‎ ‎17.已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)．‎ ‎(Ⅰ)计算a2，a3，a4的值；‎ ‎(Ⅱ)根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎18.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.‎ ‎19.已知数列{an}满足a2＝2，(n－1)an＋1－nan＋1＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项．‎ ‎20.用数学归纳法证明：···…·<(n∈N*)．‎ ‎21.已知数列数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn为其前n项和．‎ ‎(1)求S1，S2，S3，S4的值；‎ ‎(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎22.试比较nn＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．‎ ‎1-4.ACDD 5-8.BBAC 9-12.DBBC ‎13.【答案】2‎ ‎14.【答案】5 013‎ ‎15.【答案】1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋‎ ‎16.【答案】(2)(3)‎ ‎17.【答案】解　(Ⅰ)由a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)可得a2＝2＋，a3＝2＋，‎ a4＝2＋＝4.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想：an＝2＋，n∈N*.‎ 以下用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝1时，左边a1＝3，右边2＋1＝3，符合结论；‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2＋，‎ 那么ak＋1＝＋2‎ ‎＝＋2‎ ‎＝＋2＝＋2，‎ 所以当n＝k＋1时，猜想也成立，‎ 根据(1)和(2)，可知猜想对于任意n∈N*都成立．‎ ‎18.【答案】证明　因为任意三角形三内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，‎ 所以直角三角形三内角之和为180°(结论)．‎ 设两锐角分别为α，β，则α＋β＋90°－90°＝180°－90°(小前提)，‎ 所以α＋β＝90°成立(结论)．‎ ‎19.【答案】解　当n＝1时，a1＝1，‎ 由a2＝2，可得a3＝3，猜想an＝n.‎ 证明如下：‎ 当n＝1,2时，a1＝1，a2＝2，猜想成立；‎ 假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，猜想成立，即ak＝k，‎ 又(k－1)ak＋1－kak＋1＝0，‎ 即(k－1)ak＋1－k2＋1＝0，‎ ‎∵k≥2，∴k－1≠0，‎ ‎∵ak＋1＝k＋1，即n＝k＋1时，猜想成立，‎ ‎∴n∈N*时，an＝n.‎ ‎20.【答案】证明　①∵当n＝1时，－＝－＜0，‎ ‎∴<，∴<＝，即当n＝1时，不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即···…·<，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎···…··<·＝，‎ ‎∵()2－()2‎ ‎＝＝＜0，‎ ‎∴()2＜()2，‎ ‎∴＜，即当n＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合①②可知，对于任意n∈N*，···…·<均成立．‎ ‎21.【答案】解　(1)依题意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；‎ ‎(2)猜想：Sn＝(－1)n·n.‎ 证明：①当n＝1时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝(－1)k·k，‎ 那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．‎ 即n＝k＋1时，猜想也成立．‎ 故由①和②可知，猜想成立.‎ ‎22.【答案】解　当n＝1时，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此时，nn＋1＜(n＋1)n，‎ 当n＝2时，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此时，nn＋1＜(n＋1)n，‎ 当n＝3时，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此时，nn＋1＞(n＋1)n，‎ 当n＝4时，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此时，nn＋1＞(n＋1)n，‎ 根据上述结论，我们猜想：当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．‎ 证明：①当n＝3时，nn＋1＝34＝81＞(n＋1)n＝43＝64，‎ 即nn＋1＞(n＋1)n成立；‎ ‎②假设当n＝k时，kk＋1＞(k＋1)k成立，即＞1，‎ 则当n＝k＋1时，＝(k＋1)()k＋1＞(k＋1)()k＋1＝＞1，‎ 即(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1成立，即当n＝k＋1时，猜想也成立，‎ ‎∴当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．‎