江苏省梁丰高级中学2013届高三数学期中试卷一

江苏省梁丰高级中学2013届高三数学期中试卷一

江苏省梁丰高级中学高三数学期中考试复习卷一 ‎ 徐燕编制 姓名 学号 ‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是 ．‎ ‎2．已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的模是 ． ‎ ‎3．已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． ‎ ‎4．在中,，则 . ‎ ‎5．已知向量夹角为 ,且，则 . ‎ ‎6．各项均为正数的等比数列满足，‎ 函数，则 ．‎ ‎7．设实数，若不等式对任意 都成立，则的最小值为 ．‎ ‎8．如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,‎ 若,则的值是__ . ‎ ‎9．是定义在上的非负可导函数，且满足，‎ 对任意正数，若，则，的大小关系为___ ．‎ ‎10．已知f(x) = ax + ，若则的范围是 ．‎ ‎11．函数的最大值为 ． ‎ ‎12．已知数列的通项公式是，若对于，都有成立，则实数k的取值范围是 ． ‎ ‎13．设函数,为坐标原点,为函数图像上横坐标为 的点,向量 ,设为与轴的夹角,则= ．‎ ‎14．如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝，AC＝2)沿x ‎ 轴滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y＝，则在其相 邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为 ． ‎ ‎15．已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；‎ ‎(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．‎ ‎16．在中,已知.‎ ‎(1)求证:；(2)若求A的值.‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且．‎ ‎（1）求a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎18．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.‎ ‎(1) 求函数M(x)＝的最大值；‎ ‎(2) 如果对f(x2)f()>kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎19．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．‎ ‎(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？‎ ‎(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？‎ ‎1.19≈2.36‎ ‎1.00499≈1.04‎ ‎1.110≈2.59‎ ‎1.004910≈1.05‎ ‎1.111≈2.85‎ ‎1.004911≈1.06‎ 下列数据供计算时参考：‎ ‎20．已知函数（x＞0）．‎ ‎（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的个数．‎ 答案：‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是 ．1‎ ‎2．已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的模是 ．‎ ‎3．已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． ‎ ‎4．在中,，则 .或 ‎5．已知向量夹角为 ,且，则. ‎ ‎6．各项均为正数的等比数列满足，若函数 的导数为，则 ．‎ ‎7．设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 . ‎ ‎8．如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是__ . ‎ ‎9．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则，的大小关系为_____ ．<‎ ‎10．已知f(x) = ax + ，若则的范围是 ．‎ ‎11．函数的最大值为 ．‎ ‎12．已知数列的通项公式是，若对于，都有成立，则实数k的取值范围是 ．‎ ‎13．设函数,为坐标原点,为函数图像上横坐标为 的点,向量 ,设为与轴的夹角,则= ．‎ ‎14．如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝，AC＝2)沿x轴 ‎ 滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y＝，则在其相邻两个 零点间的图象与x轴所围区域的面积为 ． ‎ ‎2+4‎ ‎15、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；‎ ‎(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．‎ ‎【答案】(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋ ‎＝sin2x－(cos2x＋1)＋ ‎＝cos2x－cos2x＝sin．‎ 所以f(x)的最小正周期为π.‎ 令sin＝0，得2x－＝kπ，‎ ‎∴x＝π＋，k∈Z.‎ 故所求对称中心的坐标为，(k∈Z)．‎ ‎(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ 即f(x)的值域为．‎ ‎16．在中,已知.‎ ‎(1)求证:；(2)若求A的值.‎ 解:(1)∵,∴,即. ‎ 由正弦定理,得,∴. ‎ 又∵,∴.∴即. ‎ ‎(2)∵ ,∴.∴. ‎ ‎∴,即.∴. ‎ 由 (1) ,得,解得. ‎ ‎∵,∴.∴. ‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且．‎ ‎（1）求a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎17．（1）∵，∴． ……………… 1分 ‎∵，∴． ……………… 2分 ‎∵，∴（n≥2），‎ 两式相减，得．‎ ‎∴．则（n≥2）． ……………… 4分 ‎∵，∴． ……………… 5分 ‎∵，∴为等比数列，． ………… 6分 ‎（2），[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎∴数列是首项为3，公比为等比数列． ………… 7分 数列的前5项为：3，2，，，．‎ 的前5项为：1，，，，．‎ ‎∴n＝1，2，3时，成立； ………… 10分 而n＝4时，； ………… 11分 ‎∵n≥5时，＜1，an＞1，∴． ………… 13分 ‎∴不等式的解集为{1，2，3}． ………… 14分 ‎18．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.‎ ‎(1)求函数M(x)＝的最大值；‎ ‎(2)如果对f(x2)f()>kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎[解答] 令t＝log2x，‎ ‎(1)f(x)－g(x)＝3(1－log2x)，‎ 当x>2时，f(x)2时，M(x)<1.‎ 综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.‎ ‎(2)由f(x2)f()>kg(x)得：(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，‎ ‎∵x∈[1,4]，∴t∈[0,2]，‎ ‎∴(3－4t)(3－t)>kt对一切t∈[0,2]恒成立．‎ ‎①当t＝0时，k∈R；‎ ‎②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，‎ ‎∵4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号．‎ ‎∴4t＋－15的最小值为－3，∴k<－3.‎ 综上k的取值范围是k<－3.‎ ‎19．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．‎ ‎(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？‎ ‎(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？‎ 下列数据供计算时参考：‎ ‎1.19≈2.36‎ ‎1.00499≈1.04‎ ‎1.110≈2.59‎ ‎1.004910≈1.05‎ ‎1.111≈2.85‎ ‎1.004911≈1.06‎ 解：(1)10年后学生人数为b (1＋4.9‰)10＝1.05b.‎ 又设今年起学校的合格实验设备为数列，‎ 则a1＝‎1.1a－x，an＋1＝1.1an－x，(*)‎ 令an＋1＋λ＝1.1(an＋λ)，则an＋1＝1.1an＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x，故数列是首项为‎1.1a－11x，公比为1.1的等比数列，‎ 所以an－10x＝(‎1.1a－11x)·1.1n－1，‎ an＝10x＋(‎1.1a－11x)·1.1n－1.‎ a10＝10x＋(‎1.1a－11x)·1.19≈‎2.6a－16x.‎ 由题设得＝2×，解得x＝a.‎ 即每年更换旧设备为a套．‎ ‎(2)全部更换旧设备需a÷＝16年．‎ 即按此速度全部更换旧设备需16年．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ 已知函数（x＞0）．‎ ‎（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的个数．‎ ‎20．（1）‎ ‎① 当0＜x＜2时，，．‎ 由条件，得恒成立，即b≥x恒成立．‎ ‎∴b≥2． …………………… 2分 ‎② 当x≥2时，，．‎ 由条件，得恒成立，即b≥－x恒成立．‎ ‎∴b≥－2． …………………… 4分 综合①，②得b的取值范围是b≥2． …………………… 5分 ‎（2）令，即 当时，，．‎ ‎∵，∴．则≥0．‎ 即，∴在（0，）上是递增函数． ………………… 7分 当时，，‎ ‎＞0．∴在（，＋∞）上是递增函数．……… 9分 ‎∵g(x)的图象在（0，＋∞）上不间断，‎ ‎∴在（0，＋∞）上是递增函数． ………………… 10分 ‎∵，而a≥2，∴，则＜0． …………… 12分 ‎∵a≥2，∴‎ 当a≥3时，≥0‎ ‎∴g(x)＝0在上有惟一解．…………………………………………… 14分 当时，<0‎ ‎∴g(x)＝0在上无解．………………………………………………… 16分 ‎ ‎