【数学】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三）

【数学】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三）

江苏省南京市秦淮中学 2019-2020 学年 高二下学期期末模拟（三） 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1.已知集合 则 ∩ ( ) A. B. C. D. 2.已知 是 的共轭复数，则 ( ) 3.设向量 ， ， ，且 ，则 ( ) 4. 的展开式中 的系数是 ( ) 5．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了 里的路程，第一天健 步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天才到达目的地.”则该 人第一天行走的路程为 ( ) A． 里 B． 里 C． 里 D． 里 6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节 五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被 选中的概率是（ ） A. B. C. D. 7 ． 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R ． 当 x<0 时 ， ； 当 时 ， ；当 时， ，则 f(6)= ( ) A．−2 B．−1 C．0 D．2 3( ) 1f x x= − 1 1x− ≤ ≤ ( ) ( )f x f x− = − 1 2x > 1 1( ) ( )2 2f x f x+ = − { } { }0,1,2,3,4 , 2,3,5 ,A B= = A B = { }0,2,4 { }2,3 { }1,3,5 { }0,1,2,3,4,5 ( , )a bi a b+ ∈R 1 1 i i − + a b+ = A. 1− B. 1 2 − C. 1 2 D. 1 (1,1)=a ( 1,3)= −b (2,1)=c ( )λ− ⊥a b c λ = A. 3 B. 2 C. 2− D. 3− 101( )xx − 4x A. 210− B. 120− C. 120 D. 210 189 6 108 96 64 48 3 10 2 5 3 5 7 10 8．设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离 是 ( ) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9． 对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为 ( ) A．若 a>b，则 B．若 a>b，则 C．若 a>0>b，则 a2<－ab D．若 c>a>b>0，则 a c－a> b c－b 10. 已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是 ( ) 的方程为 的离心率为 曲线 经过 的一个焦点 直线 与 有两个公共点 11．将函数 图象向右平移 个单位得函数 的图 像．则下列命题中正确的是 ( ) A． 在 上单调递增 B．函数 的图象关于直线 对称 C． D．函数 的图像关于点 对称 12．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 ，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF= ， 以下结论正确的有 ( ) QP, ( ) 26 22 =−+ yx 110 2 2 =+ yx QP, 25 246 + 27 + 26 1 1 a b < 2 2ac bc≥ C (3, 2) 3 3y x= ± A. C 2 2 13 x y− = B. C 3 C. 2 1xy e −= − C D. 2 1 0x y− − = C ( ) 2sin (sin 3 cos ) 1f x x x x= − − 3 π ( )g x ( )f x ( , )4 2 π π ( )f x 5 6x π= ( ) 2 cos 2g x x= ( )g x ( ,0)2 π− a 2 2 a A．AC⊥BE； B．点 A 到 ΔBEF 的距离为定值 C．三棱锥 A－BEF 的体积是正方体 体积的 ； D．异面直线 AE，BF 所成的角为定值． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．如果角 的终边过点 ，那么 等于 . 14．设 ，则 的最小值为 . 15. 已知直线 与圆心为 的圆 相交于 、 两点，且 为等边三角形，则实数 . 16. 已知三棱锥 中， ， 则三棱锥 的体积是___________;三棱锥 的外接球的表面积是 ____________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 ． （1）求 A； （2）若 ，求 sinC． 18.（10 分） 1 1 1 1ABCD A B C D－ 1 12 α )30cos2,30sin2( ooP − sinα 0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 2 0ax y+ − = C 2 2( 1) ( ) 4x y a− + − = A B ABC∆ a = S ABC− , 4, 2 13, 2, 62SAB ABC SB SC AB BC π∠ = ∠ = = = = = S ABC− S ABC− ABC△ 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − 2 2a b c+ = 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 = ， n ∈ N﹡ ， 数 列 满 足 ， ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 19.（12 分） 如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点， （Ⅰ）证明： //平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值． 20.（12 分） 22n n+ 1 1 1ABC A B C− ,D E 1,AB BB 1 2 2AA AC CB AB= = = 1BC 1ACD 1D AC E− − { }na n nS nS { }nb 24log 3n na b= + *n N∈ ,n na b { }n na b⋅ n nT E D C B A A1 B1 C1 某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了 5 种单价进行试销，每种单价 （ 元）试销 l 天，得到如表单价 （元）与销量 （册）数据： 单价 （元） 18 19 20 21 22 销量 （册） 61 56 50 48 45 （l）根据表中数据，请建立 关于 的回归直线方程： （2）预计今后的销售中，销量 （册）与单价 （元）服从（l）中的回归方程，已知每册 书的成本是 12 元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？ 附： ， ， ， . 21.（12 分） x x y x y y x y x 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 5 1 5160i i i x y = =∑ 5 2 1 2010i i x = =∑ 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． （1）若 ，求 l 的方程； （2）若 ，求 ． 22.（14 分） 已知函数 ，其中 为自然对数底数. （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性，并写出相应的单调区间； （3）已知 ，若函数 对任意 都成立，求 的最大值. 参考答案 时间：120 分钟 满分：150 分 3 2 4AF BF+ = PBAP 3= AB ( ) ( 1)xf x e a x= − − ,a R e∈ 1a = − ( )f x (1, (1))f ( )f x b R∈ ( )f x b≥ x R∈ ab 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1.已知集合 则 ∩ ( B ) A. B. C. D. 2.已知 是 的共轭复数，则 ( D ) 3.设向量 ， ， ，且 ，则 ( A ) 4. 的展开式中 的系数是 ( B ) 5．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了 里的路程，第一天健 步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天才到达目的地.”则该 人第一天行走的路程为 ( B ) A． 里 B． 里 C． 里 D． 里 6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节 五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被 选中的概率是（ C ） A. B. C. D. 7 ． 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R ． 当 x<0 时 ， ； 当 时 ， ；当 时， ，则 f(6)=( D ) A．−2 B．−1 C．0 D．2 8．设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离 是( D ) 3( ) 1f x x= − 1 1x− ≤ ≤ ( ) ( )f x f x− = − 1 2x > 1 1( ) ( )2 2f x f x+ = − { } { }0,1,2,3,4 , 2,3,5 ,A B= = A B = { }0,2,4 { }2,3 { }1,3,5 { }0,1,2,3,4,5 ( , )a bi a b+ ∈R 1 1 i i − + a b+ = A. 1− B. 1 2 − C. 1 2 D. 1 (1,1)=a ( 1,3)= −b (2,1)=c ( )λ− ⊥a b c λ = A. 3 B. 2 C. 2− D. 3− 101( )xx − 4x A. 210− B. 120− C. 120 D. 210 189 6 108 96 64 48 3 10 2 5 3 5 7 10 QP, ( ) 26 22 =−+ yx 110 2 2 =+ yx QP, A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9． 对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为 ( BD ) A．若 a>b，则 B．若 a>b，则 C．若 a>0>b，则 a2<－ab D．若 c>a>b>0，则 a c－a> b c－b 10. 已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是 ( AC ) 的方程为 的离心率为 曲线 经过 的一个焦点 直线 与 有两个公共 点 11．将函数 图象向右平移 个单位得函数 的图 像．则下列命题中正确的是 ( AC ) A． 在 上单调递增 B．函数 的图象关于直线 对 称 C． D．函数 的图像关于点 对 称 12．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 ，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF= ， 以下结论正确的有 ( ABC ) A．AC⊥BE； B．点 A 到 ΔBEF 的距离为定值 C．三棱锥 A－BEF 的体积是正方体 体积的 ； 25 246 + 27 + 26 1 1 a b < 2 2ac bc≥ C (3, 2) 3 3y x= ± A. C 2 2 13 x y− = B. C 3 C. 2 1xy e −= − C D. 2 1 0x y− − = C ( ) 2sin (sin 3 cos ) 1f x x x x= − − 3 π ( )g x ( )f x ( , )4 2 π π ( )f x 5 6x π= ( ) 2 cos 2g x x= ( )g x ( ,0)2 π− a 2 2 a 1 1 1 1ABCD A B C D－ 1 12 D．异面直线 AE，BF 所成的角为定值． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．如果角 的终边过点 ，那么 等于______ ________. 14．设 ，则 的最小值为______ ________. 15. 已知直线 与圆心为 的圆 相交于 、 两点，且 为等边三角形，则实数 . 16. 已知三棱锥 中， ， 则三棱锥 的体积是_____ ______;三棱锥 的外接球的表面积是____ ______. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 ． （1）求 A； （2）若 ，求 sinC． 解：（1）由已知得 ，故由正弦定理得 ． 由余弦定理得 ． 因为 ，所以 ． （2）由（1）知 ，由题设及正弦定理得 ， 即 ，可得 ． 由于 ，所以 ，故 α )30cos2,30sin2( ooP − sinα 2 3− 0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 34 2 0ax y+ − = C 2 2( 1) ( ) 4x y a− + − = A B ABC∆ a = 4 15± S ABC− , 4, 2 13, 2, 62SAB ABC SB SC AB BC π∠ = ∠ = = = = = S ABC− 34 S ABC− π52 ABC△ 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − 2 2a b c+ = 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − = 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 0 180A° °< < 60A °= 120B C°= − ( )2 sin sin 120 2sinA C C°+ − = 6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C+ + = ( ) 2cos 60 2C °+ = − 0 120C° °< < ( ) 2sin 60 2C °+ = ． 18. 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 = ， n ∈ N﹡ ， 数 列 满 足 ， ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 【解析】（Ⅰ）由 = ，得 当 =1 时， ； 当 2 时， ， . 由 ，得 ， . （Ⅱ）由（1）知 ， 所以 ， ， ， ． 19.如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点， 22n n+ 22n n+ 1 1 3a S= = ≥ 1n n na S S −= − = 2 22 2( 1) ( 1) 4 1n n n n n + − − + − = −  2 1nb n= − 1(4 1) 2n n na b n −= − ⋅ ( )2 13 7 2 11 2 ... 4 1 2n nT n −= + × + × + + − ⋅ ( )2 32 3 2 7 2 11 2 ... 4 1 2n nT n= × + × + × + + − ⋅ ( ) 2 12 4 1 2 [3 4(2 2 ... 2 )]n n n nT T n −− = − ⋅ − + + + + (4 5)2 5nn= − + (4 5)2 5n nT n= − + 1 1 1ABC A B C− ,D E 1,AB BB ( )sin sin 60 60C C ° °= + − ( ) ( )sin 60 cos60 cos 60 sin 60C C° ° ° °= + − + 6 2 4 += { }na n nS nS { }nb 24log 3n na b= + *n N∈ ,n na b { }n na b⋅ n nT nS n n *n N∈ 24log 3n na b= + *n N∈ *n N∈ *n N∈ （Ⅰ）证明： //平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值． 【解析】（Ⅰ）连结 ，交 于点 O，连结 DO， 则 O 为 的中点， 因为 D 为 AB 的中点，所以 OD∥ ，又因为 OD 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ； （Ⅱ）由 =AC=CB= AB 可设：AB= ，则 =AC=CB= ， 所以 AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点 C 为坐标原点，分别以直线 CA、CB、 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图， 则 、 、 、 ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ， 则 且 ，可解得 ，令 ，得平面 的 1 2 2AA AC CB AB= = = 1BC 1ACD 1D AC E− − 1AC 1AC 1AC 1BC ⊂ 1ACD 1BC ⊄ 1ACD 1BC 1ACD 1AA 2 2 2a 1AA 2a 1CC z x y F E D C B A A1 B1 C1 (0,0,0)C 1( 2 ,0, 2 )A a a 2 2( , ,0)2 2 a aD 2(0, 2 , )2 aE a 1 ( 2 ,0, 2 )CA a a= 2 2( , ,0)2 2 a aCD = 2(0, 2 , )2 aCE a= 1 2( 2 , 2 , )2 aA E a a= − − 1ACD ( , , )n x y z= 0n CD⋅ =  1 0n CA⋅ =  y x z= − = 1x = 1ACD E D C B A A1 B1 C1 一个法向量为 ，同理可得平面 的一个法向量为 ， 则 ，所以 ，所以二面角 D- -E 的正弦值为 ． 20.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了 5 种单价进行试销，每种 单价（ 元）试销 l 天，得到如表单价 （元）与销量 （册）数据： 单价 （元） 18 19 20 21 22 销量 （册） 61 56 50 48 45 （l）根据表中数据，请建立 关于 的回归直线方程： （2）预计今后的销售中，销量 （册）与单价 （元）服从（l）中的回归方程，已知每册 书的成本是 12 元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？ 附： ， ， ， . 【详解】解：（1） ， ， ，， ， 所以 对 的回归直线方程为： ． （2）设获得的利润为 ， ， 因为二次函数 的开口向下，所以当 时， 取最大值， 所以当单价应定为 22.5 元时，可获得最大利润． (1, 1, 1)n = − − 1ACE (2,1, 2)m = − cos ,n m< >=  3 3 6sin , 3n m< >=  1AC 6 3 x x y x y y x y x 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 5 1 5160i i i x y = =∑ 5 2 1 2010i i x = =∑ 18 19 20 21 22 205x + + + += = 61 56 50 48 45 525y + + + += = 5 1 5160i i i x y = =∑ 5 2 1 2010i i x = =∑ 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx = − = − = − ∑ ∑ 2 5160 5 20 52 40 42010 5 20 10 − × × −= = = −− × ˆˆ 52 ( 4) 20 132a y bx= − = − − × = y x ˆ ˆ4 132y x= − + W 2( 12) 4 180 1584W x y x x= − = − + − 24 180 1584W x x= − + − 22.5x = W 21.已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 点为 P． （1）若 ，求 l 的方程； （2）若 ，求 ． 解析 设直线 ． （1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ． 由 ，可得 ，则 ． 从而 ，得 ．所以 的方程为 ． （2）由 可得 ． 由 ，可得 ． 所以 ．从而 ，故 ． 代入 的方程得 ．故 ． 22.已知函数 ，其中 为自然对数底数. （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性，并写出相应的单调区间； （3）已知 ，若函数 对任意 都成立，求 的最大值. 解：（1）当 时， ， ， ， ∴函数 在点 处的切线方程为 ，即 ． （2）∵ ， 3 2 4AF BF+ = PBAP 3= AB ( ) ( )1 1 2 2 3: , , , ,2l y x t A x y B x y= + 3 ,04F      1 2 3| | | | 2AF BF x x+ = + + 1 2 5 2x x+ = 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 29 12( 1) 4 0x t x t+ − + = 1 2 12( 1) 9 tx x −+ = − 12( 1) 5 9 2 t −− = 7 8t = − l 3 7 2 8y x= − 3AP PB=  1 23y y= − 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 2 2 0y y t− + = 1 2 2y y+ = 2 23 2y y− + = 2 11, 3y y= − = C 1 2 13, 3x x= = 4 13| | 3AB = ( ) ( 1)xf x e a x= − − ,a R e∈ 1a = − ( )f x (1, (1))f ( )f x b R∈ ( )f x b≥ x R∈ ab 1a = − ( )' e 1xf x = + ( )' 1 e 1f = + ( )1 ef = ( )f x ( )( )1, 1f ( )( )e e 1 1y x− = + − ( )e 1 1y x= + − ( )' exf x a= − ①当 时， ，函数 在 上单调递增； ②当 时，由 得 ， ∴ 时 ， ， 单 调 递 减 ； 时 ， ， 单调递增． 综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单 调递增区间为 ，单调递减区间为 ． （3）由（2）知，当 时，函数 在 上单调递增， ∴ 不可能恒成立； 当 时， ，此时 ； 当 时，由函数 对任意 都成立，得 ， ∵ ，∴ ∴ ， 设 ，∴ ， 由于 ，令 ，得 ， ， 当 时， ， 单调递增； 时， ， 单调 递减． ∴ ，即 的最大值为 ，此时 ． 0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x R 0a > ( )' e 0xf x a= − = lnx a= ( ),lnx a∈ −∞ ( )' 0f x < ( )f x ( )ln ,x a∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x 0a ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞ 0a > ( )f x ( )ln ,a +∞ ( ),ln a−∞ 0a < ( )f x R ( )f x b≥ 0a = 0b≤ 0ab = 0a > ( )f x b≥ x∈R ( )minb f x≤ ( ) ( )min ln 2 lnf x f a a a a= = − 2 lnb a a a−≤ 2 22 lnab a a a−≤ ( ) ( )2 22 ln 0g a a a a a= − > ( ) ( )' 4 2 ln 3 2 lng a a a a a a a a= − + = − 0a > ( )' 0g a = 3ln 2a = 3 2ea = 3 20,ea ∈     ( )' 0g a > ( )g a 3 2e ,a ∈ +∞     ( )' 0g a > ( )g a ( ) 3 max e 2g a = ab 3e 2 3 3 2 21e , e2a b= =