北京交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

北京交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

‎2019北京交大附中高一(上)期中 数学 一､选择题 ‎1.已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据韦恩图知阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的公共元素所剩下的元素，由此可得选项.‎ ‎【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的交集的元素所剩下的元素．因为，所以阴影部分所表示的集合是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的交集基本运算,属于基础题．‎ ‎2.已知全集，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，利用补集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】由题意可得或，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查并集和补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎1<|x+1|<3⇔1<|x+1|2<9‎ 即即，‎ 解得x∈(−4,−2)∪(0,2)‎ 本题选择D选项.‎ ‎4.若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法、不等式的基本性质可判断出各选项中不等式的正误，由此可得出结论.‎ ‎【详解】，则，‎ ‎，，A选项中的不等式错误；‎ ‎，，即，B选项中的不等式错误；‎ ‎，，，可得，C选项中的不等式错误，D选项中的不等式正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法以及函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎5.命题，，则是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题.‎ ‎【详解】命题，，由全称命题的否定可知，命题，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题.‎ ‎6.若偶函数在区间上是增函数，则(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为偶函数，则则，再结合在上是增函数，即可进行判断.‎ ‎【详解】函数为偶函数,则.‎ 又函数在区间上是增函数.‎ 则，即 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.‎ ‎7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝‎0”‎是“f（x1）+f（x2）＝‎0”‎的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】函数是奇函数, 若，则，‎ 则，‎ 即成立,即充分性成立，‎ 若，满足是奇函数，当时 满足，此时满足，‎ 但，即必要性不成立，‎ 故“”是“”的充分不必要条件，‎ 所以A选项正确.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.‎ ‎8.对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据，得出，即；‎ ‎②根据，证明，即；‎ ‎③根据，，证明．‎ ‎【详解】解：集合，，，‎ 对于①，，，‎ 则恒有，‎ ‎，即，，则，①正确；‎ 对于②，，，‎ 若，则存在，使得，‎ ‎，‎ 又和同奇或同偶，‎ 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；‎ 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，‎ ‎，即，②正确；‎ 对于③，，，‎ 可设，，、；‎ 则 那么，③正确．‎ 综上，正确的命题是①②③．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．‎ 二､填空题 ‎9.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，‎ 凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入解方程组可得、值.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．‎ ‎10.一元二次方程的两个实数根分别是、，则的值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用韦达定理求出和，由此可得出的值.‎ ‎【详解】由韦达定理得，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用韦达定理求代数式的值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题当且仅当时，等号成立；‎ 考点：均值不等式 ‎12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______‎ 后池水中药品的浓度达到最大.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ C＝＝5‎ 当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号 考点：基本不等式，实际应用 ‎13.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． 若关于 的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．‎ ‎【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，，‎ 所以函数图象关于轴对称，‎ 作出函数的图象：‎ 若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，‎ 由图象可知：时，即有4个交点.‎ 故m的取值范围是，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.‎ ‎14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．‎ ‎①______；‎ ‎②若的值域是，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；‎ ‎②由的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与轴有交点，得到，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】①由题意得：‎ 为上的奇函数 ‎ ‎②若的值域为且图象关于原点对称 当时，与轴有交点 ‎ 解得：或 的取值范围为 故答案为；‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．‎ 三､解答题 ‎15.已知二次函数，有两个零点为和．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；‎ ‎（4）求在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用韦达定理可得出关于实数、的方程组，即可求出这两个未知数的值；‎ ‎（2）直接计算和f1−x，可证明出；‎ ‎（3）任取，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数在区间上是增函数；‎ ‎（4）分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最小值的表达式.‎ ‎【详解】（1）由韦达定理得，解得；‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，，‎ 因此，；‎ ‎（3）任取，则，‎ ‎，，，，即，‎ 因此，函数在区间上是增函数；‎ ‎（4）当时，函数在区间上为减函数，此时；‎ 当时，函数在区间上减函数，在区间上为增函数，‎ 此时.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知函数.‎ ‎（1）直接写出的零点；‎ ‎（2）在坐标系中，画出示意图（注意要画在答题纸上）‎ ‎（3）根据图象讨论关于的方程的解的个数:‎ ‎（4）若方程，有四个不同的根、、、直接写出这四个根的和；‎ ‎（5）若函数在区间上既有最大值又有最小值，直接写出a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）和；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）；（5）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解方程即可得出函数的零点；‎ ‎（2）根据绝对值翻折变换可作出函数的图象；‎ ‎（3）将方程的解的个数转化为函数和图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；‎ ‎（4）根据函数可得出的值；‎ ‎（5）求方程在时的解，利用图象可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）解方程，即，解得或，‎ 所以，函数的零点为和；‎ ‎（2）函数的图象是将函数的图象位于轴下方的图象关于轴对称，位于轴上方的图象保持不变而得到，则函数的图象如下图所示：‎ ‎（3）方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示：‎ 当时，方程无实根；‎ 当或时，方程有个实根；‎ 当时，方程有个实根；‎ 当时，方程有个实根.‎ 综上所述，当时，方程无实根；当或时，方程有个实根；当时，方程有个实根；当时，方程有个实根；‎ ‎（4）由图象可知，函数的图象关于直线对称，因此，；‎ ‎（5）当时，解方程，解得，‎ 由图象可知，当时，函数在区间上既有最大值，又有最小值，‎ 故实数的取范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数的零点以及最值问题，同时也涉及了函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求证：是上的奇函数；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）求证：在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（4）求在上的最大值和最小值；‎ ‎（5）直接写出一个正整数，满足．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具体见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇偶性的定义证明即可；‎ ‎（2）代值计算即可得出的值；‎ ‎（3）任取，作差，通分、因式分解后分和两种情况讨论符号，即可证明出结论；‎ ‎（4）利用（3）中的结论可求出函数在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（5）可取满足的任何一个整数，利用函数的单调性和不等式的性质可推导出成立.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，‎ 且，因此，函数是上的奇函数；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）任取，‎ ‎.‎ 当时，，，，则；‎ 当时，，，，则.‎ 因此，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（4）由于函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 当时，函数取最大值，即；‎ 当时，，‎ 所以，当时，函数取最小值，即.‎ 综上所述，函数在上的最大值为，最小值为；‎ ‎（5）由于函数在上单调递减，‎ 当时，，‎ 所以，满足任何一个整数均满足不等式.‎ 可取，满足条件.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的证明、利用单调性求最值，同时也考查了函数值的计算以及函数不等式问题，考查分析问题和解决问题能力，属于中等题.‎ ‎18.设函数，，且对所有实数，等式都成立，其、、、、、、、，、．‎ ‎（1）如果函数，，求实数的值；‎ ‎（2）设函数，直接写出满足的两个函数；‎ ‎（3）如果方程无实数解，求证：方程无实解．‎ ‎【答案】（1）；（2），，答案不唯一；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件直接代入计算即可；‎ ‎（2）验证满足条件，再者若，则等式也满足，由此可得出符合条件的函数的两个不同的解析式；‎ ‎（3）假设方程有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立.‎ ‎【详解】（1），，则，‎ ‎，‎ ‎，，解得；‎ ‎（2）若，则，，此时；‎ 若，则，，此时.‎ 所以，当时，满足的函数的两个解析式可以是，（答案不唯一）；‎ ‎（3）假设方程有实数解，设，‎ 则，，‎ 两式相减得，所以，，‎ 由零点存在定理可知，存在，使得，‎ 无实根，则永远不成立，推出假设不成立.‎ 所以，方程无实数解，方程也无实解 ‎【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.‎