数学理卷·2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学高三第二次联考（2017

数学理卷·2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学高三第二次联考（2017

湖南省2017届高三十三校联考第二次考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.函数（为自然对数的底数）的零点所在区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是 “”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．与的值有关 ‎ ‎5.中心在坐标原点的双曲线的两条渐进线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．2或 ‎ ‎6.已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，…，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.曲线与围成封闭区域（含边界）为，直线与区域有公共点，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A．3024 B．1007 C．2015 D．2016 ‎ ‎9.如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）‎ A．2 B． C． D． ‎ ‎10.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（ ）‎ A．2 B． C．3 D．4 ‎ ‎11.已知抛物线：和动直线：（，是参变量，且，）相交于，两点，直角坐标系原点为，记直线，的斜率分别为，，若恒成立，则当变化时直线恒经过的定点为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数点，是函数图象上不同两点，则（为坐标原点）的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中，的系数是 ．‎ ‎14.设表示不大于的最大整数，集合，，则 ．‎ ‎15.已知，是函数在内的两个零点，则 ．‎ ‎16.已知在中，，则角的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等比数列，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和．‎ ‎18.为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．‎ 优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 乙班 ‎30‎ 总计 ‎60‎ ‎（Ⅰ）根据题目完成列联表，并据此判断是否有的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．‎ ‎（Ⅱ）现已知，，三人获得优秀的概率分别为，，，设随机变量表示，，三人中获得优秀的人数，求的分布列及期望．‎ 附：，‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．‎ ‎20.已知椭圆：‎ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（），设与的交点为，，求的面积．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，使得，求实数的取值范围．‎ 湖南省2017届高三十三校联考第二次考试数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.120 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由，得，‎ 当时，，即，‎ 所以，又因为，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 则．‎ ‎18.解：（Ⅰ）列联表如下：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，‎ ‎，‎ 所以有的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关．‎ ‎（Ⅱ）设，，成绩优秀分别记为事件，，，则，，‎ ‎∴随机变量的取值为0,1,2,3．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：正三棱柱中，平面，‎ 所以，又，，‎ 所以平面，平面，‎ 所以平面平面．　‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高为，，则，，，，，，．‎ 设平面的一个法向量，‎ 则取，则，所以．‎ 设平面的一个法向量，则 取，则，，所以．‎ 二面角的余弦值是，‎ 所以，‎ 解得．‎ ‎20.解：（Ⅰ）依题意可知，，可设椭圆方程为，‎ 即，将代入得，‎ 由，得，故椭圆的方程为．‎ 点的坐标为．‎ ‎（Ⅱ）设直线：（），‎ 由得，故．‎ 由得，，‎ 设，，则，．‎ ‎，同理，‎ ‎．‎ 故存在常数，使得．‎ ‎21.解：（Ⅰ）当，，，．‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减．‎ 综上，的单调递增区间为；的单调递减区间为．‎ ‎（Ⅱ）由题意得，时，恒成立，可得．①‎ 由题意得，不等式对于任意的恒成立．‎ 设，，．‎ 当时，，不满足题意；‎ 当时，要使时，不等式恒成立，‎ 须，即；‎ 当时，，‎ 设，，，．　‎ 显然在上单调递增，所以，‎ 所以在上单调递增，，‎ 即.②‎ 由①②可知时，满足题意.‎ ‎22.解：（Ⅰ）∵，，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，‎ 解得，，，‎ ‎∵的半径为１，则的面积. ‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，，，即，解得，又，∴；‎ 当时，，，即，解得，又，∴；‎ 当时，，，即，解得，又，∴．‎ 综上，不等式的解集为．　‎ ‎（Ⅱ）∴.‎ ‎∵，使得，‎ ‎∴，整理得，‎ 解得，因此的取值范围是.‎