湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高二九月调研测试数学试题

湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高二九月调研测试数学试题

高二2019秋季武昌区高二九调数学 一、选择题：‎ ‎1.已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据题意明确集合与集合所包含的元素，然后根据交集的定义即可得出结果。‎ ‎【详解】因为集合，集合，‎ 所以，故选C。‎ ‎【点睛】本题考查了交集的相关性质，交集是取两个集合中共同包含的元素，考查推理能力，是简单题。‎ ‎2.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可通过因式分解将不等式转化为，然后通过计算即可得出结果。‎ ‎【详解】不等式，即，‎ 即或，解得，故选A。‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，能否熟练使用一元二次不等式的解法是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。‎ ‎3.设为数列的前项和，若，，则 A. 31 B. 63 C. 105 D. 127‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果。‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，，数列是公比为的等比数列，‎ 因为，所以，，‎ 所以，故选B。‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的相关性质，考查等比数列的定义以及等比数列的前项和公式，考查计算能力以及推理能力，是中档题。‎ ‎4.已知向量的夹角为，且，，则 A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据向量计算出向量的模长，然后通过向量的数量积公式以及向量计算的相关性质对进行化简，得出，即可得出结果。‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以 ‎，‎ 故，故选C。‎ ‎【点睛】本题考查向量的计算、向量的模长公式以及向量的数量积公式，若向量的夹角为，则向量的数量积，考查计算能力，是简单题。‎ ‎5.已知，，，则的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ ‎。‎ 故。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。‎ ‎6.求值：4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D. 2－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．‎ ‎【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎7.在中，，，角的角平分线，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据正弦定理以及、、计算出，然后根据是角的角平分线计算得出以及，最后利用正弦定理即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，因为，，，‎ 所以，解得，,‎ 因为是角的角平分线，,‎ 所以,，‎ 所以，解得，故选D。‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查正弦定理公式的灵活使用，正弦定理公式为，考查计算能力，是简单题。‎ ‎8.若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，选C.‎ 点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.‎ ‎9.已知是平面外的两条不同直线，给出以下三个命题：①若，则；②若，，则；③若，，则.其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可结合题目所给出的条件以及空间线面的位置关系的判定定理及性质进行判断，依次判断正误后即可得出结果。‎ ‎【详解】①根据无法判断出直线与平面的关系，故①错；‎ ‎②因为，，是平面外的两条不同直线，所以，故②正确；‎ ‎③因为，，所以根据线面垂直的相关性质可知，故③正确，‎ 综上所述，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面以及直线与直线位置关系的判定，考查推理能力，考查空间想象能力，考查对线面位置关系的理解，是中档题。‎ ‎10.已知函数，其相邻两条对称轴之间的距离为，将的图像向右平移个单位后，所得函数的图像关于轴对称，则（ ）‎ A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在区间单调递增 D. 在区间单调递增 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据相邻两条对称轴之间的距离为得出，然后根据右平移个单位得出函数，再然后根据函数的图像关于轴对称以及得出，最后根据正弦函数的单调性即可得出结果。‎ ‎【详解】因为函数的相邻两条对称轴之间的距离为，‎ 所以，，，，‎ 将函数向右平移个单位后得到函数，‎ 因为函数图像关于轴对称，‎ 所以，，‎ 因为，所以，，‎ 当即时，‎ 函数是增函数，故C正确。‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法、三角函数的周期性、三角函数图像变换以及三角函数的单调性，考查对三角函数相关性质的理解，考查推理能力，体现了综合性，是中档题。‎ ‎11.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 本题首先可根据题意确定三棱锥的形状以及三棱锥可看做长方体的一部分，然后根据长方体的外接球的相关性质以及、即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，因为平面，，‎ 所以三棱锥可看做长方体的一部分，‎ 因为三棱锥的顶点都在球的球面上，‎ 所以球是三棱锥的外接球，也是长方体的外接球，‎ 因为，，‎ 所以，，‎ 所以球的表面积，故选D。‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积求法，考查长方体的外接球的相关性质，考查球的表面积公式，考查推理能力，是中档题。‎ ‎12.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】函数恰有4个零点，即方程，‎ 即有4个不同的实数根，‎ 即直线与函数的图象有四个不同的交点．‎ 又 做出该函数的图象如图所示，‎ 由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，‎ 故函数恰有4个零点时，‎ b的取值范围是故选D．‎ 考点：1、分段函数；2、函数的零点．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．‎ 二、填空题：‎ ‎13.已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据计算出的值，然后通过以及计算出的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果。‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，，‎ 所以。‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有、以及 ‎，考查计算能力，是中档题。‎ ‎14.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40 个；若销售单价每涨1元，销售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个____________元．‎ ‎【答案】625‎ ‎【解析】‎ 设涨价 x 元，利润 y=(40+x)(40-x)-30(40-x)= -x2+30x+400，‎ y最大=625(元)．‎ 故答案为625‎ ‎15.在边长为菱形中，已知为的中点，，则______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可借助菱形的性质构建平面直角坐标系，然后根据菱形的边长为以及写出点、、、的坐标，再然后写出向量以及根据为的中点写出向量，最后根据向量的数量积的坐标公式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为四边形是菱形，‎ 所以以直线为轴、以直线为轴构建平面直角坐标系，如图所示，‎ 因为菱形边长为，，‎ 所以，，，，‎ 因为为的中点，所以，，‎ 所以，故答案为。‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的求法，可根据向量的数量积的坐标公式求得结果，能否合理构建平面直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题。‎ ‎16.如图，在四面体中，，，，分别是的中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以将四面体补成长宽高分别为、、的长方体，然后根据平面得出截面为平行四边形，再然后根据三角形相似的相关性质得出两相邻边的和为，再然后求出异面直线与所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，将四面体补成长宽高分别为、、的长方体，‎ 由于平面，故截面为平行四边形，由平面几何的平行线段成比例可得，‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则，解得，‎ 所以平行四边形的面积，‎ 当且仅当时取“”号，故答案。‎ ‎【点睛】本题考查四面体截面面积的求法，考查解三角形面积公式以及基本不等式的使用，能否根据四面体构建出长方体以及确定四面体截面的位置是解决本题的关键，考查推理能力，是难题。‎ 三、解答题：共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题满分10分）‎ ‎17.设是等差数列，，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先可以根据成等比数列以及列出算式并通过计算得出公差，然后根据等差数列的通项公式即可得出结果；‎ ‎(2)本题可结合(1)中结论以及等差数列的前和公式即可得出结果。‎ ‎【详解】(1)因为，且成等比例，‎ 所以，解得.‎ 所以.‎ ‎(2)因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式以及等差数列的前和公式，等差数列的通项公式为，等差数列的前和公式为，考查计算能力，是中档题。‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以通过三角恒等变换的相关公式将函数化简为，然后根据即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可以根据题意得出在上满足，然后求出函数在区间的最大值，即可得出结果。‎ ‎【详解】(1)因为，‎ 所以.‎ ‎(2)在上恒成立，等价于，‎ 因为，所以，‎ 当，即时，，‎ 所以，即。‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数最大值的求法，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化简与转化思想，考查计算能力，是中档题。‎ ‎19.设函数，且，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）当时，求最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可得关于的二元一次方程组，从而可解得．（2）由（1）可知,令,根据及指数函数的单调性可得的范围,再用配方法求真数即的范围．根据真数的范围及对数函数的单调性可求的的最大值．‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2） ,‎ 设，，‎ 当时，即时，，.‎ 考点：1指数函数,对数函数的单调性;2配方法求值域．‎ ‎20.的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角； ‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为，再利用，可知，最后化简求值；‎ ‎（2）利用余弦定理可求得，代入求面积.‎ ‎【详解】（1）由已知以及余弦定理得： ‎ 所以 ‎, ‎ ‎ ‎ ‎（2）由题知， ‎ ‎【点睛】本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视的变形使用.‎ ‎21.如图，直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，为的中点 ‎（1）若，证明：平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可通过为的中点得出，然后根据三棱柱是直棱柱得出平面以及，再然后由得出，最后根据即可证得平面；‎ ‎(2)首先可以过点作平面，然后根据线面角的相关性质可知为直线与平面所成的角，最后通过等体积法即可求得以及线面角的正弦值。‎ ‎【详解】(1)因为△是正三角形，为的中点，所以.‎ 因为三棱柱是直棱柱，所以平面，从而 因为四边形是矩形，且，，‎ 所以,，‎ 因为，，，所以平面。‎ ‎(2)如图所示，过点作平面，垂足为，连结，则为直线与平面所成的角， ‎ 在中，，所以.‎ 在中，，所以.‎ 因为，所以.‎ 所以，解得.‎ 所以。‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明以及线面角的正弦值的求法，能否熟练使用线面垂直的证明方法以及通过线面角的定义找出线面角是解决本题的关键，考查等体积法的使用，考查推理能力，是难题。‎ ‎22.设平行四边形的周长为12，，把它关于折起来，折过去后，交于点.设，△的面积为.‎ ‎（1）用表示的面积；‎ ‎（2）求的最大值及相应的值.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，的面积有最大值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可设，然后根据题意可得出以及，再然后根据得出，并根据余弦定理得出，最后根据解三角形面积公式即可得出结果；‎ ‎(2)首先可将转化为，然后根据基本不等式即可求出结果。‎ ‎【详解】(1)记折过去成为。‎ 因为，所以.‎ 易证，所以 所以.‎ 在中，，‎ 由余弦定理，待，‎ 整理得，。‎ ‎(2)由（1）知，‎ ‎，‎ 因为，所以，所以，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以，‎ 综上所述，当时，的面积有最大值。‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、解三角形面积公式以及基本不等式的使用，考查如何利用基本不等式求最值，考查的公式有以及，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题。‎ ‎ ‎