2018-2019学年江西省南昌市三校（一中、十中、铁一中）高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市三校（一中、十中、铁一中）高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市三校（一中、十中、铁一中）高二下学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（ ）‎ A．5 B．9 C．10 D．25‎ ‎【答案】B ‎【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.‎ ‎【考点】离散型随机变量．‎ ‎2．随机变量服从正态分布，若，，则（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，‎ ‎3．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：‎ 根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的高三男生体重为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由上表知，，所以，当时，‎ ‎，所以男生体重约为，故选B．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎4．设随机变量，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用二项分布概率计算公式结合条件计算出，然后再利用二项分布概率公式计算出.‎ ‎【详解】‎ 由于，则，，‎ 所以，，因此，‎ ‎ ，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎5．在的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用的展开式通项，与和分别做乘法，分别求得的系数，作和求得整体的的系数.‎ ‎【详解】‎ 展开式的通项为：‎ 与相乘可得：‎ 当时得：‎ 与相乘可得：‎ 当时得：‎ 的系数为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理求解的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果.‎ ‎6．有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 问题等价于将这个同学中新插入的个同学重新排序，因此，所有排列的种数为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题。‎ ‎7．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，则事件乙和甲丙都相邻，所求事件为，‎ 甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为，‎ 由古典概型的概率公式可得.‎ 乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为，由古典概型的概率公式可得，‎ 由条件概率公式可得，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎8．设，则随机变量的分布列是：‎ 则当在内增大时（ ）‎ A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ‎【答案】D ‎【解析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.‎ ‎【详解】‎ 方法1：由分布列得，则 ‎，则当 在内增大时，先减小后增大.‎ 方法2：则 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.‎ ‎9．函数的最大值为（ ）‎ A． B．1 C．4033 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,选C.‎ ‎10．若,则 A．－70 B．28 C．－26 D．40‎ ‎【答案】C ‎【解析】令t＝x﹣3，把等式化为关于t的展开式，再求展开式中t3的系数．‎ ‎【详解】‎ 令t＝x﹣3，则（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，‎ 可化为（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，‎ 则a3＝＝10﹣36＝﹣26．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，指定项的系数，属于基础题．‎ ‎11．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】获奖的概率为 ，记获奖的人数为 ， ，所以4人中恰好有3人获奖的概率为 ，故选B.‎ ‎12．《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）‎ A．144种 B．288种 C．360种 D．720种 ‎【答案】A ‎【解析】《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词排列全排列共有种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在个空里（最后一个空不排），有种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种，故选A.‎ 二、填空题 ‎13．设随机变量的概率分布列如下图，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用概率之和为求得的值.解，求得的值，将对应的概率相加求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据，解得.解得或，故所求概率为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分布列的概率计算，考查含有绝对值的方程的解法，属于基础题.‎ ‎14．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用零点分段法解不等式，得出解集与区间取交集，再利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 当时，，解得，‎ 此时；‎ 当时，成立，此时；‎ 当时，，解得，此时.‎ 所以，不等式的解集为，‎ 因此，由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为，故答案为：.s ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法、几何概型概率公式的计算，解题的关键就是解出绝对值不等式，解绝对值不等式一般有零点分段法（分类讨论法）以及几何法两种方法求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎15．从这十个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是6的概率为 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考査古典概型.从10个数中任取5个不同的数，有种方法，若5个数的中位数为6,则只需从0,1,2,3,4,5中选两个，再从7,8,9中选两个不同的数即可，有种方法，故这5个数的中位数为6的概率.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎16．浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校、两个专业各需要一门科目满足要求即可，专业：物理、化学、技术；专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）‎ ‎【答案】27；‎ ‎【解析】根据题意，分四种情况讨论即可，最终将每种情况的个数加到一起.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种.‎ 故答案为：27.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）将代入不等式，得到，再通过讨论的范围，即可求出结果；‎ ‎（2）先根据不等式有解，可得只需大于等于的最小值，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式为，‎ 若，则，即，‎ 若，则，舍去，‎ 若，则，即，‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）当且仅当时等号成立，‎ 题意等价于，，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及不等式成立的问题，根据含绝对值不等式的性质以及分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.‎ ‎18．2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为．‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ 中老年 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？‎ ‎（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ 附:参考公式，其中．‎ 临界值表：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) 有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关(2) ‎ ‎【解析】试题分析：(1)依题意完成列联表，计算，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，计算出数学期望值.‎ 试题解析：(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有人,“中老年”共有人.‎ 完成的2×2列联表如：‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 中老年 ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 则 因为，，所以有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关 ‎(2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问,的取值可以为0,1,2,3,则 ‎,,‎ ‎,.‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的分布列为数学期望 ‎19．在矩形中，，，为线段的中点，如图1，沿将折起至，使，如图2所示．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件证明出平面，根据面面垂直的判定定理证明出平面平面；（2）取BE的中点为,以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设平面的法向量为，平面的法向量为，由线面垂直的性质定理，分别求出的坐标，求出二面角的余弦值。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：在图1中连接，则 ，，．　‎ ‎∵，，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面 平面.‎ ‎（2）解：取中点，连接，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面平面，∴平面．‎ 以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为 轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，‎ ‎，，，．‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由可得；‎ 由可得；‎ 则，由图形知二面角的平面角为钝二面角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．‎ ‎(I)求该小组未能进入第二轮的概率；‎ ‎(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）的分别列为 ‎.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件，，，则，，相互独立.该小组未能进入第二轮的概率 ‎（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．‎ 试题解析：‎ 分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件，，，则，，相互独立.‎ ‎（Ⅰ）该小组未能进入第二轮的概率 ‎.‎ ‎（Ⅱ）乙猜对歌曲次数的可能取值为0,1,2,3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分别列为 ‎.‎ 点睛：本题考查了相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；‎ ‎（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．‎ ‎（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求．‎ ‎(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0．0001)以及的数学期望．‎ 参考数据：．若，则．‎ ‎【答案】(1)9，1.78(2) （i）（ii）见解析 ‎【解析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知，，则，求出，结合已知公式求解．（ⅱ）由（i）知，可得，由求解，再由正态分布的期望公式求的数学期望．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ ‎ ；‎ ‎（2）（i）由题知，，∴，．‎ ‎∴；‎ ‎（ⅱ）由（i）知，‎ 可得，‎ ‎.‎ ‎∴的数学期望.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若的图像与相切，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】（1）由题意可得，设，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设的图象与相切于点，求得的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得. ，‎ 从而，即．‎ 设. ，则，（）‎ 所以时，，单调递增；‎ 时，，单调递减，‎ 所以当时， 取得最大值，‎ 故的取值范围是．‎ ‎（2）设的图像与相切于点，‎ 依题意可得 因为，‎ 所以 消去可得．‎ 令，‎ 则，‎ 显然在上单调递减，且，‎ 所以时，，单调递增；‎ 时，，单调递减，‎ 所以当且仅当时．‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在改点处切线的斜率，导数与函数单调性、极值和最值的关系，由，得函数单调递增，得函数单调递减，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．‎