2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末数学试题（理科）解析版

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末数学试题（理科）解析版

‎2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知（i是虚数单位），那么z的共轭复数对应的点位于复平面内的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．x=y B．x=2y C．x=2，且y=1 D．x=y或y=1‎ ‎3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（　　）‎ A． B． C．|a|＞﹣b D．‎ ‎4．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，则S2017=（　　）‎ A．2016 B．2017 C．﹣2015 D．﹣2018‎ ‎5．（5分）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=x+2 D．y=x﹣2‎ ‎7．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A．9 B．12 C．18 D．24‎ ‎8．（5分）已知数列{an}为等比数列，若a5=2，则数列{an}的前9项之积T9‎ 等于（　　）‎ A．512 B．256 C．128 D．64‎ ‎9．（5分）若函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx﹣x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，0] D．（﹣，0]‎ ‎10．（5分）定义为n个正数p1，p2…pn的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“平均倒数”为，又bn=，则++…+等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，2） B．[2，+∞） C．（0，2] D．（2，+∞）‎ ‎12．（5分）已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+2，且f（x）﹣2019为奇函数，则不等式f（x）﹣2017ex＜2的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）‎ ‎13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值是　 　．‎ ‎14．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为　 　．‎ ‎15．（5分）若∫（2x+）dx=　 　．‎ ‎16．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：‎ ‎①点P的轨迹关于y轴对称；‎ ‎②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；‎ ‎③|OP|的最小值为2，‎ 其中，所有正确命题的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）‎ ‎17．（10分）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：‎ ‎（Ⅰ）点A所在的象限；‎ ‎（Ⅱ）向量对应的复数．‎ ‎18．（12分）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c的最低点为（﹣1，﹣2）．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞7的解集；‎ ‎（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎20．（12分）在数列{an}中，a1=4，前n项和Sn满足Sn=an+1+n．‎ ‎（1）求证：当n≥2时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；‎ ‎（2）令，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）‎ ‎（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．‎ ‎（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．‎ ‎（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知（i是虚数单位），那么z的共轭复数对应的点位于复平面内的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简，求出对应的点的坐标得答案．‎ ‎【解答】解：由，‎ 得==，‎ 则．‎ ‎∴对应的点的坐标为：（﹣，），位于复平面内的第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．x=y B．x=2y C．x=2，且y=1 D．x=y或y=1‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质求出答案即可．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴x+2y≥2，当且仅当x=2y时取等号，‎ 故“x=2且y=1”是“x+2y=2”的充分不必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（　　）‎ A． B． C．|a|＞﹣b D．‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质判断即可．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴＞，‎ 故A错误，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，则S2017=（　　）‎ A．2016 B．2017 C．﹣2015 D．﹣2018‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，利用求和公式可得d，即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，‎ ‎∴d﹣2=18，‎ 化为：9d=18，解得d=2．‎ 则S2017=2017×（﹣2015）+=2017．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2=a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．‎ ‎【解答】解：设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2=a2+2，‎ 则﹣=1，则y02=2•=，‎ 又S=2，‎ 即为•2c•|2y0|==2，‎ 即为=，则==，‎ 故该双曲线的渐近线方程为y=±x．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=x+2 D．y=x﹣2‎ ‎【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．‎ ‎【解答】解：y=xex﹣1的导数为y′=（1+x）ex﹣1，‎ 可得曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线斜率为2，‎ 曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），‎ 即为y=2x﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A．9 B．12 C．18 D．24‎ ‎【分析】变形利用基本不等式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，不等式+≥恒成立，∴．‎ ‎∵=6+=12，当且仅当a=3b时取等号．‎ ‎∴m的最大值为12．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知数列{an}为等比数列，若a5=2，则数列{an}的前9项之积T9等于（　　）‎ A．512 B．256 C．128 D．64‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得：a1a9=a2a8=…==22=4．即可得出数列{an}的前9项之积T9．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a9=a2a8=…==22=4．‎ ‎∴数列{an}的前9项之积T9=a1a9•a2a8•…a5=44×2=29=512．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx﹣x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，0] D．（﹣，0]‎ ‎【分析】先求导，再由f'（x）=0得到x=1或aex﹣=0（*），根据（*）无解和函数的极值大于0即可求出a的范围，‎ ‎【解答】解：f（x）=a（x﹣2）ex+lnx﹣x，x＞0，‎ ‎∴f′（x）=a（x﹣1）ex+﹣1=（x﹣1）（aex﹣），‎ 由f'（x）=0得到x=1或aex﹣=0（*）‎ 由于f（x）仅有一个极值点，‎ 关于x的方程（*）必无解，‎ ‎①当a=0时，（*）无解，符合题意，‎ ‎②当a≠0时，由（*）得，a=，‎ 设g（x）=xex，‎ ‎∴g′（x）=ex（x+1）＞0恒成立，‎ ‎∴g（x）为增函数，‎ ‎∴函数y=为减函数 ‎∴当x→+∞时，y→0‎ ‎∴a＜0‎ ‎∴x=1为f（x）的极值点，‎ ‎∵f（1）=﹣ae﹣1＜0，‎ ‎∴a＞﹣‎ 综上可得a的取值范围是（﹣，0]‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）定义为n个正数p1，p2…pn 的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“平均倒数”为，又bn=，则++…+等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{an}的前n项和为Sn，根据求出an，代入bn=化简求出bn，代入化简后利用裂项相消法求出式子的和．‎ ‎【解答】解：由题意和“平均倒数”得，=，‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=2n2+n，‎ 当n=1时，a1=S1=3，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1‎ ‎=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1，‎ 当n=1时也适合上式，∴an=4n﹣1，则bn==n，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=（1）+（）+…+（）‎ ‎==，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查新定义的理解与应用，利用公式求数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，2） B．[2，+∞） C．（0，2] D．（2，+∞）‎ ‎【分析】设直线PQ的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得R点坐标，求得OR的方程，代入抛物线方程，即可求得S点坐标，由则=，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k（x﹣2），‎ ‎，消去y，整理得：k2x2﹣4（k2+2）x+4k2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），S（x3，y3），‎ 则x1+x2=，则x0==，y0=k（x0﹣2）=，‎ ‎∴kOS==，则直线OS的方程为y=x，，解得：x3=，‎ 由k2＞0，则==k2+2＞0，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+2，且f（x）﹣2019为奇函数，则不等式f（x）﹣2017ex＜2的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C． D．‎ ‎【分析】令2017g（x）=，（x∈R），从而求导g′（x）＜‎ ‎0，从而可判断y=g（x）单调递减，再由奇函数的性质可得，f（0）=2019，从而可得到不等式的解集．‎ ‎【解答】解：设2017g（x）=，由f（x）＞f′（x）+2，‎ 得：g′（x）=＜0，‎ 故函数g（x）在R递减，‎ 由f（x）﹣2019为奇函数，得f（0）=2019，‎ ‎∴2017g（0）=f（0）﹣2=2017，即g（0）=1，‎ ‎∵不等式f（x）﹣2017ex＜2，‎ ‎∴＜2017，即2017g（x）＜2017g（0），‎ 即有g（x）＜g（0），‎ 结合函数的单调性得：x＞0，‎ 故不等式f（x）﹣2017ex＜2的解集是（0，+∞），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）‎ ‎13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值是　﹣2　．‎ ‎【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=2x﹣y可得y=2x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值 ‎【解答】解：作出变量x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：‎ 由于z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小 作直线L：y=2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，‎ 由可得A（，3），此时z=﹣2．‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为　∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0　．‎ ‎【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可 ‎【解答】解：∵p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则￢p为∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0，‎ 故答案为：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若∫（2x+）dx=　3+ln2　．‎ ‎【分析】根据微积分基本定理计算即可 ‎【解答】解：∫（2x+）dx==22+ln2﹣12﹣ln1=3+ln2‎ 故答案为：3+ln2．‎ ‎【点评】本题主要考查了微积分定理，关键是求出原函数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：‎ ‎①点P的轨迹关于y轴对称；‎ ‎②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；‎ ‎③|OP|的最小值为2，‎ 其中，所有正确命题的序号是　①③　．‎ ‎【分析】运用椭圆的定义可得P也在椭圆+=1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；‎ 通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③．‎ ‎【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为 F1（，0）和F2（﹣，0），‎ 短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），‎ 设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，‎ 由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2＞2b，‎ 即有P在椭圆+=1上．‎ 对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，‎ 故①正确；‎ 对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，‎ 则椭圆G上满足条件的点P有4个，‎ 不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；‎ 对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，‎ ‎|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）‎ ‎17．（10分）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：‎ ‎（Ⅰ）点A所在的象限；‎ ‎（Ⅱ）向量对应的复数．‎ ‎【分析】（I）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎（II）利用复数的几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）z===1+i，所以=1﹣i，‎ 所以点A（1，﹣1）位于第四象限．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）又点A，B关于原点O对称．‎ ‎∴点B的坐标为B（﹣1，1）．‎ 因此向量对应的复数为﹣1+i．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）命题q为真命题，由已知得，可求实数k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4‎ ‎∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（5分）‎ ‎（Ⅱ）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10…（7分）‎ 由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题 …（8分）‎ 当命题p为真、命题q为假时，则，‎ 解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…（10分）‎ 当命题p为假、命题q为真时，则，k无解．…（12分）‎ ‎∴实数k的取值范围是﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…（13分）‎ ‎【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c的最低点为（﹣1，﹣2）．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞7的解集；‎ ‎（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据二次函数的性质求出a=1，c=﹣1，再解f（x）＞7即可，‎ ‎（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立转化为（﹣）2﹣≤t﹣1≤（+）2﹣，求出范围即可 ‎【解答】解：（1）依题意，得﹣=﹣1，①‎ f（﹣1）=a﹣2+c=﹣2，②‎ 由①②解得，a=1，c=﹣1．‎ ‎∴f（x）=x2+2x﹣1．‎ 则原不等式可化为x2+2x﹣8＞0，解得x＜﹣4或x＞2．‎ 故不等式f（x）＞7的解集为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．‎ ‎（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，得（x﹣t+1）2﹣2≤x﹣2，‎ 即﹣≤x﹣t+1≤，则x﹣≤t﹣1≤x+，‎ 即（﹣）2﹣≤t﹣1≤（+）2﹣．‎ ‎∵x∈[2，4]，‎ ‎∴（+）2﹣的最小值是（+）2﹣=2+．‎ ‎∴（+）2﹣的最大值是（﹣）2﹣=2．‎ ‎∴2≤t﹣1≤2+，即3≤t≤3+．‎ 故实数t的取值范围是[3，3+]．‎ ‎【点评】‎ 本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题，深刻把握“三个二次”间的关系是解决问题的关键，恒成立问题常转化为函数最值解决．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在数列{an}中，a1=4，前n项和Sn满足Sn=an+1+n．‎ ‎（1）求证：当n≥2时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；‎ ‎（2）令，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=an+1+n﹣an﹣n+1，即an+1﹣1=2（an﹣1），再由等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）把{an}的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎【解答】（1）证明：n=1，a1=4．‎ 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=an+1+n﹣an﹣n+1，‎ ‎∴an+1﹣1=2（an﹣1），‎ ‎∴，‎ 则，得 ，‎ ‎∴an=；‎ ‎（2）解：当n=1时，．‎ 当n≥2时，，‎ ‎∴当n=1时，，‎ 当n≥2时，，‎ 令，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 经检验n=1时，T1也适合上式．‎ ‎∴（n∈N*）．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．‎ ‎【分析】（1）利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．‎ ‎【解答】解：（1），a2=2c2，b2=c2，又bc=1，∴‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）证明：设直线l的方程为y=k（x+1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2）‎ 联立得（2k2+1）x2+4k（k+1）x+2k2+4k=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎=．‎ ‎=．‎ ‎∴直线BM与BN的斜率之和为定值．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）‎ ‎（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．‎ ‎（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．‎ ‎（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．‎ ‎【分析】（1）由题意x＞0，=lnx﹣k，由此根据k≤0，k＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎（2）问题转化为k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．‎ ‎（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），‎ ‎∴x＞0，=lnx﹣k，‎ ‎①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，‎ 函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；‎ ‎②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，‎ 当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），‎ 在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值．‎ ‎（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，‎ ‎∴f（x）﹣4lnx＜0，‎ 即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，‎ 即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，‎ 令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，‎ ‎∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，‎ 要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，‎ ‎∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．‎ 证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，‎ 在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，‎ 不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，‎ 要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，‎ ‎∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），‎ 又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，‎ 构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），‎ 即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）‎ h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），‎ ‎∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，‎ ‎∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），‎ ‎∵，故h（x）＜0，‎ ‎∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．‎ ‎　‎