数学文卷·2018届河南省郑州一中高三上学期第二次月考（2017

数学文卷·2018届河南省郑州一中高三上学期第二次月考（2017

河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（是虚数单位）在复平面内所对应的点在直线 上．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题：，命题：，则命题是命题的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到直线的距离为（ ）‎ A．5 B．6 C． 10 D．12‎ ‎5．已知数列的通项公式为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某程序框图如图所示，则输出的结果等于（ ）‎ A．7 B．16 C． 28 D．43‎ ‎8．为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1:2，则这四个单位的总人数为（ ）‎ A．96 B．120 C．144 D．160‎ ‎9．函数的递减区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．小王计划租用两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩，‎ 与两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ）‎ A．1000元 B．2000元 C．3000元 D．4000元 ‎12． 祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为），四棱锥的底面是有一个角为的菱形（边长为），圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数的定义域为 ．‎ ‎14．已知，则实数的值为 ． ‎ ‎15．在中，内角所对的边分别为，已知，则的面积为 ．‎ ‎16．正六边形的边长为1，在正六边形内随机取点，则使的面积大于的概率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．‎ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设,将的底数与指数互换得到，设数列的前项和为，求证：．‎ ‎18．在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），的延长线与的延长线交于点，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，并分别求出此时的值．‎ ‎19．某校高一年级共有1000名学生，其中男生400名，女生600名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为100分）．为研究这次口语考试成绩为高分（80分以上（含80分）为高分）是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生的成绩，按从低到高分成七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．已知区间上的频率等于区间上频率，区间上的频率与区间上的频率之比为．‎ ‎（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的人数；‎ ‎（2）请你根据已知条件将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．‎ 附：‎ ‎0．010‎ ‎0．050‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎6．635‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎20．已知椭圆：的离心率与双曲线：的离心率互为倒数，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．‎ ‎21．已知函数的一个极值为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值为18，求实数的值．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程．‎ ‎（1）写出直线的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆上的点到直线的距离最近，点到直线的距离最远，求点的横坐标之积．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：BCADD 6-10：ACBAD 11、12：DC 二、填空题 ‎13． 14．1 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）设（为常数），则，‎ 得，又，所以，即 所以，由，，得 又因为，所以数列是以1为首项，8为公比的等比数列，所以，‎ 所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（）式，得，所以 将的底数与指数互换得到，所以.‎ ‎.‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎.‎ 综上，成立. ‎ ‎18、（1）证明：因为平面，平面，所以.‎ 因为底面是矩形，所以 又因为，所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（2）如图所示，取线段的中点，连接，‎ 作，垂足为，连接，则此时满足直线平面.‎ 由（1）得，平面，又平面，‎ 所以 因为平面，所以 又因为是等腰三角形，所以.‎ 又因为，所以平面.‎ 又因为，，所以平面.‎ 易知，下面求解：‎ 因为，，所以可设，则，.‎ 在等腰直角三角形中，由勾股定理，得.‎ 因为平面，又平面，‎ 所以 的平面图如图所示：‎ 在中，由勾股定理，得，‎ 所以.‎ 在中，由，得 所以.‎ 综上，在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，‎ 并且此时，.‎ ‎19、(1)设区间上的频率为，则区间上的频率为，‎ 区间上的频率为，‎ 则，‎ 解得.‎ 故区间上的频率为，区间上的频率为.‎ 所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为 所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为.‎ ‎（2）根据已知条件补全列联表如下：‎ 因为，‎ 所以有的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．‎ ‎20、（1）因为双曲线：的离心率，‎ 而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为，‎ 设椭圆的半焦距为，则.①‎ 又椭圆经过点，所以.②‎ ‎，③‎ 联立①②③，解得.‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为.‎ 所以可设线段所在直线的方程为，‎ 设点，‎ 联立，消去，并整理得，‎ 显然.‎ 所以 ‎，‎ 则 因为，所以，‎ 所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线．‎ ‎21、（1）由，得 ‎，‎ 令，得或；令，得；‎ 令，得或.‎ 所以函数有两个极值为和令.‎ 若，得，解得；‎ 若，得，解得；‎ 综上，实数的值为或5. ‎ ‎（2）由（1）得，，在区间上的变化情况如下表所示：‎ 由上表可知，当时，函数在区间上的最大值为，其值为或，不符合题意．‎ 当时，函数在区间上的最大值为，其值为或25，不符合题意．‎ 当时，要使函数在区间上的最大值为18，必须使，且（因为若，则极大值，那么，函数在区间上的最大值只可能小于，更小于18，不合题意）.‎ 即，所以.‎ 所以或.‎ 因为，所以舍去.‎ 综上，实数的值为．‎ ‎22、（1）直线的参数方程为即（为参数）‎ 由得 因为，，，‎ 所以，即圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程是，‎ 过圆心且垂直于的直线的方程为，‎ 即.‎ 则直线：与圆：的交点为两点.‎ 设点的横坐标分别为，联立消去，‎ 得，则.‎ 故点的横坐标之积为.‎ ‎23、解：（1）原不等式等价于或或 ‎，解得或或.‎ 所以不等式的解集为或．‎ ‎（2）不等式恒成立等价于，即 因为，‎ 所以，得，得，解得.‎ 故实数的取值范围是.‎