【推荐】专题2-5 指数与指数函数 -2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题2-5 指数与指数函数 -2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

‎【真题回放】‎ ‎1.【2017课标1理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 ( )‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】由可得，则，即，所以，，故选A.‎ ‎【考点解读】本题考查了集合的运算及指数不等式。解法上应先运运用指数运算性质求出集合B，再进行集 合运算（注意运用数轴）.‎ ‎2.【2017课标1理11】设x、y、z为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎【答案】D ‎ 3. 【2017高考江苏理11】已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，‎ 则实数a的取值范围是 。‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为，所以函数是奇函数，‎ 因为，所以数在上单调递增，‎ 又，即，所以，即，‎ 解得，故实数的取值范围为.‎ ‎【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由函数解析式（含指数型函数），‎ 判断出是奇函数，再通过导数判断出定义域上的单调性，化为比较自变量。对知识综合运用要求较 高。‎ ‎4.【2017山东高考理15】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .‎ ‎ ① ② ③ ④‎ ‎【答案】①④‎ ‎【考点解读】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，新定 义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可 ‎（即函数的单调性）．‎ ‎5.【2017课标3理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.‎ ‎【答案】 ‎【考点解读】‎ 本题以分段函数（含指数函数）为载体，求解不等式。考查了分类思想。解题需注意；‎ (1) 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出 现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. ‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 有理指数幂的含义 B 实数指数幂的意义 A 幂的运算 C 指数函数的概念、图像及其性质 B 指数与指数函数部分内容，要求学生熟练掌握指数幂的运算，理解指数函数及其图像的概念及其性质，并体会指数函数是一类重要的函数模型。高考对该部分的考查，常与函数性质相结合，常见问题为函数求值，比较数值大小、解不等式、函数零点、求最值、求参数范围等。解决问题中要注意数形结合思想及分类思想的运用。‎ 融会贯通 题型一　指数幂的运算 典例1.（1）（2017银川一中月考）化简的结果是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎（2）（2016包头市模拟）已知,则 ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】把所求式子化简，根据指数运算法则可以求值.本题首先利用的关系消去，‎ 得到.‎ ‎（3）（2017潍坊模拟）(Ⅰ) 已知，计算：；‎ ‎(Ⅱ) 求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)4 (Ⅱ)‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 指数幂的运算规律 ‎1．有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．‎ ‎2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．‎ ‎3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．‎ ‎4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．‎ ‎5．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2017陕西西藏民族学院附中月考）＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式 ‎2.（2017石家庄一中模拟）已知实数满足，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎3. （2017银川一中月考）（1）化简．‎ ‎（2）已知当=27,=64时，化简并计算 ‎【答案】（1）； （2）48‎ ‎【解析】（1）原式．‎ ‎（2）原式=5×4×=24=24，当=27,=64时，原式=24×2=48‎ ‎【知识链接】‎ 知识点1　根式的概念及重要公式 ‎1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N*‎ 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 零的n次实数方根是零 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 ‎± 负数没有偶次方根 ‎2.两个重要公式;(1)＝ ‎(2)()n＝a(注意a必须使有意义)．‎ 知识点2　有理指数幂 ‎1．分数指数幂 ‎(1)正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；‎ ‎(2)负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；‎ ‎(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎2．有理数指数幂的运算性质 ‎(1) ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ‎ ‎(2) (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ‎ ‎(3) (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．‎ 题型二　指数函数的图像 典例2. (1)（2016深圳模拟）若函数y＝ax＋b的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．01，－11,00，且a≠1)叫做指数函数，其中x为自变量 底数 a>1‎ ‎00时，y>1；当x<0时，00时，01‎ 在R上是增函数 在R上是减函数 必会结论；在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．‎ 必清误区；指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，当底数a不确定时，‎ 应按01进行分类讨论．‎ 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　　比较指数幂的大小 典例3. （1）(2016临沂模拟)若a<0，则(　　)‎ A．2a>a>(0.2)a B．(0.2)a>a>2a C. a>(0.2)a>2a D．2a>(0.2)a>a ‎【答案】　B ‎【解析】∵a<0，∴2a<0，a>1,0.2a>1，所以2a最小．而＝a∈(0,1)，‎ ‎∴a<(0.2)a. ∴(0.2)a>a>2a.‎ ‎（2）(2016浙江省杭州市严州中学月考)设，那么 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎(3)（2017大庆一中期末）指数函数、、、在同一坐标系中的图象如图所示，则与1的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由、为增函数可知，由、为减函数可知结合指数函数的渐进性可知 命题点2　简单的指数方程或不等式的应用 ‎(4) （2017宁夏大学附属中学期中）满足的的取值集合是 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由得 ‎（5）(2016石家庄模拟)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】　(－3,1)‎ ‎【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1即a<8，即a<－3，所以a>－3.又a<0，‎ ‎∴－30，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.‎ ‎【答案】 考点：指数函数性质 ‎9．（2017保定模拟）函数的图象恒过定点A，若点在直线上，‎ 则的最大值为__________‎ ‎【答案】 ‎【解析】函数,时恒过定点,点在直线上，‎ 即,根据基本不等式: ,当且仅当取等号,故填.‎ 考点：指数函数过定点与基本不等式 ‎10．（2017银川模拟）直线 与函数 的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ 考点：指数函数的图象.‎ ‎11．（2017甘肃武威模拟）设函数，则:‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）证明：‎ ‎.‎ ‎（2）令，则 ‎，两式相加，‎ 由（1）得.‎ 考点：指数函数的性质、倒序求和；‎ ‎12．（2017台州模拟）设函数是定义在上的减函数，并且满足；‎ ‎， .‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）如果，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ 则得：‎ 考点：赋值法，单调性，不等式.‎ ‎ ‎