数学文卷·2017届甘肃省天水市一中高三下学期第三次诊断考试（2017

数学文卷·2017届甘肃省天水市一中高三下学期第三次诊断考试（2017

天水一中2014级文科第三次诊断考试 命题：赵玉峰 武笎 审核：黄国林 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知（）且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取名成年人调查是否抽烟及是否患有肺病得到列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，.则该研究所可以（ ）‎ A．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ B．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ C．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ D．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ ‎4．已知，，，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为675,125，则输出的（ ）‎ A. 0 B. 25 C. 50 D. 75‎ ‎6．已知等比数列中，，等差数列中，则数列的前项和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎8．已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. -2‎ ‎9．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数的部分图象如图所示，点是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于两点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（ ）个.‎ A．6 B．2 C．4 D．8‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题20分）‎ ‎13．在四边形中，，，则该四边形的面积为_______‎ ‎14．已知满足约束条件则的最大值为_______.‎ ‎15．函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ‎ ‎16．已知数列的前项和，若，则__________．‎ 三、解答题（共6小题）‎ ‎17．（本小题满分12分）在中， ．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求的周长的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）“累积净化量（CCM）”‎ 是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分：‎ 累积净化量（克）‎ ‎12以上 等级 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ 为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中．按照， ， ， ， 均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求的值及频率分布直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？‎ ‎（Ⅲ）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面， 分别是线段的中点.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）如果对所有的≥1，都有≤，求的取值范围.‎ ‎22．（本小题满分10分）已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.‎ ‎23．（本小题满分10分）已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为.‎ ‎（1）求整数的值；‎ ‎（2）已知，若，求的最大值.‎ 天水一中2014级第三次诊断考试文科答案 评卷人 得分 一、选择题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：集合，所以，故选C.‎ ‎2．已知（）且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据复数的模的公式，可知，即，因为，所以，即，所以，故选A．‎ 考点：复数的模和共轭复数．‎ ‎3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取名成年人调查是否抽烟及是否患有肺病得到列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，.则该研究所可以（ ）‎ A．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ B．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ C．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ D．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为,而,故有有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”,选A.‎ 考点：独立性检验.‎ ‎4．已知，，，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为恒成立，所以命题为真命题，因为恒成立，所以为假命题，根据复合命题的真值表，可知为真命题，故选A．‎ 考点：复合命题真值表．‎ ‎5．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为675,125，则输出的（ ）‎ A. 0 B. 25 C. 50 D. 75‎ ‎【答案】B ‎【解析】当此时 否, 否, 是,输出 ,选B.‎ ‎6．已知等比数列中，，等差数列中，则数列的前项和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由于为等比数列,则,又,所以,在等差数列中,,所以,数列的前项和,故选B.‎ ‎7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据三视图的特征，得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体．其底面积的面积：；底面周长：；侧面面积：．所以几何体的表面积：，故选B．‎ 考点：三视图的识别，几何体的表面积计算．‎ ‎8．已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知有圆心 到直线的距离为1,所以有 ,当 时,圆心为 在第一象限,这时切点在第一象限,不符合;当时, 圆心为 在第三象限,这时切点也在第三象限,符合,所以.选B.‎ ‎9．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ，求的外接球的表面积，选C ‎【点睛】‎ 求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。充分体现补形转化思想。‎ ‎10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为， ，所以为正三角形，又， ‎ ‎，因此，所以，故选A．‎ 点睛：在涉及到过抛物线的焦点弦长或抛物线上的点到焦点的距离时一般要与抛物线的定义联系，利用抛物线的定义求得弦长、距离，本题根据抛物线的定义及已知得是正三角形，从而只要求得的长，即可求得三角形的面积．‎ ‎11．已知函数的部分图象如图所示，点是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于两点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由三角函数的图象,为线段的中点,所以,又,所以,又因为,所以最小正周期,而,故,故选D.‎ ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（ ）个.‎ A．6 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：函数的零点个数等价于函数的图象与直线 的图象的交点个数.由已知条件作出函数的图象与直线的图象,如下草图.由图可知, 函数的图象与直线的图象有个交点.‎ 考点：1.偶函数的性质；2.数形结合思想；3.方程根的个数的判断.‎ ‎【方法点晴】本题考查了偶函数图象的特征,利用数形结合求方程根的个数,属于中档题. 函数的零点个数等价于函数的图象与直线的图象的交点个数.先由已知条件作出函数在时的图象,再利用对称性,作出上的图象.由图可知, 函数的图象与直线的图象有个交点.利用分段函数的表达式,作出的图象是本题的关键.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在四边形中，，，则该四边形的面积为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，，所以，且，从而有该四边形的面积为 考点：向量的关系，向量的模，四边形的面积．‎ ‎14．已知满足约束条件则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由不等式组画出可行域如下图阴影部分，其中，令则，是经过原点的一条直线，当此直线向右上方平移时，纵截距逐渐变大，的值也逐渐变大，经过时，有最大值.‎ 考点：简单的线性规划.‎ ‎17．函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，，‎ ‎，故切线方程为，令得，令得，故切线与坐标轴围成的三角形面积为 考点：1.导数的几何意义；2.三角形面积公式.‎ ‎16．已知数列的前项和，若，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由已知，类似可得，…， ，‎ ‎， ，…， ，‎ ‎∴ ．‎ 点睛：数列的求和可根据不同的题型选用不同的方法，如公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法，分组求和法等，本题已知是递推式，而且递推式与有关，因此在求和时，要首先研究数列的性质、规律，可把已知条件具体化，写出从1开始的若干个式子： ， ， ， ， ， ， ，对这些式子分析寻找到题中的规律，分别可出奇数项和与偶数项和，从而得．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中， ．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求的周长的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据倍角公式可将已知等式转化为关于的二次方程，解方程求得的值，进而得到角的大小；‎ ‎（2）根据正弦定理可将三角形的边长用对应角的正弦值表示，列出周长的表达式并利用两角和与差公式化为关于角的三角函数，进而根据三角函数的值域求得周长的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为，所以，‎ 所以， ‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ ‎(2)因为， ， ，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 又因为，所以，所以 考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.‎ ‎18．“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分：‎ 累积净化量（克）‎ ‎12以上 等级 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ 为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中．按照， ， ， ， 均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求的值及频率分布直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？‎ ‎（Ⅲ）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）560台;（Ⅲ）．‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据频率分布直方图分析求解；（2）依据题设借助频率分布直方图求解；（3）运用列举法及古典概型的计算公式分析求解：‎ ‎（Ⅰ）因为之间的数据一共有6个，‎ 再由频率分布直方图可知：落在之间的频率为．‎ 因此， ．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在之间共： 台，‎ 又因为在之间共4台，‎ ‎∴落在之间共28台，‎ 故，这批空气净化器等级为的空气净化器共有560台．‎ ‎（Ⅲ）设“恰好有1台等级为”为事件 依题意，落在之间共有6台．记为： ，属于国标级有4台，我们记为： ，‎ 则从中随机抽取2个，所有可能的结果有15种，它们是： ‎ ‎ ，‎ 而事件的结果有8种，它们是： ．‎ 因此事件的概率为．‎ ‎19．已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面， 分别是线段的中点.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】(1)证明：连接，则，又，又平面，又平面，又平面.‎ ‎(2) ， ，‎ ‎，解得，即点到平面 的距离为.‎ ‎20．已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当,的最大值为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由椭圆右焦点坐标得到,由椭圆方程得到,所以；（2）当直线无斜率时，算出,当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程,消去得,由韦达定理求出的值,而,再由基本不等式求出最大值.‎ 试题解析：解：（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，‎ 所以，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线无斜率时，直线方程为，此时，‎ ‎，面积相等，.‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，‎ 和椭圆方程联立得，消掉得，‎ 显然，方程有根，且.‎ 此时.‎ 因为，上式，（时等号成立），‎ 所以的最大值为. ‎ 考点：1.求椭圆的方程；2.韦达定理；3.基本不等式.‎ ‎21．（本小题满分12分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）如果对所有的≥1，都有≤，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，再对的取值范围进行讨论，即可得的单调性；（Ⅱ）设，先对函数求导，再对的取值范围进行讨论函数的单调性，进而可得的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为， 2分 当时，，当时， 3分 所以函数在上单调递减，在单调递增. 5分 ‎（Ⅱ）法一：设，则 因为≥1，所以 7分 ‎（ⅰ）当时，，，所以在单调递减，而，所以对所有的≥1，≤0，即≤； ‎ ‎（ⅱ）当时，，若，则，‎ ‎ 单调递增，而，所以当时，，即； ‎ ‎（ⅲ）当时，，，所以在单调递增，而，所以对所有的≥1，，即； ‎ 综上，的取值范围是 12分 法二：当≥1时， ≤ 6分 令，则 7分 令，则，当≥1时， 8分 于是在上为减函数，从而，因此， 9分 于是在上为减函数，所以当时有最大值， 11分 故，即的取值范围是. 12分 ‎22．已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.‎ ‎【答案】（1）直线与圆相离；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将直线的参数方程化为普通方程,曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用圆心到到直线的距离与圆的半径大小关系,得出结果；（2）求出圆心到直线的距离,利用勾股定理求出切线长.‎ 试题解析：解：（1）直线方程：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴圆心到直线的距离为，故直线与圆相离. ‎ ‎（2）直线的参数方程化为普通方程为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.‎ 考点：1.参数方程化为普通方程和极坐标方程化为直角坐标方程；2.直线与圆位置关系；3.点到直线距离公式.‎ ‎23．已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为.‎ ‎（1）求整数的值；‎ ‎（2）已知，若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）解含有绝对值的不等式,由于不等式仅有一个整数解,求出整数的值；（2）利用柯西不等式得到的范围,求出最大值.‎ 试题解析：解：（1）由，得，‎ ‎∴不等式的整数解为，∴，‎ 又不等式仅有一个整数解，∴.‎ ‎（2）显然，‎ 由柯西不等式可知：，‎ 所以即，‎ 当且仅当时取等号，最大值为.‎ 考点：1.含有一个绝对值不等式的解法; 2.柯西不等式的应用.‎