内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

‎2019-2020学年高二下学期第一次月考 数学（理）试卷 说明：本卷满分150分，答卷时间120分钟，答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若为实数且,则（ ）‎ A． B．‎0 C．1 D．2‎ ‎3．已知，，向量的夹角为，则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎4．已知p：，q：，则是成立的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）‎ A．升 B．升 C．升 D．升 ‎6．函数的大致图象为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．已知等比数列满足，，则数列前项的和（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．把函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9．已知命题．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )‎ A. B． C． D．‎ ‎10．下列大小关系正确的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11．若函数，又，且的最小值为，则正数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知以为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知向量，，则 ．‎ ‎14．在极坐标系中，点A到点B的距离为 ．‎ ‎15．点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 ．‎ ‎16．某煤气站对外输送煤气时，用号个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：‎ ‎（i）若开启号，则必须同时开启号并且关闭号；‎ ‎（ii）若开启号或号，则关闭号；‎ ‎（iii）禁止同时关闭号和号，‎ 现要开启号，则同时开启的另外个阀门是 ．‎ 三、解答题（本小题共6小题，第17题10分，第18—22题各12分，共计70分；解答时请写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤。）‎ ‎17．在平面直角坐标系中，已知曲线 （为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求的值 ‎18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=,PD⊥平面ABCD,PD=AB=1，点E,F分别为AB和PD中点.‎ ‎（I）求证：直线AF//平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求PE与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：‎ A组 B组 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．在数列中，‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前n项和.‎ ‎21．已知的内角所对应的边分别为，且满足.‎ ‎（1）判断的形状；‎ ‎（2）若，，为角的平分线，求的面积.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，且过点；若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．‎ 参考答案 一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ A ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若为实数且,则（ B ）‎ A． B．‎0 C．1 D．2‎ ‎3．已知，，向量的夹角为，则（ D ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎4．已知p：，q：，则是成立的（ A ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（ C ）‎ A．升 B．升 C．升 D．升 ‎6．函数的大致图象为（ A ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．已知等比数列满足，，则数列前项的和（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．把函数的图象向左平移 个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（ C ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9．已知命题．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( D )‎ A. B． C． D．‎ ‎10．下列大小关系正确的是（ C ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11．若函数，又，且的最小值为，则正数的值为（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知以为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围为（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ 第12题【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得 令，则有 由 同样由与第三个半椭圆无交点，由可计算得 综上知．‎ 完整计算出来太复杂，时间不允许，可用排除法.‎ 要注意的是：直线与半椭圆相切，切点不在顶点，而在侧面，若直线与第二个半椭圆相切，则应该比小，假如，那么只要比大一点，就有两个交点，显然C、D选项范围小了；再考虑直线和第三个半椭圆相切时，应该比小，例如，那么要比要小，显然选项A范围太大.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知向量，，则．‎ ‎14．在极坐标系中，点A到点B的距离为．‎ ‎15．点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为．‎ ‎16．某煤气站对外输送煤气时，用号个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：‎ ‎（i）若开启号，则必须同时开启号并且关闭号；‎ ‎（ii）若开启号或号，则关闭号；‎ ‎（iii）禁止同时关闭号和号，‎ 现要开启号，则同时开启的另外个阀门是3号和4号．‎ 三、解答题（本小题共6小题，第17题10分，第18—22题各12分，共计70分；解答时请写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤。）‎ ‎17．在平面直角坐标系中，已知曲线 （为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求的值 解：（1）曲线化为普通方程为：,- - - - - - - - - - - - - - - -得2分 由，得，- - - - - - - - - - - - -得3分 所以直线的直角坐标方程为. - - - - - - - - - - - - - - - - - -得5分 ‎（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），- - - - - - - - -得6分 代入化简得：， - - - - - - - - - - - - - - - -得7分 设两点所对应的参数分别为，‎ ‎∴， - - - - - - - - - - - - - - - -得8分 ‎∴- - - - - - - - - - -得10分 ‎18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=,PD⊥平面ABCD,PD=AB=1，点E,F分别为AB和PD中点。‎ ‎（I）求证：直线AF//平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求PE与平面PBC所成角的正弦值。‎ 解：（I）证明：取PC的中点为M，连接FM，EM ‎,∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，‎ ‎∴直线AF∥平面PEC．- - - - - - - - - -得6分 ‎（Ⅱ）连接DE，‎ ‎∴以D为坐标原点，以DE,DC,DP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系D-xyz， - - - - - - - - - - - - - - - -得7分 则P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0)，，‎ ‎∴ - - - - - - - - - - - - - - - -得8分 设平面PBC的一个法向量为.‎ ‎∵∴，∴. - - - -得10分 设PE与平面PBC所成角为，∴‎ ‎∴PE平面PBC所成角的正弦值为. - - - - - - - - - - - - - - -得12分 ‎19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：‎ A组 B组 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 解：（1）K2==≈0.649＜0.708；‎ ‎∴没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关； - - - - - - - - - - - -得4分 ‎（2）由题意得，所抽取的5位女性中，‎ ‎“A组”有5×=3人，“B组”有5×=2人； - - - - - - - - - - - -得6分 ‎（3）X的所有可能取值为1，2，3， - - - - - - - - - - - -得7分 则P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，‎ 所有X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ - - - - - - - - - - - -得10分 ‎∴数学期望为EX=1×+2×+3×=． - - - - - - - - - - -得12分 ‎20．在数列中，‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前n项和.‎ 解：（1）证明： ‎ ‎ - - - - - - - - - - -得4分 是首项为4，公比为2的等比数列 - - - - - - - - - - - -得5分 ‎ - - - - - - - - - - - -得7分 ‎（2）‎ ‎ - - - - - - - - -得9分（会分组给2分）‎ ‎ - - - - - - - - - - - -得12分（两个和，每一个和给2分，都对给3分）‎ ‎21．已知的内角所对应的边分别为，且满足.‎ ‎（1）判断的形状；‎ ‎（2）若，，为角的平分线，求的面积.‎ 解：（I）由，得 ‎, - - - - - - - - - - -得2分 ‎,. - - - - - - - - - -‎ ‎ -得4分 ‎

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