四川省自贡市富顺县第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

四川省自贡市富顺县第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

数 学(理科)‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．下列说法正确的是（ ）‎ A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 ‎ C．梯形一定是平面图形 D．两个不同平面和平面有不在同一条直线上的三个交点 ‎2．以为圆心，4为半径的圆的方程为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2)∪ B． ‎ C．(－2,0) D． ‎4．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥侧面中面积最大的是（ ）‎ ‎ ‎ A． B．6 C． D．10 ‎ ‎5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为8、2，则输出=（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+n=0外切，则n=（　　）‎ A. 21 B. 9 C. 19 D. ‎ ‎7．如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　) ‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎8．.已知是直线上的动点，是的两条切线（为切点），则四边形面积的最小值（ ）‎ A．　　　B．　　 C．　　 D． ‎ ‎9．设三棱柱的侧棱垂直于底面， ，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．在正方体-中，求直线和平面所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知圆，圆，且圆与圆存在公共点，则圆与直线的位置关系是（　　）‎ A.相切 B.相离 C.相交 D.相切或相交 ‎12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是(　　) ‎ A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B．异面直线AD与PB所成的角为90°‎ C．二面角P－BC－A的大小为45°‎ D．BD⊥平面PAC 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_________．‎ ‎14．若正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为 ．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．‎ ‎16．如图，直三棱柱中,，， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：‎ ‎① 直线与直线是异面直线；②一定不垂直；‎ ‎③ 三棱锥的体积为定值； ④的最小值为.‎ 其中正确的序号序号是 ．‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分 ）已知圆C的方程是，直线的方程为，求当为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．‎ 18. ‎(12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点． （1）求证：CN // 平面AB1M； （2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值．‎ ‎19．（12分）已知直线与直线交于点．‎ ‎（1）求过点且平行于直线的直线的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长．‎ ‎20.（12分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且，O，M分别为AB，VA的中点。‎ 求证：（1）平面MOC⊥平面VAB （2）求三棱锥V-ABC的体积 ‎ ‎ ‎21.（12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=1，AB=，BC=，AA1=.‎ ‎（I）求证：A1B⊥B1C；‎ ‎（II）求二面角A1—B1C—B的平面角的余弦值.‎ ‎22．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；‎ ‎（1）求线段AB中点M的轨迹方程；‎ ‎（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.‎ ‎（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.‎ 数学参考答案 选择题：1-5 C C D C B 6-10 B B B D B 11-12 C D ‎ 填空题：13. 14. 4 15.（理科） （文科） 16.（理科） ①③④（文科）①④‎ ‎16:解析:如图，‎ ‎∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，‎ ‎∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；‎ 当E与B重合时，AB1⊥A1B，而C1B1⊥A1B，‎ ‎∴A1B⊥平面AB1C1，则A1E垂直AC1，故②错误；‎ 由题意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA1C1C，‎ ‎∴E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值，故③正确；‎ 设BE＝x，则B1E＝2﹣x，∴AE+EC1．‎ 由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，‎ 其最小值为2，故④正确．‎ 故答案为：①③④‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分 ）已知圆C的方程是，直线的方程为，求当为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．‎ 解析：（1）∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有：．‎ ‎（2）∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，‎ ‎，即时，直线与圆相切．‎ 18. ‎(12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点． （1‎ ‎）求证：CN // 平面AB1M； （2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值．‎ 证明：（1）取AB1的中点Q，连结NQ，MQ， ∵N，Q分别是AB，AB1的中点，∴NQ， 又M是CC1的中点，∴MCBB1，∴NQMC， ∴四边形NQMC是平行四边形，∴NC∥MQ， ∵CN⊄平面AB1M，MQ⊂平面AB1M， ∴CN∥平面AB1M． 解：（2）取BB1中点R，连结CR，NR， ∵M，R分别是CC1，BB1的中点，∴CMB1R， ∴四边形CMBR是平行四边形，∴CR∥B1M， ∴∠RCM为异面直线CN与B1M所成角， ∵△ABC是边长为2正三角形，∴CN=， 又三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面， ∴CR==，NR==， ∴CN2+NR2=CR2，∴∠RNC=90°，∴cos=， ∴异面直线CN与B1M所成角的余弦值为．‎ ‎19．（12分）已知直线与直线交于点．‎ ‎（1）求过点且平行于直线的直线的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长．‎ ‎【详解】（1）由， ‎ 令， ‎ 将代入得： ‎ ‎（2）圆心到直线的距离， ‎ 所以 ‎20.（12分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥‎ BC且，O，M分别为AB，VA的中点。‎ 求证：（1）平面MOC⊥平面VAB （2）求三棱锥V-ABC的体积 ‎ ‎ ‎21.（12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=1，AB=，BC=，AA1=.‎ ‎（I）求证：A1B⊥B1C；‎ ‎（II）（理科）求二面角A1—B1C—B的平面角的余弦值。‎ ‎（II）（文科）求直线B1C与面AA1C1C的正弦值。‎ ‎22．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；‎ ‎（1）求线段AB中点M的轨迹方程；‎ ‎（理科）（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.‎ ‎（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.‎ ‎（文科）（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.‎ ‎（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）‎ ‎（1）解：设点 由中点坐标公式有 ‎ 又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：‎ 点的轨迹方程为： ‎ ‎（理科）（2）令，则 当，即时面积最大为2 ‎ 又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令 故直线的方程为： ‎ ‎（3）设点，由于点 则，令 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.‎ 当直线与圆相切时，取得最大或最小 故有 所以 ‎（文科）（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即 当时，弦长最短，‎ 此时圆的面积最小，圆的半径，面积 ‎ 又，所以直线斜率，又过点 故直线的方程为： ‎ ‎（3）设点，由于点 法一：所以，令 ‎ 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.‎ 当直线与圆相切时，取得最大或最小 故有 所以 ‎ 法二：‎ ‎∴从而