数学理卷·2017届福建省莆田第六中学高三下学期第二次模拟考试（2017

数学理卷·2017届福建省莆田第六中学高三下学期第二次模拟考试（2017

莆田第六中学2017届高三第二次模拟考试数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分） ‎‎2017-05-13‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.设命题，，则为（ ）（ ）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎3.已知复数，，若复数，则实数的值为（ ）‎ A. B‎.6 ‎ C. D. ‎ ‎4.已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为，则等于（ ）‎ A. B. C.7 D. ‎ ‎5.已知，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7．某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( )‎ ‎（A）18 （B）24 （C）36 （D）42‎ ‎8．设非负实数和满足，则的最大值为（ ）‎ A.2 B. C.6 D.12‎ ‎9.已知等比数列，且，则的值为（ ）‎ A.2 B‎.4 ‎ C.8 D.16‎ ‎10.若实数、、，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则算筹式 表示的数字为 ． ‎ ‎14. 下面的程序框图中，若输入，则输出的结果为 ．‎ ‎15.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的 一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，‎ 若，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.在中，，为平面内一点，且，‎ 为劣弧上一动点，且，‎ 则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 数列是公差为的等差数列，为其前n项和，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）证明成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求的值。‎ ‎18随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．‎ ‎（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率；‎ ‎（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：‎ ‎ 报废年限 车型 ‎ ‎1年 ‎2年 ‎3年 ‎4年 总计 A ‎20‎ ‎35‎ ‎35‎ ‎10‎ ‎100‎ B ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎100‎ 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？‎ 参考数据：‎ ‎（参考公式：回归直线方程为，其中）‎ ‎19.如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.‎ ‎20.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求动点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.‎ ‎21．已知函数，其中,e为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）函数的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若函数在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，使得成立，求的范围；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ 莆田第六中学2017届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案 一、选择题 BBCDB ADCDD CA 二、填空题 ‎13.368 14.121 15. 16.2‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意有，即，解得，。……………3分 又，……………5分 即，又∵均不为零，所以成等比数列. ……………6分 ‎（2）,由（1）可知，所以，所以……………8分 原式=……………10分 ‎。。。。。。。。。12分 ‎18. 解：（ 1）由折线图中所给的数据计算可得，……………1分 ‎。…2分 ∴ …5分 ‎∴．……………6分 ‎∴月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为．‎ 当时，．‎ 故公司2017年4月份的市场占有率预计为23%．……………7分 ‎（2）由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，……………8分 ‎∴每辆款车可产生的利润期望值为 ‎（元）．……………9分 由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，‎ ‎∴每辆款车可产生的利润期望值为：‎ ‎（元），……………11分 ‎∵，∴应该采购款单车．……………12分 ‎19. 解：(I)在梯形中，∵，，‎ 又∵,∴，∴……………2分 ‎∴∴. ……………3分 ‎∵，，∴，……4分 而，‎ ‎∴ ……………5分 ∵ ∴. ……………6分 ‎(II)由(I)可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，‎ 令(),则(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，…………7分 ‎∴=(-，1，0)，=(，-1，1)， ‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由得取,则=(1,,), ……………9分 ‎∵=(1,0,0)是平面的一个法向量,‎ ‎∴ ‎ ‎∵,∴当时，有最小值，……………12分 ‎∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.‎ ‎20. 解：（I）设动点，由于轴于点 又圆与直线即相切，∴圆……………2分 由题意，，得 ‎……………3分 解得……………4分 将代入，得曲线的方程为 ……………5分 ‎（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设 联立，可得 ‎ 由求根公式得（*）……………6分 ‎∵以为直径的圆过坐标原点，即……………7分 即 化简可得，‎ 将（*）代入可得，即……………8分 即，又……………9分 将代入，可得 ‎……10分 ‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 又由，，．……………11分 ‎（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得 ‎ 故．综上，得． ……………12分 ‎21.解：（1），……………1分 假设函数的图象与轴相切于点，则有，即 ‎，.3分 由②可知，代入①中可得．……………4分 ‎∵，∴，即，∵，∴方程无解，‎ 故无论取何值，函数的图象都不与轴相切．……………5分 ‎（2）记，由题知在上恒成立．6分 由，可得，的必要条件是，‎ 若，则，‎ 当时，，故，……………7分 下面证明：当时，不等式恒成立．……………8分 令，则．记，则，‎ 当时，单调递增且； 当时，单调递减且，……9分 ∵．‎ ‎∴存在唯一的使得，且当时，，单调递减；‎ 当时，单调递增．∴，10分 ‎∵，∴，∴，…11分 ‎∵，∴，∴， ‎ 从而恒成立，故能取得的最大整数为1．…12分 ‎22.解：（I）由，得 ……4分曲线的直角坐标方程为 ……5分 ‎（II）将直线的参数方程代入，得……6分 设两点对应的参数分别为，则，，……7分 ‎……9分 当时，的最小值为2. ……10分 ‎23.解：（I）……3分 当时，， 所以……4分 ∴……5分 ‎（II）即 由（I）可知，当时，的解集为空集；……6分 当时，的解集为； ……8分 当时，的解集为.……9分 综上，不等式的解集为.……10分 ‎ ‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎